1.2 Parallélogrammes particuliers

Mots à retenir

un rectangle(прямоугольник) un losange(ромб) un carré(квадрат)

Définition

Un rectangle est un quadrilatère qui a quatre

angles droits.

Propriétés

1) Un rectangle a toutes les propriétés d’un parallélogramme.

2) Un rectangle a ses diagonales de même milieu

et de même longueur.

3) Si un parallélogramme a un angle droit, alors

c’est un rectangle.

4) Si les diagonales d’un quadrilatère ont même

milieu et même longueur, alors c’est un

rectangle.

Définition

Un losange est un quadrilatère qui a quatre côtés de

même longueur.

Propriétés

1) Un losange a toutes les propriétés d’un parallélogramme.

2) Un losange a ses diagonales

perpendiculaires de même milieu.

3) Si un parallélogramme a deux côtés

consécutifs égaux, alors c’est un losange.

4) Si les diagonales d’un quadrilatère sont perpendiculaires et de même milieu, alors c’est un losange.

5)L’aire d’un losange est égale à la moitié du produit des longueurs de ses diagonales.

Définition

Un carré est un quadrilatère qui a quatre angles

droits et quatres côtés de même longueur.

Propriétés

1) Un carré est à la fois un rectangle et un losange. Il a toutes les propriétés de ces deux figures.

2) Si un quadrilatère est à la fois un rectangle et un losange, alors il s’agit d’un carré.

Remarque : рréciser la nature du quadrilatère signifie qu’il faut prouver que ce quadrilatère est un parallélogramme ou un rectangle ou un losage ou un carré ou ... .

Exercices

20) Voici des quadrilatères. Citer tous les quadrilatères qui sont des rectangles (vérifier à l’aide d’une équierre).

21)

Citer tous les rectangles que l’on peut

former avec les points A, B, C, D, E, F,

G, H et I.

22) Le quadrilatère LIJK est un rectangle. Recopier et compléter :

a) OJ = ... ; IK = ... .

b)

c) Citer tous triangles isocèles de la figure.

d) Citer tous triangles rectangles de la figure.

23) Les quadrilatères ci-dessous sont-ils des rectangles ? Expliquer la réponse.

24) Un rectangle a pour longueur 7,2 cm et pour largeur 5,3 cm. Calculer son périmètre. Calculer son aire.

25) Citer tous les quadrilatères ci-dessous qui sont des losanges.

26)

a)Quelle est la nature du quadrilatère RSTU ?

Justifier la réponse.

b) En déduire la nature du triangle RIS.

Justifier la réponse.

c) Quelle est la nature du quadrilatère RLMS ?

Justifier la réponse.

27) Placer les points E(-2 ; -3), F(-3 ; 2) et G(2 ; 1). En utilisant le quadrillage, plaser le point H tel que le quadrilatère EFGH soit un losange. Lire les coordonnées du point H.

28) Placer les points A(-1 ; 4), B(1 ; 2) et R(6 ; 1) . Construire les points S, T et U, tels que le quadrilatère RSTU soit un rectangle ayant la droite (AB) pour axe de symètrie et le point B pour centre de symètrie. Lire les

coordonnées des points S, T et H.

29) Recopier et compléter les phrases suivantes avec le mot « quadrilatère » ou « parallélogramme » :

a) Si un ... a ses diagonales perpendiculaires, alors c’est un losange.

b) Si un ... a tous ses côtés de même longueur, alors c’est un losange.

c) Si un ... a deux côtés consécutifs de même longueur, alors c’est un losange.

30) Est-il vrai que « tout losange est un parallélogramme » ? Dans chaque cas, recopier et compléter par un mot de façon à énoncer une vérité :

a) Tout rectangle est un ... . b) Tout ... est un losange.c) Tout carré est un ... .

31) Sur la figure, reconnaître à vue d’oeil et nommer :

a) un parallélogramme qui ne soit ni un

rectangle, ni un carré ;

b) un rectangle qui ne soit pas un losange ;

c) un quadrilatère qui ne soit pas un parallélogramme.

32) Les énoncés suivants sont-ils vrais ? Justifier les réponses.

a) Si ABCD est un losange de centre O alors (AO) est perpendiculaire à (OB).

b) Si AB = LM alors ABLM est un parallélogramme.

33) Compléter les chaînons déductifs suivants :

a) On sait que RSTU est un losange. Si un quadrilatère est un losange alors ses diagonales sont perpendiculaires. Donc ... .

b) On sait que (MN) || (UT) et (MU)|| (NT). Si ... alors ... . Donc MNTU est un parallélogramme.

34) Dans la figure, reconnaître à vue d’oeil et

nommer un carré, un losange et un

rectangle.

35) D’après les informations portées sur les dessins, que peut-on dire du quadrilatère AVFG dans chaque cas ? Énoncer la propriété utilisée.

c) d)

36) Compléter les chaînons déductifs suivants :

a) On sait que I est le milieu de [AB] et de [CD]. Si un quadrilatère a des diagonales de même milieu alors c’est un parallélogramme. Donc ... .

b) On sait que ... . Si quadrilatère a 4 côtés égaux alors c’est un losange. Donc RTGF est un losange.

c) On sait que ABCD est un parallélogramme et que AD=AB. Si ... alors ... . Donc ... .

d) On sait que ABCD est un losange et ... . Si un losange a des diagonales de même longueur alors c’est un carré. Donc ... .

37) Citer deux caractéristiques :

a) que possède le rectangle et que ne possèdent pas tous les parallélogrammes ;

b) que possède le losange et que ne possèdent pas tous les parallélogrammes ;

c) que possède le losange et que ne possèdent pas tous les rectangles ;

d) que possède le carré et que ne possèdent pas tous les losanges.

38) Déterminer l’aire des figures suivantes :