Exercices

150) Résoudre les équations :

151) Résoudre les équations :

152) Résoudre les équations suivantes après avoir factorisé le premier membre :

153) Résoudre les équations suivantes après avoir transformé le 1^er membre grâce à une identité remarquable :

154) Résoudre les équations suivantes :

155) Résoudre les équations suivantes :

156) Résoudre les équations suivantes en factorisant le premier membre :

157) Vérifier l’égalité Résoudre les équations :

158)Quelles sont les valeurs de x pour lesquelles le produit est nul ?

159) Vérifier que Utiliser le résultat pour résoudre les équations et

160) Écrire une équation qui n’admet que 3 et -2 pour solutions.

161) Mettre l’équation sous forme d’une équation du type ab = 0 puis résoudre cette équation.

162) Trouver un nombre non nul dont le double est égal au triple du carré.

163) Trouver le nombre positif dont la somme du carré et du double est égale à 15.

164) Résoudre les équations :

165)

a) Développer et réduire A. b) Déterminer trois entiers consécutifs dont la somme des carrés est 4 802.

3.2 Résolution de ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0)

On vu que On pose et l’équation s’écrit :

Définition

Le nombre est appelé discriminant de l’équation

Le signe du permet de faire une discrimination entre les équations selon le nombre de leurs solutions.

1) Si  : le premier membre est strictement positif donc l’équation n’a pas de racine.

2) Si  : l’équation équivaut à Dont la seule racine est (dite racine double).

3) Si : on peut factoriser le premier membre et l’équation a deux racines et

La somme de ces racines est : Le produit de ses racines est :

Par exemple:

a) Résoudre l’équation

Ici, a = 2, b = -3 et c = 5 ;

donc L’équation n’admet aucune solution.

b) Résoudre l’équation

Ici, a = 3, b = -1 et c = -5 ;

donc L’équation admet deux solutions :

et

Réponse : -1 ;

Remarque

Quand l’équation est « incomplète », il est inutile de calculer

Méthode : résoudre une équation du second degré

1) Mettre l’équation sous la forme ax² + bx + c = 0. Préciser les valeurs de a, de b et de c.

2) Résoudre cette équation.

Par exemple: résoudre l’équation

Cette équation s’écrit Ici, a = 4, b = 8 et c = -5 ; donc

est strictement positif, donc l’équation a deux solution : , donc

donc

Réponse :

Exercices

166) Préciser les valeurs de a, de b et de c. Résoudre les équations suivantes.

167) Parmi les équations du second degré suivantes, indiquer celles dont la résolution nécessite le calcul du discriminant et celles pour lesquelles ce calcul est inutile.

168) Valider ou infirmer les propositions suivantes :

a) L’équation a une seule solution.

b) L’équation a deux solutions distinctes.

c) L’équation n’a pas de solution.

169) Mettre les équation suivantes sous la forme ax² + bx + c = 0. Résoudre les équations:

170) Résoudre les équations :

171) Résoudre les équations :

172) Résoudre les équations suivantes :

173) Résoudre les équations suivantes :

174) Expliquer pourquoi les équations suivantes ont les mêmes solutions, sans résoudre ces équations.

Quelles sont ces solutions ?

175) On considère l’équation suivante : Quelle est la somme des racines ? Quel est le produit ? Trouver les racines.

176) On considère l’équation suivante : Quelle est la somme des racines ? Quel est le produit ? Trouver les racines.

177) Comment choisir le réel m pour que l’équation admette x = -1 pour racine ? Calculer l’autre racine.

178) Pour quelle valeur de m l’équation admet-elle une racine double ? Calculer cette racine.

179) Si on augmente de 5cm la longueur du côté d’un carré, son aire augmente de 85 cm². Quelle est l’aire de ce carré ?

180) Déterminer deux nombres sachant que leur somme vaut 4,5 et que la somme de leurs inverses est égale à 1.

181) Valider ou infirmer les propositions suivantes :

a) Pour toute valeur du réel m, l’équation a deux solutions distinctes.

b) Si m est un nombre négatif, alors l’équation a deux solutions distinctes.

c) Si m est un nombre positif, alors l’équation n’a pas de solution.

182) Dans chacun des cas suivants, déterminer les réels k pour que l’équation proposée n’ait qu’une seule solution que l’on déterminera.

183) Résoudre les équations :

184) Résoudre les équations :

185) Déterminer les dimensions du triangle rectangle dont l’hypoténuse mesure 9,1cm et le périmètre 21cm.

186) Quelles sont les valeurs de x pour lesquelles