10. Інтеграл Рімана на компакті. Подвійний, потрійний інтеграл Рімана.

Позначимо , , .

Озн. Верхньою (нижньою) інтегральною сумою Дарбу для функції f:[a,b]®R і розбиття Р називається і позначається сума () .

Озн. Верхнім (нижнім) інтегралом Дарбу для функції f на [a,b] називається і позначається вираз: ().

Озн. Функція назив-ся інтегровною за Ріманом на [a,b], якщо її =, при цьому спільне значення цих інтегралів називається інтегралом Рімана на [a,b].

До класів інтегровних функцій можна віднести:

1. неперервні ф-ції, інтегровні на [a,b].

2. Ф-ції, що мають злічене (скінчене) число точок розриву 1-го роду.

3. Всі монотонні ф-ції на [a,b].

Властивості кратних інтегралів:

1. Якщо відрізок [a,b] рівний 0, то .

2. .

3. .

4. 

5. 

6. Якщо ф-ції f,g – інтегровні, то добуток цих ф-цій теж інтегровний.

7. 

8. .

Правила інтегрування:

Як правило використовується формула Ньютона-Лейбніца: (Ф – первісна).

Є 2 методи інтегрування:

1. метод інтегрування частинами ;

2. метод підстановки . φ(t) – диференційовна і неперервна, a≤φ(t)≤ b.

Застосування інтегралів Рімана:

1. Обчислення площи криволінійної трапеції.

Нехай , накладаються умову . Ці умови задають криволінійну трапецію, площа для якої обчислюється за формулою

2. Площа криволінійного сектора:

- криволінійний сектор. Площа дорівнює.

3. Параметрично задана крива:

, сама крива не має самоперетинів та розривів при обході за годинниковою стрілкою.

4. Обьєм тіла при обертанні навколо вісі :

,,, - тіло утворене при обертанні.

5. При обертанні навколо так само, лише додаткова умова - монотонна.

6. Довжина параметрично заданої кривої:

, крива задається за 3) плюс ,

Подвйний інтеграл.(обчислення кратних інтегралів Рімана для паралелепідальних областей)

Нехай потрібно обчислити інтеграл: (D – прямокутник: . Інтегрування кратних інтегралів зводиться до обчислення повторних інтегралів) =. Це основна формула зведення кратного інтегралу до повторного. Коли обчислюємо внутрішній інтеграл по якійсь змінній, то інша змінна виступає як параметр (стала).

Потрійний інтеграл.

Нехай V –якийсь об’єкт, кубоване тіло. Потрібно по V обчислити інтеграл.

=

11.Криволінійні інтеграли Умови незалежності криволінійних інтегралів від шляху інтегрування.

- проста гладка крива(траекторія), якщо існує непер.-диф. де - параметричне зображення і - похідна не рівна 0.

Нехай - інше параметричне зображення. Тоді і . Отже існує композиція , причому

Озн Якщо то параметричне зображення та - еквівалентні. При цьому множину усіх еквівал. зображень простої гладкої кривої позначимо

Озн Упорядкована пара - орієнтована проста гладка крива Г.

утворюють - протилежно орієнтована Г.

Озн Криволінійний інтеграл I роду де dl - диференціал довжини дуги .

Розуміємо:

Озн Множина - проста гладка крива, якщо існує неперервне і де - параметричне зображення .

Озн Якщо - інше параметричне зображення, то і якщо то параметричне зображення та - еквівалентні. При цьому множину усіх еквівал. зображень простої гладкої кривої позначимо

Озн Упорядкована пара - орієнтована проста гладка крива Г. - протилежно орієнтована Г.

Озн Криволінійний інтеграл I роду

Розуміємо:

Нехай - орієнтована гладка проста крива. .

Озн Криволінійний інтеграл II роду

Теорема Нехай - непер. разом із у замкненій однозв’язній області G. Тоді наступні умови еквівалентні:

1. для довільного замкнутого контура .

2. не залежить від вибору шляху інтегрування ( тобто визнач. початкові і кінцеві точки інтегрування).

3. W=Pdx+Qdy є повним диференціалом деякої ф-ції.

4. ,

12. Розглянемо 2 шляхи () і покажемо ,що . Утворимо контур

0= .

2 . Зафіксуємо і визначимо . З умови 2 функція u визначена однозначно , покажемо, що задовольняє умову3. Розглянемо

за теор про середнє , , . , аналогічно .

3 . З теореми про рівність мішаних похідних ,

. З того,що вони існують і неперервні вони рівні між собою, отже .

4 . Розглянемо довільний замкнений контур

(з властивості 4). 

Теорема: (незал крив інт від шляху інтегрування в )

Нехай V – замкнена, поверхневооднозв’язна область в , на V визначена функція f , , що є неперервною на V разом з похідними , тоді наступні умови еквівалентні:

1. Інтеграл по замкненому контуру =0.

2. Інтеграл не залежить від шляху інтегрування.

3. - неперервна диф-на ф-я : .

4. .