Мат ан 2

1. Числова послідовність та її границя. 2

2. Границя і неперервність функції у розумінні Коші та Гейне. 3

3.Властивості неперервної функції на компакті. 4

4. Диференційованість функціі. Критерій диференційованості. 4

5. Локальний екстремум. Необхідні та достатні умови екстремуму. 5

6.Інтеграл Рімана. Критерій інтегровності функції за Ріманом. 7

7. Числові ряди. Ознаки збіжності. 8

8. Функціональні ряди. Ознаки рівномірної збіжності. 9

9.Ряди Фур’є. Рівномірна збіжність рядів Фур’є. 11

10. Інтеграл Рімана на компакті. Подвійний, потрійний інтеграл Рімана. 13

11.Криволінійні інтеграли Умови незалежності криволінійних інтегралів від шляху інтегрування. 15

12. Поверхневі інтеграли. Формула Гріна, Стокса, Остроградського. 17

13.Градієнт, дивергенція та вихор векторного поля. 19

14. Невласні інтеграли. Ознаки збіжності. 19

15. Невласні інтеграли, залежні від параметра. Ознака рівномірної збіжності. 22

16. Формула Тейлора. 23

17. Функції багатьох змінних. Диференціал та частинні похідні. 24

Мат ан

1. Числова послідовність та її границя.

Числовою послідовністю (x_n) наз. відображення NR: nx_n, т.т. ф-ція, яка кожному натуральному числу n ставить у відповідність деяке дійсне число x_n.

Послідовність дійсних чисел (x_n) наз. збіжною, якщо aR: 0 N_: nN_  x_n - a<. Число a наз. границею послідовності (x_n) і позначається lim x_n=a, n або x_na при n. Якщо a=0, то послідовність (x_n) наз. нескінченно малою і позначається o(1). Якщо 1x_n=o(1), то послідовність (xn) наз. нескінченно великою і позначається lim x_n= , n. Якщо послідовність немає границі, то вона наз. розбіжною.

Якщо для послідовності (x_n) C: nN  x_n<C, то послідовність наз. обмеженною і позначається O(1). Символи o(1) та O(1) наз. символами Ландау.

Теорема 1. Нехай посл-ть x_n- збігається тоді 1){x_n}- обмежена, 2){x_n}- має єдину границю, 3) {x_n} збігається до а <=> якщо для 0 т.а містить всі члени {x_n}єU(a)( околу) nN за винятком можливого скінченого її числа.

Теорема 2. (про зб. ч. посл-тей)1) (x_nа, n)^ (y_nb, n)=>(x_n+y_nа+b, n); 2) (x_nа, n)^(y_nb, n)=>(x_ny_nаb, n); 3) (x_nа, n)^(x_nне=0,nN)^(a не=0)=>(1/x_n1/а, n);

Теорема 3. (про гран. перехід нер-тей)

x_nа, n, bєR: b>a n₀єN: x_n<b n>n₀;

Теорема 4. (x_nа, n)^(x_n=<b nєN)=>(a<=b);

Теорема 5. (x_nа, n)^ (z_na, n)^(x_n=<y_n =<z_n nєN)=>(y_nа, n);

Монотонні посл-ті:

{x_n}-неспадна, x_n=<x_n+1, nєN; {x_n}-незростаюча, x_n>=x_n+1, nєN; {x_n}-зростаюча, x_n<x_n+1, nєN; {x_n}-спадна, x_n>x_n+1, nєN;

Теорема (про границю монотонних посл-тей)

1) неспадна (зростаюча) обмежена зверху числ посл. збігається; 2) незростаюча (спадна) обмежена знизу числ посл. збігається.

Теорема 1. lim x_n= a  x_n= a+o(1), n, aR

Необхідність: нехай а - границя послідовності x_n. >0 N; n>N x[n]-a< x_n-a=_n >0 N, n>N _n<. _n -нескінчено мала  _т=о(1)  x_n-a=o(1)

Достатність: x_n-a=o(1) доведемо, що Lim x_n=a, n. x_n-a=_n  _n=o(1)  _n -нескінчено мала. >0 N, n>N _n<  x_n-a<  Lim x_n=a, n

Підпослідовності: Посл. {y_n} елементів множ Е визнач рівністю y_n=x_nk, kєN наз підпосл-тю посл-ті x_n і познач {х_nk}, коротко познач-ся {х_nk}є {х_n}.

Теорема. Посл {х_n}а, n  коли всі її підпосл {х_nk}а, n для {х_nk}є {х_n}.

Озн. Нехай {х_n}– деяка посл-ть, а {х_nk}– її підпосл, яка має границею а при k, тоді а – часткова границя посл {х_n}.

Теорема. Нехай {х_n} ЧП, що прямує до а при n в R, тоді х_nk також прямує до а при n в R для {х_nk}є {х_n}.

Теорема Больцана-Вейєрштрасса.

З довільної обмеженої посл-ті можна виділити збіжну підпос-ть.

Теорема 2 (дії над символами Ландау).

1. O(1)+O(1)=O(1)

2. o(1)+o(1)=o(1)

_n, _n -неск. малі >0 N₁: n>N₁ _n</2 (1); >0 N₂: n>N₂ _n</2 (2) N=max{N₁;N₂} n>N виконується (1) і (2) _n_n_n+_n</2+/2= n>N  o(1)+o(1)=o(1)

3. O(1)*O(1)=O(1)

4. O(1)*o(1)=o(1)

x_n -обмежена величина, _n -неск. мала C>0: x_nC для n=1,2,...  (/C) N, n>N _n</C x_n*_n=x_n*_n<C*(/C)=, n>N  O(1)*o(1)=o(1)

1. _n<C*(/C)=, n>N  O(1)*o(1)=o(1)

Наслідок.

Якщо x_na, y_nb при n, (x_ny_n)ab, то (x_n*y_n)a*b, (x_n/y_n)a/b (якщо nN y_n  b).

Теорема 3 (критерій Коші).

Послідовність (x_n) збіжна тоді і тільки тоді, коли вона фундаментальна, тобто 0 n₀()єN: nn₀, pN  |x_n+p-x_n|<.

Верхня та нижня границя ЧП: а*-верхня границя {x_n}, а*=;-нижня границя {a_n},;

Теорема. 1) а*є Е, є Е; 2) якщо а*є R, то x>a* n₀єN: a_n<x,n>n₀, якщо є R, то x< n₀єN: a_n>x,n>n₀. При цьму а*() є ! елем для якого викон умови 1) та 2).

Теорема (критерій збіжності ЧП)

(ЧП {a_n}-збігається)(({a_n}- обмежена)^(а*=))

Теорема Тьопліца Нехай 1) x_nа, n (aєR) 2) х_nk>=0, nєN, k=1,…,n 3) nєN 4) х_nk0, n kєN Тоді .

Теорема Штольца Нехай {x_n},{y_n}-ЧП 1) y_n<y_n+1 nєN 2) y_n, n 3)  lim (x_n-x_n-1/y_n-y_n-1)=l при n в R Тоді  lim (x_n/y_n)=l при n.