Виберемо довільне c між a і b. Позначимо . (в деякій точці) 

4. Диференційованість функціі. Критерій диференційованості.

Функція f:ХR називається диференційованою в точці x₀D_f (x₀ - гр. т D_f) , якщо існує таке лінійне відображення L:RR, що Lim (f(x)-f(x₀)-L(x-x₀))/(x-x₀))=0, xx₀  (1 озн.)

якщо f(x)-f(x₀)=A(x-x₀)+ o(x-x₀) A=const є R (2 озн)

якщо Lim ((f(x)-f(x₀))/(x-x₀))=f(x₀), xx₀ де f(x₀) - похідна функції в точці x₀  (3 озн)

Теорема 1.(н і д умови диф-ті) f диференційована в точці x₀ тоді і тільки тоді коли функція має похідну в цій точці (тобто f(x₀)).

Теорема 2.(н умови диф-ті) f диференційована в точці x₀ тоді коли функція f неперервна в точці x₀.

Операцію знаходження похідної ф-ції f наз-мемо диференціюванням f.

Нехай ХR, x₀X,  x₀x₀Xx₀x₀X Функція f:XR диференційована в точці x₀ x₀x₀ зліва (зправа), якщо її звуження на проміжок x₀x₀x₀x₀) є диференційованим в точці x₀, значення похідної цього звуження в точці x0 називається лівою (правою) похідною функції f в точці x0 і позначається f-(x₀) (f+(x₀)). (Рублев)

x₀ - гр. т. D_f, x₀D_f , Lim ((f(x)-f(x₀))/(x-x₀))=f-(x₀), xx₀-o; f-(x₀) - ця скінчена границя наз. лівою похідною функції в т. x₀. Lim ((f(x)-f(x₀))/(x-x₀))=f+(x₀), xx₀+o; f+(x0) ця скінчена границя наз правою похідною. (Олександрович)

Теорема 3. (Критерій диференційованості) Для того, щоб функція f:XR((a,b)^fR ) була диференційованою в точці x₀X(x₀(a,b))  (при )

= (при ).

слідує з теореми критерію існування границі в точці. має скінчену границю в точці , але 

5. Локальний екстремум. Необхідні та достатні умови екстремуму.

Функція f: (a,b)R має локальний максимум (мінімум) в точці x₀(a,b), якщо існує окіл (x₀-, x₀+)(a,b) такий, що x(x₀-,x₀+) f(x)f(x₀) (f(x)f(x₀)).

Якщо останні нерівності будуть строгими (xx₀), тобто f(x)<f(x₀) (f(x)>f(x₀)), то локальний максимум (мінімум) називається строгим.

Необхідна умова екстремуму:

Теорема1. Якщо ф-ція f(x) диф-на в т с та має в цій точці локальний екстремум, тоді f'(с)=0.

Теорема Ферма.

Нехай функція f: (a,b)R має локальний максимум (мінімум) в точці x₀ (a,b) і має в цій точці як праву так і ліву похідну, тоді .

З означення диференційованості функції в точці .

Припустимо, що в точці є екстремум, а похідна не дорівнює 0, то або >0 або <0, алн внаслідок неперервності , то з стійкості нерівності в деякому околі зберігає знак, з чого слідує, що права частина не зберігає знак при переході через точку . В одному з менших околів , де одночасно виконується знакосталість і знакозмінність, а це неможливо. Отже . 

Т2. (Перша достатня умова екстремуму).

1) Нехай f: (a,b)R - неперервна на (a,b) функція і  >0: f' існує в кожній точці деякого околу точки x₀ (x₀-,x₀+)(a,b). Якщо при переході через точку x₀ f' змінює знак, то в цій точці функція має локальний екстремум.

2) Нехай f: (a,b)R хє(a,b)  >0: f' існує в кожній точці деякого околу точки x₀(x₀-,x₀+)(a,b) і f'(х0)=0. Якщо при переході через точку x₀ f' змінює знак, то в цій точці функція має локальний екстремум.

Т3. (Друга достатня умова екстремума).

Якщо функція f: (a,b)R задовольняє в точці x₀ (a,b) умовам :1) f"(x₀)0 (скінчена) і 2) f'(x₀)=0, то f має локальний екстремум в точці x₀ (f"(x₀)>0 –min i f"(x₀)<0 - max).

Т4. (Третя достатня умова екстремума).

Нехай функція f: (a,b)R задовольняє в точці x₀ (a,b) умовам: 1) >0: f n-раз диф-на в околі деякої точки x₀ (x₀-,x₀+)(a,b); 2) f^(k)(x₀)=0, k=1,...,n-1; 3) f⁽ⁿ⁾(x₀)0. Тоді при парному n f має екстремум в точці x₀, а при непарному n екстремуму в точці x₀ не має.