8. Функціональні ряди. Ознаки рівномірної збіжності.

Озн. Відображення , де Ф – сукупність всіх функцій дійсного аргументу, називається функціональною послідовністю і позначається (f_n). f_n називається n–тим членом функціональної послідовності. (приклади: всі ф-ції, що залежать від х і від n: .)

Озн. Функціональним рядом називається функціональна послідовність () , де S_n(x)= називається n-тою частковою сумою функціональної послідовності.

Озн. Нехай для функціональної послідовності (f_n) існує функція f така, що виконуються умови: n Df_n =Df=XR, xX f_n(х)f(x) при n. Тоді функція f(x) називається поточковою границею функціональної послідовності (f_n). Аналогічно функціональний ряд , Df_n =X поточково збігається до деякої ф-ції S(x), xX, якщо xX S_n (x)= →S(x) при n.

Озн. Функціональний ряд  f_n (послідовність (f_n) ), у якого (якої) n Df_n =X – спільна область визначення рівномірно збігається на Df=X до функції f з тою самою областю визначення, якщо S_n-f0, n (f_n-f0, n ) і позначається f_n f. (f_n f). (Число sup _xDf f(x) називається рівномірною нормою функції f і позначається f).

Т0. (Про збіжн. Норм. Збіжного ф.р.)

Якщо - нормал. Збіг. На х, то він збігається рівномірно.

Д. , використовуючи два критерія Коші для числ. Посл. І рівном. Збіжн.

Т1. (Ознака Вейєрштраса рівномірної збіжності функц. рядів).

Нехай для функціонального ряду  f_n існує додатня числова послідовність (a_n), що є мажорантою  f_n (n  f_n a_n або  f_n =О(a_n)) і ряд  a_n - збіжний. Тоді функціональний ряд  f_n рівномірно збіжний.

Доведення: зі збіжн. використ. Мажор. ознаку- нормал. Збіжн і застосовуємо теорему 0.

Озн. Символи Ландау: х_n=о(1) означає, що х_n збігається до 0 (є нескінченно малою); х_n=О(1) означає, що х_n обмежена.

Т(про рівномірну збіжн. Рядів пов’язаних перетворенням Абеля)

якщозбігається рівномірно або нерівном. Одночасно

Д. перший доданок рівномірно збіж., а другий збіг і розб одночасно.

Т2. (Ознака рівномірної збіжності)

Якщо xX послідовність (f_n(х)) монотонна по n, а послідовність (f_ng_n) рівномірно збігається на Х і виконується , то функц. ряди рівномірно збігаються на Х.

Д. ,

, Так як х довільн. перейдемо до супремуму

зад. Умову Коші

функц. Ряд рівном. Збіжн.

Т3. (Ознака Абеля)

Якщо для функц. ряду виконуються такі умови:

1. ряд рівномірно збіжний;

2. xX послідовність ( fn(x) ) монотонна по n;

3.  f_n = O(1) – послідовність  f_n є обмеженою по х і по n.

то ряд рівномірно збігається.

Д. 1) рівномірно збіг до нуля, бо перший та другий доданки збігаються до f(x).

2) , тому, що пеший супремум =о(х), а другий = О(х). Таким чином з теореми 2 рівном. Збіж. =

=

Т4. (Ознака Діріхле)

Якщо для функц. ряду виконуються такі умови:

1. – обмеженість часткових сум;

2. xX послідовність (f_n(x)) монотонна;

3. f_n = o(1),

то ряд – рівномірно збіжний.

Д. монотон. Викон.за теоремою 2

рівном. Збіж. Щоб збігався ряд повинно збігатися рівномірно. рівномірно збіг. До 0. З теореми з перетворенням Абеля слідує, що рівном. Збіг, а за побудовою це означає, що рівномірно збігається.

Озн. Функц. ряд вигляду назив-ся степеневим рядом (це поліном n-го степеня).