6.Інтеграл Рімана. Критерій інтегровності функції за Ріманом.

Озн. Назвемо Р=Р_[a,b] розбиттям сегмента [a,b], якщо ця мн-на складається з точок, що задовольняють умову , .

Озн. Діаметром або нормою розбиття Р назив-ся .

Озн. Мн-на назив-ся сукупністю проміжних точок.

Озн. називається інтегральною сумою Рімана для функції f:[a,b]R, що відповідає розбиттю Р та сукупності проміжних точок .

Озн. (1-ше озн-ня інтегралу Рімана): Якщо , то функція f назив-ся інтегровною за Ріманом на сегменті [a,b], а значення І назив-ся інтегралом Рімана від функції f на [a,b] і позначається (це означення можна використовувати як критерій інтегровності ф-ції за Ріманом).

Позначимо , , .

Озн. Верхньою (нижньою) інтегральною сумою Дарбу для функції f:[a,b]R і розбиття Р називається і позначається сума () .

Озн. Верхнім (нижнім) інтегралом Дарбу для функції f на [a,b] називається і позначається вираз: ().

Озн. (2-ге озн-ня інтегралу Рімана (для обмежених функцій)): Функція назив-ся інтегровною за Ріманом на [a,b], якщо її =, при цьому спільне значення цих інтегралів називається інтегралом Рімана на [a,b].

Теорема. 1-ше та 2-ге означення інтегралу Рімана еквівалентні.

Теорема: критерій інтегровності функції за Ріманом.

Функція f є інтегровною за Ріманом на [a,b] тоді і тільки тоді, коли .

Необх. , аналогічно для верхньої межі : . Розглянемо p, яке є спільним розбиттям :

Дост. .Верх. і нижн. інт. є сталими, різниця між сталими , отже вони співпадають, отже функція інтегрована за Ріманом. 

Теорема: Нехай - замкнена множина, - обмежена, тоді , E- замкнена.

Теорема Лебега.

Для того, щоб обмежена на сегменті функція була інтегровна за Ріманом на ньому, необхідно і достатньо, щоб мн-на точок її розриву мала Лебегову міру 0. (Мн-на R має Лебегову міру 0, якщо існує злічене покриття (={(_i, _i)i }) Х деяким інтервалом, сумарна довжина якого не перевищує ε).

Необх. Нехай .

Критерій неперервності Бера якщо , то ці точки попадають в E при - множина точок розриву.

Покажемо, що , за попередньою теоремою множина - замкнена , отже компактна, оскільки ще й обмежена за лемою Бореля-Лебега можна покрити скінченим покриттям інтервалів. Оскільки , то фіксоване. - проміжки розбиття , . покриває . .

За властивістю Лебегової міри 0 .

Дост. Нехай розглянемо і за властивістю Лебегової міри 0 злічене покриття інтервалу за Германською теоремою - замкнена , вона ще й обмежена компактна скінчене під покриття . Нехай P таке розбиття , в яке входять всі краї , тоді P має скінч кількість точок , так як скінчена. з обмеженості функції її коливання <2M (тобто ) 

Наслідки. Якщо функція неперервна чи монотонна на сегменті [a,b], то вона інтегровна за Ріманом на цьому сегменті.

7. Числові ряди. Ознаки збіжності.

Нехай задано послідовність {x_n} дійсних чисел. Числовим рядом (1) називається послідовність чисел {S_n}={}. Числа x_n та S_n називаються відповідно n-м членом та n-ю частковою сумою ряду. Границя послідовності часткових сум ряду, якщо вона існує, називається сумою ряду і позначається символом . Ряд із скінченною сумою називається збіжним. Не збіжний ряд називається розбіжним.

Т1. (Необхідна ознака збіжності ряду). Якщо ряд (1) збігається, то lim_nx_n=0, тобто посл-ть членів збіжного числового ряду збігається до 0.

Т2. (Критерій Коші). Ряд (1) збігається тоді і тільки тоді, коли    n₀()єN: n  n₀ p  S_n+p-S_n=x_i < .

Тепер розглянемо декілька достатніх ознак збіжності знакосталих рядів x_n, тобто рядів, у яких n x_n>0.

T3. Для довільного рєN твердження (ряд збігається) і (ряд збігається) еквівалентні.

Т4. Ряд утворений з ряду шляхом заміни скінченого числа членів останнім збігається коли збігається .

T5. 1)Нехай збігається тоді  d є R збігається ; 2) Нехай і збігаються тоді збігається .

Т7. Числовий ряд з невід’ємними членами (, а_k>=0 kєN) збігається коли посл-ть його часткових сум обмежена зверху.

Т8. (Ознака порівняння). Якщо є два ряда x_n, y_n i nєN 0x_n 0y_n:

1) Нехай x_n y_n n>=n₀ тоді якщо y_n збігається => то ряд x_n збігається; 2) Із розбіжності ряду x_n випливає розбіжність ряду y_n.

2) Нехай  lim(x_n /y_n)=Lє[0,+] при n, y_n>0 n>=n₀. Тоді при L<+ i y_n – збігається => x_n збігається; при L>0 якщо y_n розбігається => x_n розбігається.

3) Нехай викон. x_k+1/x_k=<y_k+1/y_k k>=k₀ при цьому x_k>0,y_k>0 тоді якщо y_n збігається=>x_n збіг-ться; якщо x_n розбігається => y_n розбігається.

(скрізь сума від n=1 до нескінченності)

Т9. (Ознака порівняння із степеневим). Якщо при n x_n=O(1/n^p), то ряд x_n при p>1збігається, а при p1- розбігається.

Т10. (Ознака Коші). Якщо для ряду , а_k>0 kєN (2) qє]0,1[: (a_k)^1/k =<q<1, то ряд (2) збігається, а при (a_k)^1/k >=1- розбігається.

Т11. (Ознака д' Аламбера). Якщо для ряду (2) qє]0,1[: (a_k+1 /a_k)=<q<l, то ряд (2) збігається, а при (a_k+1 /a_k)>1 - розбігається.

Наслідок. (Узагальнена ознака д' Аламбера). Якщо для ряду (2)  lim_k (a_{k +1} /a_k)=q, то якщо q<1, то (2) збігається, якщо q>1, то (2) розбігається.

Т12. (Ознака Раабе). Якщо для ряду (2)  r>0: k((a_k/a_k+1) - 1)>=r>1, то ряд (2) збігається, а при k((a_k/a_k+1) - 1)=<1- розбігається.

Т13. (Ознака Гауса). Нехай для ряду (2) a_k/a_k+1= =/k+_k/k^1+E , де - сталі і E>0, |_k|=<C - додатня постійна kєN, тоді при >1 (2)збігається; при <1 (2)розбігається; при =1 якщо >1 (2) збігається, якщо =<1 (2) розбігається.

Т14. (Інтегральна ознака Коші). Нехай mєN ф-ція f:[m,+[R - невід’ємна і незростає на [m,+[, тоді ряд f(k) (k=m,..,+) збігається коли збігається числова пос-ть{_Gf(t)dt},де G:=[m,m+n], xє[m,+[.

Тепер розглянемо ряди з довільними членами. Якщо для ряду x_n(скрізь n:=1,..,+) (3) збігається ряд x_n  (4), то ряд x_n називається абсолютно збіжним.

Т15. Якщо ряд x_n абсолютно збіжний, то він збігається, тобто якщо (4) збіг-ся, то (3) теж збігається.

Якщо ряд x_n збігається, але не абсолютно ( тобто ряд x_n розбіжний ), то він називається умовно збіжним.

Т16. (Ознака Лейбніця). Знакопочередний ряд (-1)^n-1x_n (  nєN x_n 0 ) збігається, якщо послідовність {x_n} не зростаюча, тобто 0<x_n+1=<x_n nєN i монотонно прямує до нуля, тобто x_n0, n.

Т17. (Ознака Абеля). Ряд u_n v_n збігається, якщо ряд u_n збігається, а послідовність {v_n} монотонна і обмежена.

Т18. (Ознака Діріхле). Ряд u_nv_n збігається, якщо посл-ть часткових сум {U_n}ряду u_n-обмежена, тобто  MU_nnєN, а послідовність {v_n} є монотонною та збігається до 0, тобто v_n0, n.