2. Границя і неперервність функції у розумінні Коші та Гейне.

Нехай ХR деяка числова множ-на, pєR наз гран-ною точкою множ-ни Х, якщо U(p) qX: q не=p, qєU(p).

Функція f:ХR має границю при xp (або в точці p), якщо aR: для довільної послідовності {x_n}X\{p}: x_np при n відповідна послідовність значень функції f(x_n)a при n при цьому записують lim f(x)=a, xp (границя за Гейне).

Функція f:RR має границю при xp (або в т. p), якщо aR: 0   xX x-p  f(x) - a< (границя за Коші).

Теорема 1. Означення границі функції за Коші та за Гейне еквівалентні.

К Г:

внаслідок довільності вибору послідовності .

Г К Від супротивного, припустимо, що означення Коші не виконується, тоді

. Знайдемо і зафіксуємо. Розглянемо послід. , тобто не прямує до , а це протирічить означенню Гейне. 

Нехай ХR деяка числова множ-на, pєR гран-на точка множ-ни Х, q>0: [p-q;p]X. Будемо говорити функція f:ХR має границю зліва в точці p, якщо aR: викон одне з еквівал-них тверджень: 1)для довільної послідовності {x_n}X : x_n<p, nєN, x_np, n відповідна послідовність значень функції f(x_n)a при n при цьому записують lim f(x)=a, xp-0 (границя зліва за Гейне).

2)0   xX p-х  f(x) - a< (границя зліва за Коші).

Функція f:ХR має границю + (-) в R,якщо викон одне з еквівал-них тверджень:

1)для довільної послідовності {x_n}X \{p}: x_np, n відповідна послідовність значень функції f(x_n)+(-) при n при цьому записують lim f(x)=+(-), xp (границя за Гейне).

2)0   xX х-p  f(x)> (f(x)<-) (границя за Коші).

Функція f:XR наз. неперервною в точці pX, якщо lim f(x)=f(p), xp, маючи два означення границі функції в точці можемо записати неперервність функції за Гейне та Коші:

(за Гейне): функція f:XR неперервна в точці pX, якщо для довільної послідовності {x_n}X: x_np, n виконується умова f(x_n)f(p), n;

(за Коші): функція f:XR неперервна в точці pX, якщо 0  xX x-p  f(x) - f(p)<

Теорема 2: Означення неперервності функції за Коші та за Гейне еквівалентні.

3.Властивості неперервної функції на компакті.

Множина KR називається компактною в собі, або компактом, якщо з будь-якої послідовності (x_n)K можна виділити підпослідовність (x_nk), збіжну до деякої точки x₀K.

Теорема 1.(Критерій компакту)

Множина KR є компактом  коли вона одночасно замкнена і обмежена.

 Необх. Обмеженість слідує з теореми обмеженість компакту(якщо - компакт, то це обмежена множина).Замкненість від супротивного: - не замкнена, - точка дотику , (з означення точки дотику). Будь-яка підпослідовність теж , тому вилучити підпослідовність, що збігається до елемента з неможливо.

Дост. Розгл. послід. точок з , - обмежена (бо X- обмежена), тоді з неї можна виділити збіжну підпослідовність. - точка дотику (з замкненості), тому - компакт. 

Теорема 2. (неперервний образ компакту)

Нехай f:RR неперервна на D_f функція і D_f - компакт. Тоді множина E_f - компакт.

Розглянемо з того, що - компакт , з неперервності (фактично) . 

Теорема 3. (Вейєрштрасса)

Нехай f:RR неперервна на компакті D_f функція. Тоді вона має найбільше та найменьше значення.

 з теореми про неперервний образ компакту - компакт, з наслідка про найб і найм значення компакту (якщо X компакт, то він має найб і найм значення) має найб і найм значення. 

Теорема 4. (Коші)

Нехай f:[a,b]R неперервна на Df, і на кінцях проміжку [a,b] приймає значення різних знаків, тобто f(a)*f(b)<0 тоді c(a,b): f(c)=0

від супротивного,нехай f або додатня, або від’ємна, тому . В цьому околі функція не змінює знака. Об’єднання буде покриттям компакту [a,b] . З леми Бореля-Лебега слідує, що можна виділити скінчене під покриття , але інтервали перетинаються і їх скінчена кількість, функція в інтервалі має один знак, тому і на кінці того ж знаку. 

Теорема 5. (Коші) Нехай функція [a,b]-^fR неперервна на D_f і приймає в точках a і b різні значення A і B. Тоді для довільного числа С між A i B  c(a,b): f(c)=C.