Обобщенная теория mnSom

Теперь попробуем описать более обобщенный случай, т. е. mnSOM алгоритм более обобщенного типа и для более обобщенного типа модулей. Предположим, что пользователь mnSOM пытается сопоставить множество из I объектов, . В обычных SOM, каждый вектор данных представляет собой объект отображения, тогда как в предыдущем примере MLP-mnSOM, каждый объект соответствует каждой из функций. Не обязательно, что сущности объектов определены заранее, то есть, как правило, предполагается, что они не известны. Вместо этого, предполагается, что доступны примеры наблюдаемых данных для каждого объекта. Итак, пусть , это множество данных, наблюдаемых для i-го объекта . В данной работе предполагается, что – это векторные данные.

Предположим, что mnSOM состоит из K функциональных модулей , которые разработаны так, чтобы восстанавливать, или копировать эти объекты. Другими словами, модуль способен аппроксимировать объект после обучения на . Предположим, что свойства каждого функционального модуля определяются, как набор параметров . Таким образом, в случае MLP-mnSOM, это весовой вектор k-го модуля MLP. Предположим далее, что каждый функциональный модуль сопоставляется с фиксированной точкой в пространстве карты. Таким обьразом, обозначает координаты в пространстве карты, а определяет положение в пространстве данных.

В таком случае, задачей для mnSOM являются:

1. определить сущности по наблюдаемым данным путем изменения функциональных модулей , и, параллельно -

2. создать карту, которая показывает, степени сходства и различия между объектами. Заметьте, что карта, созданная mnSOM, должна показывать отношения между сущностями объектов, и поэтому прямые сравнения между наборами данных бессмысленны.

Пользователь mnSOM должен только дать подходящее определение меры расстояния, которая определит разницу между двумя объектами или между объектом и модулем, . С помощью этой меры расстояния, можно получить два важных определения. Одним из них является определение ошибки между вектором данных и модулем. Предположим, что представляет квадрат ошибки между вектором данных и модулем . Тогда среднюю ошибку между и можно рассматривать как приближение квадрата расстояния между и . Таким образом, средняя ошибка рассматривается как оценка квадрата расстояния :

Это определение ошибки, как правило, связано с модулем, поскольку модуль используемый здесь, как предполагается, может представлять . Таким образом, ожидается, что модуль, выбранный пользователем, будет минимизировать при обучении на .

Другим производным определением является то, что центр масс объектов, определяется как:

является центром масс с весами . Так как центр масс O не зависит от пропорционального изменения весов, здесь предполагаются такими, что . Это означает, что мера расстояния, определенная пользователем, также определяет центр масс. Другими словами, пользователь должен определить меру расстояния так, чтобы центр масс данных объектов представлял собой «средний объект».

Обобщенный алгоритм mnSOM также состоит из четырех процессов, описанных выше для случая с MLP-модулями. В оценочном процессе, расстояние каждой комбинации и оценивается по рассчитанной средней ошибке . Следующие соревновательный и кооперативный процессы идентичны процессам, в случае MLP-модулей. В соревновательном процессе лучшие модули определяются с помощью (4), а затем веса рассчитываются по (5) и (6) в кооперативном процессе. Тогда функция энергии k-го модуля в момент времени t определяется как:

В конце, в адаптивном процессе, все модули изменяются, так чтобы стать центрами масс объектов с весами . В идеальном случае ожидается, что будет представлено как:

Заметим, что (13) не может быть рассчитано непосредственно, в связи с отсутствием информации относительно сущности . Вместо этого, оно может быть оценено подстановкой средней ошибки вместо квадрата расстояния , как показано в (10). Следовательно, алгоритма обучения записывается как:

Хотя реализация (14) зависит от алгоритма обучения модулей, в большинстве случаев это будет очевидная модификация алгоритма, следующего из типа модулей, т. к. алгоритм обучения модуля предполагает минимизацию , при подаче на вход модуля . Этот вопрос будет освещен более подробно далее. Наконец, эти четыре процесса повторяются до тех пор, пока сеть не достигнет устойчивого состояния.

В этом обобщенном алгоритм mnSOM, пользователь должен выбрать подходящую меру расстояния, которая обычно навязывается архитектурой модулей. Поскольку основной алгоритм SOM сохраняется, обобщенный алгоритм SOM рассматривается как SOM в объектном пространстве, с определенной мерой расстояния.