Кафедра «Радиоэлектронных систем»

Дисциплина ОТРЭС

Комплексную спектральную плотность сигнала можно представить в виде

Ф(j2πf) = |Ф(j2πf)|e jφ(f),

где |Ф(j2πf)| – спектральная плотность амплитуд или спектр амплитуд сигнала s(t); φ(f) – спектральная плотность фаз или спектр фаз сигнала s(t).

В отличие от спектров периодического сигнала спектры амплитуд |Ф(j2πf)| =

A(f) и фаз φ(f) непериодического сигнала s(t) – сплошные.

Кафедра «Радиоэлектронных систем»

Дисциплина ОТРЭС

Рассмотрим сигнал s(t), отличный от нуля на конечном интервале времени [– T/2, T/2] и равный нулю вне этого интервала, т.е. финитный сигнал.

С одной стороны, сигнал s(t) удовлетворяет требуемым условиям и для него существует прямое преобразование Фурье, а с другой стороны – сигнал s(t) может быть представлен рядом Фурье на интервале времени [– T/2, T/2].

Тогда для s(t) можно определить КСП:

Кафедра «Радиоэлектронных систем»

Дисциплина ОТРЭС

т.е. в точках f = kf1 модули коэффициентов ряда Фурье в экспоненциальном базисе с

точностью до постоянного множителя T совпадают со значениями спектра амплитуд | Ф(j2πkf1)| сигнала s(t).

Кафедра «Радиоэлектронных систем»

Дисциплина ОТРЭС

2.3. Спектральная плотность мощности и эффективная ширина спектра сигнала

Определим среднюю мощность неслучайного периодического сигнала s(t), считая, что нагрузкой источника сигнала является резистор сопротивлением Rн = 1 Ом. В

этом случае средняя мощность сигнала

где T – интервал анализа (существования) сигнала s(t).

Представим отрезок сигнала s(t) на интервале [-T/2, T/2] через его КСП, тогда Pср

где Ф*(j2πf) – комплексно сопряженное значение КСП.

Обозначим

lim 1 Ф( j2 f ) 2 G( f ).

T T

Функция G(f) описывает распределение средней мощности сигнала s(t) по частоте и называется спектральной плотностью мощности (СПМ) сигнала s(t).

Учитывая четность функции СПМ, Pср можно преобразовать к виду

где Gодн(f) = 2G(f) – односторонняя СПМ.

Проведенное преобразование позволило перейти к представлению СПМ только в области положительных, т.е. действительных, частот.

Распределение мощности сигнала по частоте может характеризоваться также

эффективной шириной спектра сигнала ∆fэф, т.е. полосой частот, в которой сосредоточена большая часть энергии сигнала.

Эффективная ширина спектра сигнала ∆fэф равна ширине основания прямоугольника,

площадь которого равна площади под кривой СПМ, а высота равна максимальному значению СПМ Gодн макс.

Кафедра «Радиоэлектронных систем»

Дисциплина ОТРЭС

двухсторонняя; б – односторонняя) и его эффективная ширина спектра частот fэф

Кафедра «Радиоэлектронных систем»

Дисциплина ОТРЭС

Заменяя в базисной экспоненциальной функции текущее время t на время взятия

Тогда сигнал s(t) можно представить не как функцию времени t, а как функцию

Данное выражение представляет собой обратное дискретное преобразование Фурье.

При представлении сигнала s(t) дискретным преобразованием Фурье номера спектральных составляющих имеют тот же физический смысл, что и при представлении сигнала в базисе экспоненциальных функций, но количество гармонических составляющих не бесконечно, а ограничено и равно N, т.е. ширина спектра сигнала ограничена. Такое представление оправдано практически и не противоречит изложенному ранее.

Например, спектр дискретного первичного электрического сигнала был ограничен полосой частот, равной ∆FдПЭС = (3…5) fман, а спектр частот непериодического сигнала

ограничен эффективной полосой частот ∆fэф.

Кафедра «Радиоэлектронных систем»

Дисциплина ОТРЭС

Следовательно, для реализации ДПФ можно использовать микропроцессорные устройства с простейшей системой команд, в ПЗУ которых можно записать заранее вычисленные коэффициенты, т.к. они не зависят от сигналов, передаваемых по стандартным каналам (например, по стандартным каналам ТЧ, ТТ, ПД).

Быстрое преобразование Фурье (БПФ) – это фактически алгоритм быстрого вычисления ДПФ, основанный на использовании следующих свойств тригонометрических функций:

- значения cosα многократно повторяются для разных углов (например, значение 0,5 имеют sin 30°, cos 60°, sin 150°, – cos 120°, – sin 150° и т.д.), следовательно, количество умножений на коэффициенты можно существенно уменьшить за счет повторного использования результатов умножений; - синус и косинус большого угла можно разложить на сомножители – функции малых углов.

При вычислении ДПФ необходимо выполнить 4N2 операций, а при БПФ – 5Nlog2N, т.е. БПФ дает выигрыш порядка (0,8N/ log2N) раз.

Таким образом, БПФ позволяет существенно, до 100 раз и более, уменьшить количество вычислительных операций и тем самым повысить скорость ДПФ.