Скачиваний:
48
Добавлен:
30.09.2018
Размер:
6.79 Mб
Скачать

Кафедра «Радиоэлектронных систем»

Дисциплина ОТРЭС

Лекция 2/3. Комплексное представление сигналов и помех

2015

Кафедра «Радиоэлектронных систем»

Дисциплина ОТРЭС

Лекция 2.3. Комплексное представление сигналов и помех

Представление сигналов рядом и интегралом Фурье позволяет установить взаимосвязь между временными и спектральными характеристиками мгновенных

значений первичных a(t) и модулированных сигналов s(t).

Однако при решении целого ряда задач важно знать характер изменения отдельных параметров сигналов. Особенно это важно знать для модулированных сигналов, параметры которых изменяются не только по закону изменения ПЭС, но и в результате воздействия помех.

Определить характер изменения параметров сигнала возможно с помощью компонент

комплексного (аналитического) сигнала.

1. Аналитический сигнал

Пусть задан периодический сигнал s(t), который может быть представлен рядом Фурье в базисе экспоненциальных функций:

 

 

 

s(t) s.k e j 2 kf1t ,

где f1 = 1/T.

k

 

Кафедра «Радиоэлектронных систем»

Дисциплина ОТРЭС

Рассмотрим комплексную функцию времени, заданную на интервале [0,Т]:

 

 

 

 

.

 

.

 

.

 

 

s(t) 2 sk e j 2 kf1t ,

где

sk 1

(ak jbk )

k-й

 

k 1

экспоненциального ряда Фурье для

коэффициент

 

2

 

 

 

 

 

сигнала s(t).

Преобразуем эту комплексную функцию, используя формулы Эйлера, тогда

.

 

s(t) (ak jbk )(cos 2 kf1t j sin 2 kf1t)

 

k 1

 

 

(ak cos 2 kf1t bk sin 2 kf1t) j (ak sin 2 kf1t bk cos 2 kf1t).

Из анализа этого выражения следует, что его действительная часть – это реальный

k 1

k 1

сигнал s(t), представленный в виде разложения в ряд Фурье в базисе

тригонометрических функций:

.

Re[s(t)] s(t) (ak cos 2 kf1t bk sin 2 kf1t),

k1

акоэффициент при мнимой части имеет вид:

.

~

 

Im[s(t)] s

(t) (ak sin 2 kf1t bk cos 2 kf1t).

k 1

Кафедра «Радиоэлектронных систем»

Дисциплина ОТРЭС

 

 

 

 

~

Из анализа полученных выражений следует, что сигнал

s (t)

образуется из исходного

реального сигнала s(t) путем поворота

фаз всех его составляющих на угол π/2, то

есть заменой cos на sin,

а sin на (– cos).

 

 

~

 

 

 

 

Поэтому сигнал s (t) называют сопряженным сигналом.

 

Представим комплексную функцию

 

реальный s(t) и сопряженный

sчерез(t)

~

 

~

 

 

s (t) сигналы:

 

 

 

s(t) s(t)

js (t)

 

 

Эта комплексная функция называется комплексным или аналитическим сигналом.

Аналитический сигнал в момент времени t может быть представлен точкой на комплексной плоскости z =sx(t+) jy.

Кафедра «Радиоэлектронных систем»

Дисциплина ОТРЭС

Большинство дискретных модулированных сигналов РЭС ГА являются отрезками гармонических колебаний. Поэтому в качестве примера рассмотрим сигнал, представляющий собой отрезок гармонического колебания:

s(t) Uн cos 2 fнt,

t [0, ],

где Uн и fн – амплитуда и частота несущего электрического сигнала;

τ – длительность элементарной посылки модулированного сигнала.

Данный сигнал представляется только одним членом ряда Фурье, так как для него

a

0 0;

a

 

Uн , k 1;

b 0,

k [1, ].

 

k

 

 

 

2

 

 

0,

k 1.

k

 

 

 

 

 

 

Тогда для заданного сигнала аналитический сигнал имеет вид

s(t) Uн cos 2 fнt jUн sin 2 fнt,

где

s(t) Re[s(t)] Uн cos 2 fнt

 

~

 

 

и

s (t) Im[s(t)] Uн sin 2 fнt.

Точки, отображающие мгновенные значения реального s(t) и сопряженного

~

 

сигналов на комплексной плоскости, перемещаются по осям абсцисс и ординат от

s

(t)

относительно начала координат в зависимости от закона

значений Uн до значений -Uн

изменения их мгновенных значений.

Кафедра «Радиоэлектронных систем»

Дисциплина ОТРЭС

Из рисунка видно, что аналитический сигнал может быть задан вектором U(t) и углом φ(t) между вектором U(t) и осью абсцисс. Длина вектора U(t) определяется по теореме Пифагора:

U (t)

Угол между вектором

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

s

2

~2

(t)

2

cos

2

 

 

2

sin

2

2 fнt Uн const.

 

 

(t) s

Uн

 

2 fнt Uн

 

U(t) и осью абсцисс определяется выражением

 

 

 

 

 

 

~

0,

для

~

 

 

 

 

 

 

(t) arctg

s (t)

s (t) 0;

 

 

 

 

 

,

для

~

(t) 0.

 

 

s(t)

 

 

 

 

 

 

 

s

Таким образом, точка на комплексной плоскости, отображающая аналитический сигнал , sсоответствующий(t) гармоническому сигналу s(t), равномерно вращается по

окружности радиуса Uн с угловой скоростью ωн = 2πfн.

Кафедра «Радиоэлектронных систем»

Дисциплина ОТРЭС

В общем случае реальный сигнал и сопряженный с ним сигнал связаны между собой

прямым и обратным преобразованиями Гильберта:

 

 

 

 

 

 

1

~

(t)

 

~

 

1

 

s(t)

 

 

 

 

s

 

 

 

 

 

 

s(t)

 

 

 

d ;

s

(t)

 

 

 

d .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

~

 

Реальный сигнал s(t) и связанный с ним сопряженный сигнал

(t)

s

часто называют

гильбертантами.

Для гармонических реальных сигналов, как было показано выше, сопряженные

сигналы также гармонические:

 

~

если

s(t) cos 2 ft,

то

s (t) sin 2 ft,

если

s(t) sin 2 ft,

то

~

s (t) cos 2 ft.

Для узкополосных сигналов, т.е. для

сигналов, у которых fэф << fн, знание

гильбертантов позволяет однозначно представить действительный сигнал s(t) любой

формы в виде квазигармонического сигнала:

s(t) U (t) cos (t),

где U (t)

(t)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

s

2

(t)

~

2

(t);

 

s

 

 

 

 

~

(t)

 

 

 

 

arctg

s

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

s(t)

 

 

 

Кафедра «Радиоэлектронных систем»

Дисциплина ОТРЭС

2. Огибающая, мгновенная фаза и мгновенная частота

Комплексный (аналитический) сигнал

можно sпредставить(t)

в экспоненциальной

и в тригонометрической форме:

 

 

 

 

~

(t) U (t)e

j (t )

U (t) cos (t) jU (t)sin (t),

s(t) s(t) js

 

где U (t) s2 (t)

~

(t) arctg s (t) s(t)

~2

s (t);

0,

~

 

 

s (t) 0,

мгновенная фаза сигнала.

 

,

~

(t) 0.

 

s

 

Существует также понятие мгновенной частоты сигнала:

 

 

1 d (t)

 

1

~

 

 

 

~

(t)

 

f (t)

 

 

s

(t)s(t) s (t)s

.

2

dt

2

 

 

s

2

~2

(t)

 

 

 

 

 

 

(t) s

 

 

Для гармонического сигнала

s(t) Uн cos 2 fнt

(t) 2 fнt

 

 

 

мгновенная фаза

,

тогда его мгновенная частота равна

 

 

 

 

f (t)

1

d (2 fнt)

 

1

2 fн fн const.

 

2

2

 

 

dt

 

 

 

Для других сигналов мгновенная частота может изменяться во времени.

Кафедра «Радиоэлектронных систем»

Дисциплина ОТРЭС

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

~2

(t)

 

Из выражения

U (t) s

(t) s

следует, что U(t) ≥ s(t), причем U(t) = s(t) только в

 

 

 

 

 

~

 

те моменты времени, когда

 

s

(t) = 0. В этих точках производная U(t) совпадает с

производной сигнала s(t), т.е.

 

U (t) s (t).

 

 

~

(t)

 

 

 

 

Следовательно, при

 

s

мгновенная амплитуда сигнала U(t) касается сигнала s(t),

= 0

т.е. огибает его, поэтому U(t) называют огибающей сигнала.

Функция cosφ(t) в

s(t) U (t)cos (t) называется высокочастотным заполне-нием

сигнала s(t).

 

 

 

 

 

 

 

 

fс fверх fнижн fср fверх fнижн ,

2

Таким образом, комплексное представление реального сигнала s(t) позволяет представить его в квазигармонической форме s(,t) U (t)cos (t)

уяснить физический смысл функций U(t) и cosφ(t), хорошо поясняемый рисунком, и определить характер изменения огибающей U(t), мгновенной фазы φ(t) и мгновенной частоты f(t).

Кафедра «Радиоэлектронных систем»

Дисциплина ОТРЭС

Если мгновенная частота f(t) изменяется вокруг среднего значения fср, то можно мгновенную фазу φ(t) представить в виде:

(t) 2 fсрt (t),

где θ(t) – называется мгновенной начальной фазой сигнала.

Тогда сигнал s(t) примет вид

s(t) U (t) cos[2 fсрt (t)],

Такое представление удобно для описания узкополосных сигналов, основная часть спектра которых сосредоточена в относительно узкой по сравнению с fср полосе частот

fс:

f

верх

f

нижн

,

fс fверх fнижн fср

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

где fверх и fнижн – верхняя и нижняя частоты спектра узкополосного сигнала. При этом U(t) и θ(t) изменяются медленно по сравнению с cos2πfсрt.

Соседние файлы в папке Тема 2