Кафедра «Радиоэлектронных систем»
Дисциплина ОТРЭС
Лекции 2/6. Случайные сигналы и помехи на выходе радиотехнических устройств
2015
Кафедра «Радиоэлектронных систем»
Дисциплина ОТРЭС
В радиотехнических устройствах (РТУ) радиоэлектронных систем сигналы и помехи проходят через различные линейные и нелинейные радиотехнические цепи (устройства) – фильтры, усилители, повторители, ограничители, преобразователи и
другие функциональные элементы.
При прохождении случайного сигнала через любое РТУ происходит функциональное преобразование случайного процесса.
Рассмотрим особенности изменения характеристик случайных сигналов и помех, прошедших через линейные и нелинейные радиотехнические устройства.
Будем считать, что сигналы и помехи, действующие на входе РТУ, представляют собой стационарные случайные процессы.
Учитывая многообразие РТУ как функциональных элементов, далее будем представлять их в виде четырехполюсников.
1. Функциональное преобразование случайных сигналов и помех при их прохождении через радиотехнические устройства
Пусть задан четырехполюсник, представляющий собой РТУ.
Кафедра «Радиоэлектронных систем»
Дисциплина ОТРЭС
Дано. На вход четырехполюсника, заданного проходной характеристикой
sвых = f(sвх),
поступает случайный сигнал (помеха) sвх(t), являющийся эргодическим случайным
процессом (для описания эргодического процесса |
достаточно знание |
одномерной |
|||||
функции |
плотности вероятностей |
). |
wsвх (z) |
|
|
||
|
|
|
|
||||
Найти. |
Функцию |
плотности |
вероятностей |
случайного |
процесса |
на |
выходе |
четырехполюсника |
wsвых (z.) |
|
|
|
|
|
|
Решение. Пусть проходная характеристика четырехполюсника |
sвых = f(sвх) |
является |
|||||
дифференцируемой функцией и имеет вид, представленный на рисунке. |
|
|
|||||
Кафедра «Радиоэлектронных систем»
Дисциплина ОТРЭС
Между значениями уровней случайного сигнала на входе zвх и выходе четырехполюсника zвых существует взаимно однозначное соответствие.
Отсюда следует, что существует функция φ(sвых) = sвх, обратная проходной характеристике f(sвх) и устанавливающая взаимно однозначное соответствие уровней случайного сигнала на выходе zвых и входе четырехполюсника zвх.
Тогда можно утверждать: если значение уровня случайного сигнала zвх |
находится в |
|
пределах интервала zвх |
, то на выходе четырехполюсника значение уровня сигнала |
|
zвых находится в пределах интервала zвых, и наоборот. |
|
|
Вероятность попадания |
значения сигнала zвх в интервал zвх равна вероятности |
|
попадания значения случайного сигнала zвых на выходе четырехполюсника |
в интервал |
|
zвых, т.е.
Отсюда |
wsвх (zвх ) |
|
zвх |
|
wsвых (zвых ) |
|
zвых |
|
. |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
wsвых (zвых ) wsвх (zвх ) zzвх . вых
Кафедра «Радиоэлектронных систем»
Дисциплина ОТРЭС
Устремляя |
zвх |
к нулю, получим: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dzвх |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
w (z |
вых |
) w (z |
вх |
) |
|
|
. |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
sвых |
|
sвх |
|
|
|
dzвых |
|
|
|
|||||
Выразим |
zвх |
через zвых, |
воспользовавшись обратной функцией |
проходной |
||||||||||||||||||
характеристики РТУ: |
|
zвх (zвых ) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
w |
(z |
вых |
) w |
|
[( (z |
вых |
)] |
d[ (zвых )] |
, |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
sвых |
|
|
sвх |
|
|
|
|
dzвых |
|
|
||||||
где |
|
d[ (zвых )] |
|
– называетя Якобианом преобразования. |
|
|||||||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
dzвых |
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Плотность распределения вероятностей случайного процесса (сигнала и помехи) на
выходе РТУ связана с плотностью распределения вероятностей случайного процесса на входе РТУ через Якобиан преобразования.
Рассмотренный метод определения простейших характеристик случайных сигналов и помех на выходе РТУ находит широкое практическое применение.
Получение точных результатов для более полных характеристик, особенно при воздействии на вход РТУ случайных сигналов и помех, распределенных не по нормальному закону, оказывается затруднительным. Задачи такого рода обычно решаются приближенно путем статистического моделирования на ЭВМ.
Кафедра «Радиоэлектронных систем»
Дисциплина ОТРЭС
2. Прохождение случайных сигналов и помех через линейные радиотехнические устройства
Из изложенного следует, что распределение вероятностей случайного сигнала (помехи) на выходе линейного РТУ определяется по формуле:
w (z) w [( (z)] |
|
d[ (z)] |
|
. |
|
|
|
||||
sвых |
sвх |
|
dz |
|
|
|
|
|
|
||
Однако для нормальных случайных процессов на входе линейного РТУ эта задача существенно упрощается, т.к. процесс на выходе линейного РТУ также нормальный, но с другими числовыми характеристиками.
Кроме того, возможен линейный подход к анализу некоторых нелинейных РТУ в силу линейности осуществляемых в них преобразований. В этом случае их условно можно считать линейными РТУ.
Рассмотрим использование спектрального метода для анализа прохождения случайного сигнала (помехи) через линейные и условно линейные РТУ.
Кафедра «Радиоэлектронных систем»
Дисциплина ОТРЭС
Пусть задан линейный четырехполюсник с комплексной передаточной функцией
K(j2πf) и импульсной реакцией g(t).
Комплексная передаточная функция K(j2πf) и импульсная реакция цепи g(t) связаны между собой преобразованиями Фурье [15]:
K ( j2 f ) g(t)e j 2 ft dt;
g(t) K ( j2 f )e j 2 ft df .
Пусть на входе линейного РТУ действует случайный сигнал sвх(t), описываемый
функцией распределения вероятностей wsвхспектральной(z) плотностью мощности
Gsвх ( f ) .
Требуется найти |
функцию распределения вероятностей |
w (z) |
плотность |
|
и спектральнуюsвых |
||||
мощности |
Gs |
( f ) |
|
|
выходного сигнала sвых (t). |
|
|
||
|
|
вых |
|
|
Кафедра «Радиоэлектронных систем»
Дисциплина ОТРЭС
Для нахождения |
w |
(z) |
G |
sвых |
( f ) |
sвых |
и |
|
необходимо в первую очередь определить сигнал на |
выходе линейной цепи sвых(t).
Сигналы |
на входе и выходе линейной цепи связаны между собой интегралом |
|
Дюамеля: |
t |
|
sвых (t) sвх (x)g(t x)dx. |
||
|
||
|
|
Определить функцию распределения вероятностей случайного сигнала на выходе
линейной цепи спектральным методом в явном виде достаточно трудно и не всегда
удается.
Для случая нормального случайного процесса на входе линейного РТУ процесс на выходе также нормальный. Поэтому в данном случае для определения плотности вероятностей выходного сигнала достаточно найти его математическое ожидание aвых
и дисперсию σ2вых.
Для входного sвх(t) сигнала заданы математическое ожидание aвх и дисперсия и σ2вх, а также известна его СПМ Gвх(f).
Для реальных сигналов и помех в РЭС можно считать, как правило, что их
математическое ожидание равно нулю, т.е. |
aвх = 0, тогда на входе линейного РТУ |
||||||
плотность распределения вероятностей сигнала имеет |
вид: |
||||||
|
1 |
|
|
|
z2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|||
w (z) |
|
|
|
e 2 вх . |
|
||
|
|
|
|
||||
|
|
|
|||||
sвх |
вх |
2 |
|
||||
|
|
||||||
Кафедра «Радиоэлектронных систем»
Дисциплина ОТРЭС
Если в линейной цепи нет источников постоянного напряжения или тока, то математическое ожидание сигнала на ее выходе M[sвых(t)] также равно нулю:
aвых = 0.
Так как дисперсия σ2 стационарного случайного процесса равна его корреляционной функции R(τ) при τ = 0, то воспользуемся теоремой Винера – Хинчина и определим
дисперсию выходного сигнала σ2вых через его корреляционную функцию:
тогда |
Rвых ( ) 2 Gвых ( f ) cos 2 f df , |
|
|
|||||||||||
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
вых2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
Rвых (0) 2 Gвых ( f )df . |
|
|
|||||||||||
Таким образом, для определения σ2 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
(f). |
||||
вых |
необходимо найти СПМ выходного сигнала G |
вых |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
тогда |
Gвых ( f ) Gвх ( f ) |
|
K( j2 f |
|
2 , |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|||||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
2 df , |
|
|
|||||
где |K(j2πf)| – |
|
2 G ( f ) |
K ( j2 f ) |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|||||||||||
вых |
характеристикавх |
|
|
линейной цепи. |
|
|
||||||||
|
амплитудно-частотная |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
0
Кафедра «Радиоэлектронных систем»
Дисциплина ОТРЭС
Зная σ2вых, можно записать выражения для функции плотности вероятностей и функции распределения вероятностей выходного сигнала:
|
|
|
1 |
|
|
e |
z2 |
|
|
z |
1 |
|
|
e |
x2 |
|
wsвых |
(z) |
|
|
|
2 вых2 |
; |
Fsвых |
(z) |
|
|
2 вых2 |
dx. |
||||
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
вых |
2 |
|
|
|
|
вых |
2 |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Таким образом, для случая нормально распределенных сигналов (или помех) на входе линейных РТУ распределение вероятностей сигналов на выходе может быть определено с использованием либо «Якобиана преобразования», либо рассмотренным методом.
Выводы
1.При прохождении случайного сигнала через любое РТУ происходит функциональное преобразование случайного процесса.
2.Плотность распределения вероятностей случайного процесса (сигнала или помехи) на выходе РТУ связана с плотностью распределения вероятностей случайного процесса на входе РТУ через Якобиан преобразования.
3.Если на вход линейного РТУ поступает случайный процесс (сигнал или помеха), распределенный по нормальному закону, то случайный процесс на выходе линейного
РТУ также нормальный, но с другими числовыми характеристиками.