Кафедра «Радиоэлектронных систем»
Дисциплина ОТРЭС
Лекции 2/5. Спектральное представление случайных сигналов и помех
2015
Кафедра «Радиоэлектронных систем»
Дисциплина ОТРЭС
Для неслучайного сигнала s(t) можно определить комплексную спектральную
плотность: |
|
|
Ф( j2 f ) s(t)e j 2 ft dt. |
||
|
||
|
|
Для случайных сигналов и помех Ф(j2πf) является случайной функцией частоты и
не может служить характеристикой процесса в целом.
В этом случае используют усредненные по вероятности спектральные характеристики случайных сигналов и помех.
1.Спектральная плотность мощности случайных сигналов и помех
иэффективная ширина спектра
Определим среднюю мощность для i-й реализации случайного сигнала sί(t),
представляющего собой стационарный случайный процесс, считая, что нагрузкой
источника сигнала является резистор 1 Ом: |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
T |
|
|
|
|
|
|
|
T |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
2 |
|
|
|
|
|
1 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
P lim |
|
|
s2 |
(t)dt |
lim |
|
|
s (t) |
Ф ( j2 f )e j 2 ft dtdf |
|||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||
i ср |
T |
T |
|
|
i |
|
|
|
T |
T |
|
i |
|
i |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
T |
|
|
|
|
|
T |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
T |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
lim |
|
Ф ( j2 f ) |
|
s (t)e j 2 ft dtdf lim |
Ф ( j2 f )Ф* ( j2 f )df |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||
T |
T |
|
i |
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
T |
T |
|
i |
i |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
T |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Кафедра «Радиоэлектронных систем»
Дисциплина ОТРЭС
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
2 df |
|
|
||
|
|
|
|
|
lim |
|
Ф ( j2 f ) |
|
G ( f )df , |
||||||
|
|
||||||||||||||
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
T |
T |
|
i |
|
|
|
i |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
где T – интервал анализа i-й реализации случайного сигнала sί(t); |
|||||||||||||||
Gi ( f ) lim |
1 |
|
Фi ( j2 f ) |
|
2 |
– спектральная плотность мощности i-й реализации |
|||||||||
|
|
||||||||||||||
|
|||||||||||||||
T T |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
случайного сигнала sί(t). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Функция Gί(f) является спектральной плотностью мощности (СПМ) одной реализации sί(t) стационарного случайного процесса и измеряется в Вт/Гц.
Для стационарного случайного процесса в целом спектральная плотность мощности |
|||||||||
находится путем ее усреднения по всем реализациям: |
|||||||||
G( f ) lim M |
|
1 |
|
Ф |
( j2 f ) |
|
2 |
. |
|
|
|
||||||||
|
|
||||||||
T |
|
|
i |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
||||||
|
T |
|
|
|
|
|
|
||
Тогда средняя мощность стационарного случайного процесса определяется |
|
выражением |
|
|
|
|
Pср G( f )df . |
|
|
Спектральная плотность мощности G(f) описывает распределение средней мощности случайного сигнала по оси частот.
Кафедра «Радиоэлектронных систем»
Дисциплина ОТРЭС
Часть мощности сигнала, заключенная в полосе частот [f1,f2], равна |
||
f1 |
f2 |
f2 |
Pf1 , f2 G( f )df G( f ) 2 G( f )df . |
||
f2 |
f1 |
f1 |
Важной характеристикой случайного сигнала, стационарный случайный процесс, является эффективная
∆fэф, зависящая от спектральной плотности мощности G(f) и
G( f )df
fэф |
|
. |
|
|
|
|
2Gмакс |
|
представляющего собой
ширина спектра сигнала
определяемая по формуле:
В полосе частот ∆fэф |
энергии случайного |
|
сигнала. |
|
|
Если эффективная ширина спектра случайного сигнала ∆fэф много |
меньше |
|
центральной частоты его спектра fср = (f2 + |
f1)/2, то такой сигнал |
называется |
узкополосным случайным процессом. |
|
|
Кафедра «Радиоэлектронных систем»
Дисциплина ОТРЭС
2. Связь между спектральными и временными характеристиками случайных сигналов и помех (теорема Винера – Хинчина)
Временной характеристикой реализации sί(t) стационарного случайного сигнала
является корреляционная функция |
|
|
|
T |
~ |
|
1 |
|
2 |
Ri ( ) lim |
|
|
si (t)si (t )dt. |
|
|
|
|||
|
T T |
|
T |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
Выразим сигнал sί(t + τ) на временном интервале [-T/2, T/2] через его КСП: |
||||
|
|
|
|
|
s (t ) Ф ( j2 f )e j 2 f (t )df Ф ( j2 f )e j 2 ft e j 2 f df . |
||||
i |
|
i |
|
i |
|
|
|||
Тогда
То есть
~ |
|
1 |
Ri ( ) lim |
|
|
|
||
|
T T |
|
1
Tlim T Фi (
si (t) Фi ( j2 f )e j 2 ft e j 2 f dtdf
|
T |
|
|
2 |
|
|
|
j2 f )Ф*i ( j2 f )e j 2 f df |
|
||
lim |
|||
|
|
|
T |
|
~ |
|
|
|
Ri ( ) |
|
|
|
|
Gi ( f )e |
|
1
Tlim T Фi
T1 Фi ( j2 f ) 2
j 2 f df .
|
T |
|
|
2 |
|
( j2 f )e j 2 f |
si (t)e j 2 ft dtdf |
|
|
T |
|
|
2 |
|
e j 2 f df Gi ( f )e j 2 f df .
Кафедра «Радиоэлектронных систем»
Дисциплина ОТРЭС
Из полученной формулы следует, что и Gί(f) связаны между собой обратным
преобразованием Фурье, а значит – и прямым преобразованием Фурье: |
||
~ |
j 2 f |
d . |
Gi ( f ) Ri ( )e |
|
|
|
|
Вычислив математическое ожидание левых и правых частей полученных формул, |
|
получим: |
|
|
|
|
G( f ) R( )e j 2 f d ; |
|
|
|
|
|
R( ) G( f )e j 2 f df . |
|
|
Таким образом, спектральная плотность мощности (СПМ) и корреляционная
функция (КФ) стационарного случайного процесса связаны между собой прямым и обратным преобразованиями Фурье.
Этот результат представляет собой сущность известной теоремы Винера – Хинчина.
Так как ejx = cos x + j sin x, то |
|
|
|
R( ) G( f ) cos 2 f df j G( f )sin 2 f df . |
|
Учитывая четность функции G(f), получим |
|
|
|
|
|
R( ) G( f ) cos 2 f df .
Кафедра «Радиоэлектронных систем»
Дисциплина ОТРЭС
Аналогичным образом получим: |
|
|
G( f ) R( ) cos 2 f d . |
Учитывая, что G(t), R(τ) и cos 2πfτ являются четными функциями, получим:
G( f ) 2 R( ) cos 2 f d ;
0
R( ) 2 G( f ) cos 2 f df .
0
Введем: |
|
2G( f ), f 0; |
|
||
|
Gодн ( f ) |
0, f 0. |
|
|
Функция Gодн(f) называется односторонней спектральной плоскостью мощности
стационарного случайного процесса. Она характеризует реальное распределение средней мощности случайного сигнала s(t) на положительной полуоси частот.
Используя одностороннюю СПМ Gодн(f), результат теоремы Винера – Хинчина можно представить следующим образом:
Gодн ( f ) 4 R( )cos 2 f d ;
0
R( ) Gодн ( f ) cos 2 f df .
0
Кафедра «Радиоэлектронных систем»
Дисциплина ОТРЭС
3. Понятие текущего и мгновенного спектра
Теорема Винера – Хинчина определяет связь между КФ и СПМ стационарного случайного процесса (сигнала или помехи). Аналогичные соотношения могут быть получены и для нестационарных случайных процессов. Однако в этом случае КФ и СПМ будут функциями времени:
G(t, f ) R(t,t )e j 2 f d .
Функция G(t,f) называется мгновенным спектром нестационарного случайного процесса. Мгновенный спектр в точке t не является характеристикой процесса в целом и определяет лишь его КФ относительно данного временного сечения.
В ряде случаев вид КФ сигнала или помехи медленно меняется во времени. В этом случае на значительном интервале времени [t1,t2] процесс можно считать практически
стационарным, т.е. квазистационарным. Такое предположение позволяет утверждать, что G(t,f) с достаточной точностью описывает распределение средней мощности процесса по оси частот на интервале стационарности [t1,t2].
Функцию G(t,f) квазистационарного процесса называют его текущим спектром и полагают, что
G(t, f ) G( f ), |
t [t1,t2 ]. |
Кафедра «Радиоэлектронных систем»
Дисциплина ОТРЭС
Понятия СПМ, мгновенного и текущего спектров сигналов и помех широко используются не только в теории передачи и приема сигналов, но и на практике при проведении измерений и расчетов.
Выводы
1.Для случайных сигналов и помех КСП и СПМ являются случайными функциями частоты и не могут служить характеристиками процесса в целом.
2.Спектральными характеристиками случайных сигналов и помех являются усредненные по вероятности спектральные характеристики (КСП и СПМ) реализаций случайных сигналов и помех.
3.Эффективная ширина спектра случайного сигнала определяет полосу частот, в которой сосредоточено более 90% средней мощности случайного сигнала.
4.Случайный процесс (сигнал или помеха) называется узкополосным, если его несущая (средняя) частота много больше эффективной ширины его спектра.
5.Временной характеристикой случайного процесса является корреляционная функция.
Кафедра «Радиоэлектронных систем»
Дисциплина ОТРЭС
6.Корреляционная функция и спектральная плотность мощности стационарного случайного процесса связаны между собой прямым и обратным преобразованиями Фурье (теорема Винера – Хинчина).
7.Мгновенный спектр является спектральной характеристикой стационарного случайного процесса только для данного временного сечения.
8.Случайный процесс называется квазистационарным, если его корреляционная функция медленно меняется на интервале времени [t1,t2].
9.Спектральная плотность мощности квазистационарного процесса на интервале стационарности [t1,t2] называется текущим спектром.