Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

Bilet_20

.odt
Скачиваний:
0
Добавлен:
18.09.2018
Размер:
22.26 Кб
Скачать

Непрерывность элементарных функций

  1. f(x) = C, (где С – постоянная) непрерывна на R, т.к.  при любом x.

  2. f(x) = x, непрерывна на R, т.к.  при .

  3. f(x) = , непрерывна на R как произведение непрерывных функций.

  4. f(x) = , непрерывна на R, т.к. многочлен  есть сумма непрерывных функций.

  5. f(x) = , где P и Q – многочлены степени n и m соответственно, непрерывна на К кроме тех x, при которых Q обращается в нуль, как частное непрерывных функций.

  6. f(x) = sin(x), f(x) = cos(x)

Пусть  – произвольная точка множества R. Тогда sinx-sin. Так как , а , то  , откуда следует, что функцияf(x) = sin(x) – непрерывна.

Аналогично рассуждая, можно доказать непрерывность косинуса. Из непрерывностей синуса и косинуса следуют непрерывности тангенса и котангенса, учитывая что (для тангенса) и (для котангенса).

  1. f(x) = arcsin(x), f(x) = arcos(x), f(x) = arctg(x), f(x) = arcctg(x) , непрерывны на своей области определения. Это следует из теоремы об обратной функции, примененной не ко всей тригонометрической функции (к примеру, sin(x)), а к ее отрезку (для sin(x) это отрезок ).

  2. , где r – рациональное. Представим r = m / n, . Тогда . Функция  непрерывна и строго возрастает на R. По п. 2  также непрерывна.

  3. , a > 1, непрерывна на R. Пусть  – произвольная точка множества R, =. Докажем, что . Пусть  - произвольная последовательность вещественных чисел такая, что . В силу свойств вещественных чисел найдутся последовательности рациональных чисел и, удовлетворяющие при условию:<, откуда . Так как  и , то =1. Отсюда и , ч.т.д.

  4. Логарифмическая функция непрерывна, что следует из непрерывности показательной функции по теореме об обратной функции.

Соседние файлы в предмете Математический анализ