Bilet_19

Свойства

Локальные

• Функция, непрерывная в точке , является ограниченной в некоторой окрестности этой точки.

• Если функция  непрерывна в точке  и  (или ), то  (или ) для всех , достаточно близких к .

• Если функции  и  непрерывны в точке , то функции  и  тоже непрерывны в точке .

• Если функции  и  непрерывны в точке  и при этом , то функция  тоже непрерывна в точке .

• Если функция  непрерывна в точке  и функция  непрерывна в точке , то их композиция  непрерывна в точке .

Глобальные

• Функция, непрерывная на отрезке (или любом другом компактном множестве), равномерно непрерывна на нём.

• Функция, непрерывная на отрезке (или любом другом компактном множестве), ограничена и достигает на нём свои максимальное и минимальное значения.

• Областью значений функции , непрерывной на отрезке , является отрезок  где минимум и максимум берутся по отрезку .

• Если функция  непрерывна на отрезке  и  то существует точка  в которой .

• Если функция  непрерывна на отрезке  и число  удовлетворяет неравенству  или неравенству  то существует точка  в которой .

• Непрерывное отображение отрезка в вещественную прямую инъективно в том и только в том случае, когда данная функция на отрезке строго монотонна.

• Монотонная функция на отрезке  непрерывна в том и только в том случае, когда область ее значений является отрезком с концами  и .

• Если функции  и  непрерывны на отрезке , причем  и  то существует точка  в которой  Отсюда, в частности, следует, что любое непрерывное отображение отрезка в себя имеет хотя бы одну неподвижную точку.

Теорема 3 (теорема о промежуточных значениях). Пусть функцияy = f(x) непрерывна на отрезке [a, b] и f(a) = A, f(b) = B. Тогда для любого числа C, заключённого между A и B, найдётся внутри этого отрезка такая точка CÎ [a, b], что f(c) = C.

Эта теорема геометрически очевидна. Рассмотрим график функции y = f(x). Пусть f(a) = A, f(b) = B. Тогда любая прямая y = C, где C – любое число, заключённое между A и B, пересечёт график функции, по крайней мере, в одной точке. Абсцисса точки пересечения и будет тем значением x = C, при котором f(c) = C.

Таким образом, непрерывная функция, переходя от одного своего значения к другому, обязательно проходит через все промежуточные значения. В частности:

Следствие. Если функция y = f(x) непрерывна на некотором интервале и принимает наибольшее и наименьшее значения, то на этом интервале она принимает, по крайней мере, один раз любое значение, заключённое между её наименьшим и наибольшим значениями.