
Bilet_12
.odtСвойства бесконечно малых
-
Сумма конечного числа бесконечно малых — бесконечно малая.
-
Произведение бесконечно малых — бесконечно малая.
-
Произведение бесконечно малой последовательности на ограниченную — бесконечно малая. Как следствие, произведение бесконечно малой на константу — бесконечно малая.
-
Если an — бесконечно малая последовательность, сохраняющая знак, то
— бесконечно большая последовательность.
Сравнение бесконечно малых
Отношение
бесконечно малых величин образует
так называемую неопределённость .
Определения
Допустим,
у нас есть бесконечно малые при одном
и том же величины α(x) и β(x) (либо,
что не важно для определения, бесконечно
малые последовательности).
-
Если
, то β — бесконечно малая высшего порядка малости, чем α. Обозначают β = o(α).
-
Если
, то β — бесконечно малая низшего порядка малости, чем α. Соответственно α = o(β).
-
Если
(предел конечен и не равен 0), то α и β являются бесконечно малыми величинами одного порядка малости.
- Это обозначается как β = O(α) или α = O(β) (в силу симметричности данного отношения).
-
Если
(предел конечен и не равен 0), то бесконечно малая величина β имеет m-й порядок малости относительно бесконечно малой α.
Для вычисления подобных пределов удобно использовать правило Лопиталя.
Примеры сравнения
-
При
величина x5 имеет высший порядок малости относительно x3, так как
. С другой стороны, x3 имеет низший порядок малости относительно x5, так как
.
- С использованием О-символики полученные результаты могут быть записаны в следующем виде x5 = o(x3).
-
то есть при
функции f(x) = 2x2 + 6x и g(x) = x являются бесконечно малыми величинами одного порядка.
- В данном случае справедливы записи 2x2 + 6x = O(x) и x = O(2x2 + 6x).
-
При
бесконечно малая величина 2x3 имеет третий порядок малости относительно x, поскольку
, бесконечно малая 0,7x2 — второй порядок, бесконечно малая
— порядок 0,5.
Эквивалентные величины
Определение
Если ,
то бесконечно малые
величины α и β называются эквивалентными (
).
Очевидно, что эквивалентные величины являются частным случаем бесконечно малых величин одного порядка малости.
При справедливы
следующие соотношения эквивалентности
(как следствия из так называемых замечательных
пределов):
-
-
-
-
-
, где a > 0;
-
-
, где a > 0;
-
-
-
, поэтому используют выражение:
-
, где
.
Теорема
- Предел частного (отношения) двух бесконечно малых величин не изменится, если одну из них (или обе) заменить эквивалентной величиной.
Данная теорема имеет прикладное значение при нахождении пределов (см. пример).
Примеры использования
-
Найти
- Заменяя sin 2x эквивалентной величиной 2x, получаем
-
-
Найти
-
Так
как
при
получим
-
-
Вычислить .
-
Используя
формулу:
, тогда как, используя калькулятор (более точные вычисления), получили:
, таким образом ошибка составила: 0,00455, то есть метод полезен, благодаря своей простоте, при грубой оценке арифметических корней близких к единице.