Bilet_10

 Теоремы о пределах

1. Бесконечно большие и бесконечно малые.

   Функция f(x) стремится к бесконечности при x стремящимся к a, если для любого M > 0 можно указать такое значение d > 0, что для всех x удовлетворяющих неравенству |x-a| < dимеет место неравенство |f(x)| > M.

   lim_x® a=Ґ

2. Функция ограниченная при x® a.

3. Функция ограниченная при x® Ґ.

4. Теорема. Если lim_x® a f(x)=b, то функция f(x) ограниченная при x® a.

5. Бесконечно малые и их свойства. lim_x® a a(x)=0

   Теорема. 1. Если f(x)=b+a, где a - б.м. при x® a, то lim_x® a f(x)=b и обратно, если lim_x® af(x)=b, то можно записать f(x)=b+a(x).

   Теорема. 2. Если lim_x® a a(x)=0 и a(x) № 0, то 1/a® Ґ.

   Теорема. 3. Сумма конечного числа б.м. есть б.м.

   Теорема. 4. Произведение б.м. на ограниченную функцию есть б.м.

6. Теоремы о пределах.

   Теорема. 1. Предел суммы есть сумма пределов.

   Теорема. 2. Предел произведения есть произведение пределов.

   Теорема. 3. Предел частного есть частное пределов (если знаменатель не обращается в 0).

   Теорема. 4. Если u(x) <= z(x) <= v(x), и lim_x® a u(x)=lim_x® a v(x)=b, то lim_x® a z(x)=b. ("Теорема о двух милиционерах").

7. Первый замечательный предел.

   0.5sin(x) < 0.5x < 0.5tg(x)

   lim x® 0  sin(x) x =1.

8. Второй замечательный предел.

   Переменная величина 

   ( ( 1+ 1 n ) ) n

   при n® Ґ имеет предел, заключенный между 2 и 3.

Бесконечно малые функции.

 

 

            Определение.  Функция f(x) называется бесконечно малой при х®а, где а может быть числом или одной из величин ¥, +¥ или -¥, если .

            Бесконечно малой функция может быть только если указать к какому числу стремится аргумент х. При различных значениях а функция может быть бесконечно малой или нет.

 

            Пример. Функция f(x) = xⁿ является бесконечно малой при х®0 и не является бесконечно малой при х®1, т.к. .

 

            Теорема. Для того, чтобы функция f(x) при х®а имела предел, равный А, необходимо и достаточно, чтобы вблизи точки х = а выполнялось условие

f(x) = A + a(x),

где a(х) – бесконечно малая при х ® а (a(х)®0 при х ® а).

 

            Свойства бесконечно малых функций:

 

1)      Сумма фиксированного числа бесконечно малых функций при х®а тоже бесконечно малая функция при х®а.

2)      Произведение фиксированного числа бесконечно малых функций при х®а тоже бесконечно малая функция при х®а.

3)      Произведение бесконечно малой функции на функцию, ограниченную вблизи точки х = а является бесконечно малой функцией при х®а.

4)      Частное от деления бесконечно малой функции на функцию, предел которой не равен нулю есть величина бесконечно малая.

 

Используя понятие бесконечно малых функций, приведем доказательство некоторых теорем о пределах, приведенных выше.

 

Доказательство теоремы 2. Представим f(x) = A + a(x), g(x) = B + b(x), где

, тогда

f(x) ± g(x) = (A + B) + a(x) + b(x)

A + B = const,  a(х) + b(х) – бесконечно малая, значит

Теорема доказана.

 

 

Доказательство теоремы 3. Представим f(x) = A + a(x), g(x) = B + b(x), где

, тогда

A×B = const,  a(х) и b(х) – бесконечно малые, значит

Теорема доказана.