Простые числа №1

§2 Простые числа.

п.1 Простые и составные числа.

Сколько делителей может иметь натуральное число? У числа 1 только один делитель. Всякое натуральное имеет два делителя: 1 и само число а. Есть числа, которые не имеют других делителей.

Определение. Натуральное число р называется простым, если оно имеет ровно два делителя: 1 и р.

Определение. Натуральное число, а называется составным, если кроме 1 и а у него есть еще, хотя бы один делитель.

Замечание. Число 1 не относится ни к составным, ни к простым.

Множество N можно разбить на три подмножества.

1. 1 — число, имеющее один делитель.

2. Простые числа, имеющие ровно два делителя.

3. Составные числа, имеющие по меньшей мере три делителя.

Выпишем несколько первых простых чисел:

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17 …

Бесконечно ли эта последовательность, или можно перечислить все простые числа? Ответ был известен еще Евклиду.

Теорема. (Евклида)

Множество простых чисел бесконечно.

Доказательство. “”Пусть — множество всех простых чисел, где — последнее (наибольшее) простое число.

Составим число . Очевидно, , значит, N—составное.делится на какое-то из простых, например, на . Но тогда, по свойствам делимости, 1 делится на , что невозможно.

■

Рассмотрим некоторые элементарные свойства простых чисел.

1. Пусть — наименьший делитель натурального числа а.

Тогда p—простое число.

Доказательство. Пусть d—некоторый делитель числа p.

Но p—наименьший делитель или p—простое.

■

2. Пусть — наименьший делитель составного числа а.

Тогда

Доказательство. а— составное, значит

По условию

■

3. Пусть а — натуральное число, p — простое число.

Тогда а делится на p, либо а и p взаимно просты.

Доказательство. Пусть . D — делитель простого или

Если d=1, то а и p взаимно просты.

Если d=p, то а делится на р.

■

4. Пусть p—простое число, произведение аb делится на p, тогда а делится на p или b делится на р.

Доказательство. Если а не делится на p, то по свойству 3 НОД(а, p)=1.

Но тогда, по свойству 2 взаимно простых чисел, b делится на р.

■

Замечание 1. Свойство 4 легко обобщать по индукции: если произведение делится на простое p, то найдется множитель , который делится на р.

Замечание 2. Если произведение делится на простое p, причем все сомножители — простые числа, то хотя бы один из сомножителей равен р.

Для составления списка простых чисел, не превосходящих заданного числа N, используют алгоритм, который называют “решето Эратосфена”.

Выпишем натуральные числа от 2 до N.

Число 2 — простое. Вычеркнем из списка все числа кратные 2 (кроме 2). Первое из оставшихся—число 3, будет простым. Вычеркнем из списка все числа кратные 3 (кроме числа 3). Первое из оставшихся—число 5, будет простым. Затем вычеркнем все числа, кратные 5 (кроме числа 5) и так далее.

Алгоритм остановится, когда не вычеркнутое число станет больше, чем . Действительно, по свойству 2, все составные числа в нашем списке имеют делитель . Значит, они уже вычеркнуты.

Все остальные числа — простые.

Пример. Найти все простые числа на промежутке от 2 до 100.

Решение. Вычеркнем (выделим) числа, кратные 2 (рис. 1).

Далее, вычеркнем числа кратные 3 (рис.2), кратные 5 (рис. 3) и кратные 7 (рис. 4).

Следующее простое число все остальные числа — простые (рис. 5).

Замечание. Если p — первое, не вычеркнутое число, то все числа меньше уже вычеркнуты. Вычеркивать кратные числу p можно начинать с .

п. 2 Факторизация.

Составное число 495 имеет делитель 5, значит . Второй сомножитель также число составное . Продолжая процесс, можно исходно число разложить на множители

Определение. Факторизацией составного числа N называется разложение N на простые множители.

Самый очевидный способ факторизации числа N сводится к перебору всех возможных простых делителей, .

Пример. Разложить на множитель число 323.

Заметим, что . Значит, делитель нужно искать среди простых чисел . Перебирая их по очереди находим, что

Пример. Доказать, что 919 — простое число.

Так как , то наименьший простой делитель не превосходит 29. Проверкой убедимся, что 919 не делится на простые числа . — простое число.

Для больших натуральных чисел рассмотренный способ неэффективен. Многие математики искали более простые способы факторизации, требующие меньшего объема вычислений.

I. Метод Ферма.

Пусть N — данное число, . Образуем числа

Если одно из них окажется точным квадратом, то получим равенство , или .

Перебор следует вести в плоть до значения . (В этом случае и ). Если точный квадрат не встретился, то N — простое число.

Пример. Разложить на множители N=9271.

Имеем , значит m=97. вычислим последовательно: .

Итак, .

II. Метод Эйлера.

Эйлер предложил записывать число N в виде суммы , где d — специально подобранный множитель такой, что НОД (x, yd)=1. величина d зависит от вида числа N. Так, если N=4k+1, то d=1, если N=6k+1, то d=3 и т.д. Всего Эйлер указал 65 множителей d для разных видов N.

Если N представлено в виде двумя способами (с одним и тем же d), то N можно разложить на множители.

Например, пусть

Тогда , где НОД (u,v)=1.

Получаем систему: и

решая которые, находим: .

Пример. Разложить на множители N = 2197.

Имеем

Отсюда, u=2, v=3, t=10, s=24.

.

III. Ряд приемов основан на простых алгебраических тождествах. Например, теорема Софии Жермен утверждает, что — составное число.

Это следует из того, что и при N>1 оба множителя больше 1.

Последние десятилетия поиск новых эффективных алгоритмов факторизации слал одной из самых актуальных задач теории чисел. Причиной тому послужила разработка криптографических алгоритмов с открытым ключом, дешифровка которых требует факторизации больших составных чисел.

п.3. О формулах, генерирующих простые числа.

Долгое время математики пытались найти формулу , позволяющие вычислить сколько угодно большое простое число. Наибольшую известность получила формула Мерсенна. и числа Ферма .

Определение. — числа Мерсенна.

Для составных значений число делится на и значит, не будет простым.

Пусть N — простое число. Тогда, — простые числа.

Но уже , таким образом, простота числа p не гарантирует простату .

Простыми оказались числа Мерсенна при .

Простоту числа (записываемого 139 цифрами) доказал в 1876 году французский математик Э. Люка.

Дальнейший поиск простых чисел Месенна продолжился с помощью вычислительной техники.

Наиболее известное (на 2011 год) простое число является 46–м числом Мерсенна. Это . Для его записи требуется около 13 миллионов цифр.

Основой для вычислительных алгоритмов служит критерий простоты чисел , указанный Люка в 1878 году и усовершенствованный Лемером в 1930.

Критерий Люка – Лемера.

Число простое тогда и только тогда, когда в рекуррентной последовательности член делится на .

На сегодняшний день неизвестно, конечно или бесконечно множество чисел Мерсена.

Определение. — числа Ферма.

Первые члены последовательности являются простыми числами:

Ферма предположил (1650), что все числа такого вида будут простыми. Однако Эйлер показал (1739), что .

В настоящее время неизвестно, имеются ли другие простые числа Ферма при .

С помощью чисел Ферма можно получить другое доказательство теоремы Эвклида.

Теорема (Пойа).

Любые два числа Ферма взаимно просты.

Доказательство. Пусть и — произвольные числа Ферма.

Покажем, что делится на . В самом деле, делится на х+1, т.е. на .

Пусть m — общий делитель и . Тогда и так как , значит, . Но числа Ферма нечетные

■

Следствие. Простых чисел бесконечно много.

Доказательство. каждое из имеет нечетный делитель, который не делит остальные числа Ферма следовательно, есть по меньшей мере N простых нечетных чисел, простых чисел бесконечно много.

■

Замечание. Простые числа Ферма неожиданно появляются в задаче о построении правильного N–угольника с помощью циркуля и линейки. Гаусс доказал, что построение возможно тогда и только тогда, когда , где — простые числа Ферма.

Неоправдавшиеся предположения о простоте чисел и побудили ученых искать другие формулы, значения которых были бы только простые числа, или хотя бы содержали бесконечно много простых значений.

Эйлер обратил внимание на многочлены: , задающий простые числа прии , принимающий простые значения при .

Позднее была доказана следующая теорема.

Теорема (Гольдбах).

Никакой многочлен с целыми коэффициентами не может принимать простые значения при всех .

Доказательство. Пусть , пусть — простое число.

Тогда по формуле Тейлора: .

Все коэффициенты — целые числа делится на р.

Если попробовать, чтобы значения были простыми, то при всех целых t, но это противоречит тому, что .

■