РДЗ 20 Вариант / Методички / 1

71

22.ā = (x + z) i

+ (x + 3y) j + y k

(Р):x + y + 2z = 2

+ z

+ (2x-y)

j

k

(Р):2x + 2y+.z = 4

23.ā=(x + z) i

+ y

24.ā=(3x + y) i

+ (x + z)

j

k

(P):x + 2y

+ z = 2

+ (2x - z) j + (y + 3z) k

(Р): 2x+у+3z = 6

25.ā=(y+z) i

+ y

26.ā=(y + z) i

+ (x + 6y)

j

k

(P):x + 2y

+ 2z = 2

+ y

27.ā=(2y-z) i

+ (x + 2y)

j

k

(P):x + 3y

+ 2z=6

+ (y-2z)

+ x

j

k

(P):2x + 2y + z = 2

28.ā=(y + z) i

+z

+ (2x - y)

j

k

(Р): 3x + 2y + z = 6

29.ā = (x + z) i

+ (x + y)

j + yk

(Р): 2x + y + 2z = 2

30.ā = zi

4.8 Завдання 8

Для даного векторного поля

+ Q(x, y, z)

a = P(x, y, z) i

j

+ R(x, y, z) k

знайти div a ,

rot a в

точці M 0 .

1)

P = xy − z2 ;Q = 2x − z ; R = xyz ; M 0(1, −1,1) .

2) P = yz − xy ;Q = 3y − z ; R = x + z ; M 0(−1, 2 ,1) .

72

11)

P = x2 y + 4z ;Q = 2x2z ; R = 2x + z

; M 0

(1,1, 0) .

12)

P = x2z + 2y ;Q = 3y2z ; R = 3y + z

; M 0

(1, − 2 ,1).

13)

P = y2z + 3z ;Q = 2xy2 ; R = 2x + 3z

; M 0(1, 3 , −1).

14)

P = xz2 + 2y ;Q = 3x + z ; R = yz3 ; M 0(1, − 2 ,1).

15)

P = 3xz + 2y2 ;Q = 7x + 2y ; R = xz2 ; M 0(1, 3 , − 2) .

16)

P = 2xz2 + 3y ;Q = 3x + 2z ; R = yz

; M 0(1, − 2 , 0) .

17)

P = 3yz + 2x ;Q = 5y + xz ; R = xyz ; M 0(−1, 2 ,

2) .

18)

P = 2yz + 5x ;Q = xy + 3z ; R = x − z

; M 0(−1, 0

, 2) .

21)

P = xz + 4y ; Q = xz + y2 R = x2 + yz ; M 0(3 , −1, 0) .

22)

P = 2yz + 5x ;Q = yz + x ; R = y2 + z2 ; M 0(1, −1,1) .

23)

P = xz + 2y ;Q = xz2 ; R = y3 + z ; M 0(−1, 2 , 0).

24)

P = xz + y ;Q = 7y − z ; R = y2z + x ; ; M 0(−3 , 0 ,1) .

25)

P = y2z2 ;Q = 3x − yz ; R = 5x2z ; M 0(−2 , 0 , −1).

26)

P = 3xz + 4y ;Q = 3x + 2z ; R = 5x2 y ; M 0(−3 , 1, 0).

27)

P = 4xy + 2z ;Q = 3xz ; R = x2 + yz ; M 0(−2 ,1, 1).

28)

P = x2 y + 3z ;Q = 4yz ; R = x + 5z

; M 0(−3 , 2 ,1) .

29)

P = 5xy + 2z ;Q = 5yz2 ; R = y + 4z

; M 0(0 , 1, 2) .

30)

P = 3xz + 2y ;Q = 7y2z ; R = x − 4z

; M 0(−1, 2 ,1) .

4.11 Завдання 11

Відновити аналітичну функцію

f (z) = u(x, y) + iv(x, y) по відомій

дійсній або уявній частинах.

u(x, y) = 2sin xchy − x

1.

u(x, y) = x2 - y2 - xy

15.

2.

v(x, y) = x + y + 5 + x2 - y2

16.

v(x, y) = 3x2 y - y3

3.

u(x, y) = x3 - 3xy2 - y + 2

17.

u(x, y) = x4 + y4 - 6x2 y2

4.

v(x, y) = ex sin y - x

18.

v(x, y) = ex sin y + x2 - y2

5.

u(x, y) = 4xy - ex cos y

19.

u(x, y) = x2 - y2 + 2x

6.

v(x, y) = ln(x2 + y2 ) + x - 2y

20.

v(x, y) = ex (xsin y + ycos y)

7.

u(x, y) = 2y + 3xy +1

21.

u(x, y) = 6xy + y - x2 + y2

8.

v(x, y) = ex cos y + 2xy

22.

v(x, y) = xy + x + y

9.

u(x, y) = y + 2xy

23.

u(x, y) = 5ey cos x

10.

v(x, y) = ey sin x

24.

v(x, y)=ex(siny+cosy)-x+2xy

11.

u(x, y) =

y

25.

u(x, y) = x2 - y2 + 2xy - 3

x2 + y2

26.

v(x, y) =3x2 y + x3 - y3 -3xy2

12.

v(x, y) = −2sin 2xsh2y + y

27.

x

(xcos y - ysin y)

2x

u(x, y) = e

28.

v(x, y) = 2x3 - 6xy2 + 2xy

13.

u(x, y) = x2 + y2

29.

u(x, y) = 2xy − x + 7 y

v(x, y) = x3 y - xy3

14.

30.

v(x, y) = 4x

3

y - 4xy

3

- 7y

L

i

точки z2

= 3 +

.

3

ò(z - 2)(

- 2)dz , де L –

частина кола

z - 2

=1 (0 £ arg z £ π ).

2.

z

L

Обхід L проти ходу годинникової стрілки.

ò(3 + i -

)dz , де L – відрізок прямої від точки

z1 = 2+2і до точки

3.

z

L

z2 = 0.

π

π ö

æ

4.

ò z × zdz ,

де L – частина кола

z

£ arg z

£

= 3 ç-

2

2

÷ . Обхід L по

L

è

ø

ходу годинникової стрілки.

ò(2i + 3

-12)dz , де L –

z1 = 3 до точки

5.

z

відрізок прямої від точки

L

z2 = 8-5і.

6.

ò z Re zdz , де L – коло

z

=1. Обхід L проти ходу годинникової

L

стрілки.

1

3

ò(1- i - 2

)dz , де L – відрізок прямої від точки z1 =

+

i до точки

7.

z

2

L

2

5

1

z2

=

-

i .

2

2

æ 1

ö

=1 (0 £ argz £ π ). Обхід L проти

8.

òReç

÷dz , де L – частина кола

z

L

è z

ø

ходу годинникової стрілки.

ò(

z

2 + Re(z2 )- 2(z -

))dz , де L – дуга параболи

y2 = 2(x -1) від

9.

z

L

ò(3z +

+ (Im z)2 )dz , де L – дуга параболи y2 =10(x +1) від точки

12.

z

L

z1 = -10і до точки z2 = 10і.

13.

ò(z - i)e− zdz , де L – відрізок прямої від точки z1 = 0 до точки z2 = і.

L

ò(8i -1+ 3

)dz , де L – відрізок прямої від точки z1 = 3+2і до точки

14.

z

L

z2 = -1-і.

15.

òe

z

2 Re zdz , де L – відрізок прямої від точки z1 = 0 до точки z2 = 1+і.

L

16.

òsin z cos zdz , де L – відрізок прямої

від точки z1 = 0 до точки

L

z2 = 1+і.

17.

ò z Im(z2 )dz , де L – дуга параболи y = 2x2 від точки z1 = 0 до точки

L

z2 = 1+2і.

ìx = 3cost

18.

, де t змінюється від 0 до

π

.

ò(z -1)dz , де L – дуга еліпса í

L

îy = 2sin t

2

19.

ò zezdz , де L – відрізок прямої від точки z1 = 0 до точки z2 = 1+і.

L

ò(

×

z

- 2i)dz , де L – частина кола

z

=1 (0 £ argz £ π ). Обхід L по

20.

z

L

ходу годинникової стрілки.

+ z2 )dz , де L – коло

z

=1. Обхід L проти ходу годинникової

21.

ò(iz

77

ò5

2dz , де

y = x2

z1 = 0 до

22.

z

L –

дуга

параболи

від

точки

точки

L

z2 = 2+4і.

ò(

- 3)(z + 7)dz ,

z -1

= 2 . Обхід

23.

z

де

L – коло

L проти

ходу

L

годинникової стрілки.

æ 1

ö

= 4 (0 £ argz £ π ). Обхід L по

24.

òImç

÷dz ,

де L – частина кола

z

L

è z

ø

ходу годинникової стрілки.

25.

ò(eiz + 7i)dz ,

де

L –

відрізок прямої

від

точки

z1 = 0 до

точки

L

= - π + i

π .