Добавил:

Alex_Wolf Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Запорожский национальный технический университет

Предмет:

Высшая математика

Файл:

РДЗ 20 Вариант / Методички / 1

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

17.06.2018

Размер:

585.6 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 94 5 6 7 8 9 > Следующая >>>

2.5 Інтегральна формула Коші

Якщо функція f(z) є аналітичною в замкненій області D та l – границя D, тоді значення функції f(z) в будь-якій точці z0 області D можна обчислити за формулою Коші:

f (z0 ) =	1	f (z)dz	(2.12)
	2πi òl	z - z0

Де контур l проходиться таким чином, що область D залишається зліва.

Для похідної n-го порядку аналітичної функції:

f (n) (z0 ) =

f (z)dz

(2.13)

2πi

òl (z - z0 )n+1

Для використання інтегральної формули Коші може бути

корисною наступна теорема.

Теорема.

Якщо

f (z) –

аналітична

С2

багатозв′язній

області

обмеженій

контуром

внутрішніми

по

С1

відношенню

до

нього

контурами

С3

C1, C2, K,Cn (рис. 1.4), то

С0

ò f (z)dz =

å ò f (z)dz

(2.14)

Рисунок 2.4

k =1Ck

Приклад 2.12

sin z +1

Обчислити інтеграл ò

dz , якщо l:а)

z -1

= 0,5 , б)

z -1

= 2 ,

в)

z -1

= 4 .

z 2 − 4z

Розв’язок:

а) В замкненій однозв’язній

області

z -1

= 0,5 підінтегральна

функція є аналітичною, тому

sin z +1

dz = 0 .

- 4z

z −1

=0,5

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

б) в колі

z -1

= 2 є одна точка

z0 = 0 , в якій знаменник обертається

в нуль

sin z +1

dz =

z - 4

- 4z

(z - 0)

z −1

Так як

f (z) =

sin z +1

– аналітична в області, що обмежена колом

z - 4

z -1 = 2 , можна використати формулу Коші (2.12):

		sin z +1		sin z +1
ò		z - 4	dz = 2πi	sin z +1
ò		(z - 0)	dz = 2πi	z - 4
z −1	=2

в) в області, обмеженій колом

= - πi .

z =0 2

z -1 = 4 є дві точки z = 0 та z = 4 , в

яких знаменник обертається в нуль.

1 спосіб.

Розкладемо дріб		1	на прості:		1		=	1	-	1
	z2	- 4z		z2	-	4z		4(z - 4)		4z

Тоді

= 2πi

ò		sin z +1	dz =	ò

z−1	=4	z2 − 4z			z−1	=4

sin 4 +1 - 2πi sin 0 +1 4 4

sin z +1		dz −		ò			sin z +1	dz =

4(z − 4)					z−1	=4	4z

= πi	sin 4		.

2

2 спосіб.

		Z −1 = 4	Застосуємо останню теорему. Для цього
			Застосуємо останню теорему. Для цього
			введемо в розгляд 2 контури: γ1 , який
			містить	особливу точку	z = 0 та γ 2	з
-3	0	4 5	особливою точкою z = 4 всередині (рис.
	g1	g2	2.5).
			2.5).	f (z) = sin z +1
			Функція	f (z) = sin z +1	аналітична	в
	Рисунок 2.5			z2 − 4z
	Рисунок 2.5		заштрихованій частині, тому

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

sin z +1

dz =

sin z +1

dz + ò

sin z +1

dz =

z−1

=4 z2 - 4z

γ1

z(z - 4)

γ 2

z(z - 4)

sin z +1

sin 4

sin

= 2πi

2πi

= 2πiç

= πi

z - 4

z=0

z=4

Приклад 2.13

Обчислити інтеграл ò

|z+i|=3

Розв’язок:

Підінтегральна функція z0 = -πi .

	sh2 z	dz
	(z +πi)3	dz
	(z +πi)3

є аналітичною в | z + i |≤ 3 крім точки

функція

f(z) = sh2 z

всюди

аналітична

цьому колі.

Використовуючи формулу (2.13):

sh2 z

dz =

2πi

(sh2 z)²

= πi ×2(sh2 z + ch2z)

z =−πi

= 2πi

|z+i|=3 (z +πi)

z =−πi

2.6 Ряди Тейлора та Лорана

Функція f(z), однозначна та аналітична

точці

z = z0 ,

може бути

розвинена в околі цієї точки в ряд Тейлора:

∞

(z - z0 )n ,

f (z) = åcn

n=0

коефіцієнти якого cn обчислюються за формулами:

C =

f (z)dz

(n) (z

)

(n = 0,1, 2...)

2πi òL (z - z0 )n+1

де L – коло з центром в точці

z = z0 , що цілком міститься в околі

точки z0 , в якому функція f(z) аналітична.

Центр круга, в якому ряд

Тейлора

збігається,

знаходиться в

точці z = z0 .

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

Радіус збіжності ряда R дорівнює відстані від точки z0 до найближчої до неї особливої точки (тобто до точки, в якій функція не аналітична). Таким чином, область збіжності ряда: z - z0 < R .

Ряди Тейлора для елементарних функцій мають той самий вигляд, що і для функцій дійсного аргумента. Запишемо деякі з них та вкажемо область їх збіжності:

1) ez = 1+ z +

∞

+ ...+

+ ... = å

< ∞

n=0

∞

cos z =1-

-...+ (-1)n

+... = å(-1)n

(2n)!

n=0

z2n+1

∞

z2n+1

sin z = z -

-...+(-1)

+...= å(-1)

(2n+1)!

n=0

+αz

α(α −1)

α(α −1)(α − 2)

+ ...

(1+ z) =1

...+ α (α -1)(α - 2)...(α - n +1) zn

+...

∞

=1- z + z2

-...+ (-1)n zn + ... = å(-1)n zn

1+ z

n=0

∞

=1+ z + z2

+ z3 +...+ zn + ... = åzn

1- z

n=0

z < ¥

z <¥

z <1

∞

7) ln(1+ z) = z -

-...+ (-1)n−1

+... = å(-1)n−1

n=1

Останнє розвинення – це ряд Тейлора для головного значення логарифма. Для інших значень багатозначної функції Ln(1+ z) ряд Тейлора матиме вигляд:

Ln(1 + z) = z -	z 2	+	z3	- ... + 2nπi, де n = ±1, ± 2,...

2		3

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

Приклад 2.14

Розвинути в ряд Тейлора функцію

f (z) =

по степенях z + 3 .

5z +1

Розв’язок:

1 спосіб. Знайдемо значення функції та її похідних в точці z = −3 :

f (z) =

f (-3) = -

5z +

= -

(5z +1)2 ,

f (z)

f (-3) = -142

¢¢

52 × 2

¢¢

52 ×2

143

f (z) = (5z +1)3

f (-3) = -

¢¢¢

53 ×3!

¢¢¢

53 ×3!

144

f (z) = - (5z +1)4

f (-3) = -

............................................

Отримаємо ряд:

= −

−

(z + 3) −

(z + 3)2 −

(z + 3)3

−...−

(z + 3)n

−...

5z +1

142

143

144

14n+1

Відстань між точкою z0 = -3 та точкою, в якій функція не аналітична

z = -		1			дорівнює						R =	z - z	0		=		3 -	1	=	14	.		Тому область збіжності
		1																1		14

1		5										1					5		5
ряда	z + 3					<		14		.
								14

							5
							5
2 спосіб. Застосуємо відоме розвинення																				∞
				1																∞
							=1+ z + z2 + z3 +...+ zn + ... = åzn																				z	<1

			1- z
			1- z																	n=0
Для цього перетворимо функцію таким чином:
			1				=				1			=		1						=				1
			5z +1				=		5(z + 3 - 3) +1					=		5(z + 3) -14						=		æ	-	5(z + 3) ö
			5z +1						5(z + 3 - 3) +1							5(z + 3) -14								æ		5(z + 3) ö
																								14ç1		14		÷
																								è		14		ø

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

В розвиненні

необхідно замінити z на

5(z + 3)

- z

5(z + 3)

(z + 3)

= -

×ç1+

+....

...÷ =

5z +1

= -

(z + 3)-

(z + 3)2 -...-

(z + 3)n -...

142

14n+1

143

Ряд Тейлора для функції

збіжний при

<1,

тому отриманий

1- z

5(z + 3)

<1, тобто при

z + 3

ряд буде збіжним при

Функція f (z)

r <

z - z0

< R

аналітична в кільці

(не виключаючи

випадки

r = 0

та

R = ∞ ) може бути в цьому кільці єдиним чином

розвинена в ряд Лорана:

∞

−1

(z - z0 )n

∞

(z - z0 )n

f (z) = åcn (z - z0 )n = åcn

+ åcn

n=−∞

n=0

−1

∞

c−n

При

цьому ряд

åcn (z

- z0 )n

= å

називається головною

(z - z0 )

n=−∞

n=1

∞

частиною ряда Лорана, а ряд åcn (z - z0 )n

– правильною частиною.

Коефіцієнти cn

n=0

знаходяться за формулами:

f (z)dz

(n = 0, ±1, ± 2...)

2πi

(z - z )n+1

де L – довільне коло з центром в точці z = z0 , яке належить даному кільцю.

На практиці при знаходженні коефіцієнтів cn намагаються уникати

застосування останніх формул, тому що вони призводять до громіздких обчислень. Якщо це можливо, використовують відомі розвинення елементарних функцій.

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

37
Приклад 2.15		2z + 2
Знайти різні розвинення в ряд Лорана функції f (z) =		2z + 2	по
Знайти різні розвинення в ряд Лорана функції f (z) =	z2	+ 2z - 3	по
	z2	+ 2z - 3

степенях z .

Розв’язок:

Функція f (z) має дві особливі точки: z1 = -3 та z2 =1. Звідки маємо 3 області з центром в точці z0 = 0 , в кожній з яких f (z) аналітична:

1)круг z <1

2)кільце 1< z < 3

3)3 < z < ¥ – зовнішність круга z £ 3.

Знайдемо ряди Лорана для функції f (z) в кожній з областей. Представимо f (z) у вигляді суми елементарних дробів:

f (z) =

(2.15)

z + 3

z -1

1) Розвинення в області

Застосуємо відоме розвинення

=1+ z + z2 + z3 + ...+ zn +...,

1- z

= -1- z - z2 - z3 -...- zn -...,

(2.16)

z -1

ç1-

+ ...÷...,

<1,

< 3 (2.17)

z + 3

3ç1

Підставимо (2.16) та (2.17) в (2.15) та отримаємо ряд:

f (z) = 1

+...-1-z-z2 -z3 -.....= -2

-10z-

26z2

82z3 -...

<1,

Область

збіжності

ряда

тобто

це

область,

де

одночасно

збігаються обидва ряди (2.16) і (2.17). Це розвинення є рядом Тейлора функції f (z) .

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

2) Розвинення в кільці 1< z < 3

Ряд (2.17) в цьому кільці збігається, а ряд (2.16) – розбігається. Тому

знайдемо інший розклад для функції z −1 , який буде збіжним в даному кільці.

1			=
	z - 1		=
	z - 1
	1	< 1,
	1
	z
	z

ç1

+ ...÷

ö z

zç

> 1

.....,

(2.18)

Підставимо (2.17) та (2.18) в (2.15) та отримаємо необхідний ряд


f (z) =	1	-	z		+		z2		-	z3		+...			1		+		1	+			1	+.....=
f (z) =	3	-	9		+		27		-	81		+...			z		+		z2	+		z3		+.....=
	3		9				27			81					z				z2			z3
	1			1				1		1			z			z		2		z	3			∞	1		1	∞	n	z	n
=....+	1	+		1		+		1	+	1	-		z	+		z			-	z			+...=å		1	+	1	å	(-1)	z
=....+	3	+		2		+			+		-			+					-				+...=å		n	+		å	n
	z			z				z 3				9 27 81												n=1 z			3n=0		3

Ряди (2.17) і(2.18) однозначно збігаються в області 1< z < 3. Це і є область збіжності отриманого ряда.

3) Розвинення для z > 3

Ряд (2.18) збіжний в цій області, а ряд (2.17) – розбіжний. Тому

знайдемо ряд для функції

, який буде збіжним в області

> 3.

z + 3

(2.19)

ç1 -

+ ...÷

< 1,

> 3

z + 3

zç1

Підставимо (2.18) і (2.19)

в (2.15):

æ1

10 26

f(z)=ç

+....÷+ç

+...÷

+...

èz

Цей ряд збіжний для

> 3.

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

Приклад 2.16

0 <| z +1|< 3

Розкласти

ряд

Лорана

кільці

функцію

f (z) =

(z +1)2 (z - 2)

Розв’язок:

1 спосіб

0 <| z +1|< 3 . Коефіцієнти

Функція f (z)

аналітичною

кільці

знайдемо за формулами:

f (z)dz

2πi

ò (z +1)n+1

2πi ò (z +1)n+3

(z - 2)

z0 = -1, яке лежить в кільці

де L – будь-яке коло з центром в точці

0 <| z +1|< 3 .

Якщо

n + 3 ≤ 0 ,

то

підінтегральна

функція

(z +1)|n+3|

аналітичною

всередині

кола

L, не

(z +1)n+3 (z - 2)

z - 2

виключаючи

точки

z0 = -1.

Тому

за

теоремою

Коші

= 0 . Звідки маємо Cn = 0

для n = −3, − 4, − 5,....

òL (z +1)n+3(z - 2)

Якщо n + 3 > 0 ,

то за формулою для похідної будь-якого порядка від

аналітичної функції отримаємо:

d n+2 æ

(z - 2)

1 ö

2πi ò (z +1)n+

(n + 2)! dzn+2

- 2

è z

z =−1

ön+3

(-1)n+2 (n + 2)!

= -ç

= -

(n +

2)!

(z - 2)

n+3

z =−1

Таким чином, для n = −2, −1,0,1, 2,... Cn

= -

3n+3

Ряд Лорана даної функції в кільці 0 <| z +1|< 3 має вигляд:

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

		1						∞					n				∞			1			n
		1				= å+ Cn (z +1)							n	=		å		-		1	(z +1)		n	=
(z +1)		2	(z - 2)			= å+ Cn (z +1)								=		å		-	3	n+3	(z +1)			=
(z +1)			(z - 2)				n=−2									n=−2			3
			1					1			1		z +1					(z +1)2
= -					-					-		-					-					-...
= -	3(z		+1)	2	-	3	2	(z	+1)	-	3	-		3	4		-			5		-...
	3(z		+1)			3		(z	+1)		3			3					3

2 спосіб

Функцію f (z) розкладемо у суму елементарних дробів:

		1		-	1		-	1		1
f (z) =		1	=		3	+		9	+	9
f (z) =	(z +1)	2 (z - 2)	=	(z +1)2		+	(z +1)		+	(z - 2)
	(z +1)	2 (z - 2)		(z +1)2			(z +1)			(z - 2)

Далі необхідно останній дріб надати у вигляді суми степенів (z +1) .

æ z +1ö1

æ z +1ö2

æ z +1ö3

= -

ç1

+ ç

÷ + ç

+ ç

÷ +

...÷

2) (z

z +1

3 ø

è 3 ø

è 3

3ç1

Ряд збіжний при

z +1

<1,

z +1

< 3 . Підставивши отриманий ряд

в розклад функції

f (z) , отримаємо ряд Лорана в кільці 0 <| z +1|< 3 :

z +1

(z +1)2

= -

-...

(z +1)

(z - 2)

3(z +1)

(z +1)

2.7 Нулі аналітичної функції

Будь-яка

точка

a ,

для

якої

f (a) = 0,

називається

нулем

функції f (z) .

f (z) = 0 .

Інакше кажучи, нулі функції

f (z) – це корені рівняння

Нехай

f (z) ¹ 0

аналітична в точці a ¹ ¥ .

Точка

a має назву нуль порядку (або кратності)

функції f (z) ,

якщо її степеневий ряд за степенями (z − a) має вигляд:

f (z) = c (z - a)k + c

(z - a)k +1 +...

¹ 0

(2.20)

k +1

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 94 5 6 7 8 9 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке Методички

#
17.06.2018585.6 Кб151.pdf
#
17.06.20181.26 Mб292.pdf
#
17.06.2018359.48 Кб173.pdf