РДЗ 20 Вариант / Методички / 1

61

22б) òò(3x - 2y)dxdy

D : x2 + y2 = x .

D

dxdy

23б) òò

D : x2 + y2 =1; x2 + y2 = 4 .

3+ x2 + y2

D

24б) òò

xdxdy

D : x2 + y2 = 4; x2 + y2 = 2y .

x

2

+ y

2

D

ydxdy

25б)

òò

D : x2 + y2 = 4x .

x2 + y2

D

26б)

òò(2x + 5y)dxdy

D : x2 + y2 = 6x .

D

D : x2 + y2 =1; x2 + y2 = 4 .

27б)

òò ydxdy

D

dxdy

28б) òò

D : x2 + y2 = 6y .

6 - x2 - y2

D

29б)

òò(2 + x2 + y2 )dxdy

D : x2 + y2 = 4x; x2 + y2 = 2x .

D

30б)

òò(3+ x + y)dxdy

D

62

6.

x2 + y2 =2 z ; x2 + y2 + z2 =3; z >0

7.

z =5 y ; x2 + y2 =16; z =0;

8.

2 x = y2 + z2 ; x =0; y =2; z =3; y =0; z =0

15.

2 z = x2 + y2 ; z =0; x =2; y =3; x =0; y =0

16.

x2 + y2 =4 z2 ; z =0; y = x ; y =8 x ; x =2; z >0

l

відрізок прямої від точки

A(x1, y1) до точки B(x2 , y2 ) .

1)

f (x, y) = 2x + 3y

;

A(1,−1) ; B(2,0).

2)

f (x, y) = 3x − 2y

;

A(2,1) ; B(2,−1).

3)

f (x, y) = 4x + 3y

;

A(−1,0) ; B(2,1).

4)

f (x, y) = −4x + 2y

;

A(−3,1) ; B(2,2).

5)

f (x, y) = x + 2y

;

A(−5,0) ; B(2,1).

6)

f (x, y) = −x + 3y

;

A(−4,1) ; B(2,−1).

7)

f (x, y) = 2x − y

;

A(−3,2) ; B(−1,1).

8)

f (x, y) = 3x − 5y

;

A(−2,2) ; B(1,1).

9)

f (x, y) = 3x + 5y

;

A(0,2) ; B(5,3).

10)

f (x, y) = −4x + 3y

;

A(−3,1) ; B(4,2).

11)

f (x, y) = 5x + 2y

;

A(−2,3) ; B(3,2).

12)

f (x, y) = −5x + 2y

;

A(2,−3) ; B(3,−2).

13)

f (x, y) = 4x − 5y

;

A(−4,2) ; B(2,1).

14)

f (x, y) = −4x + 5y

;

A(1,2) ; B(3,4).

15)

f (x, y) = 6x − 2y

;

A(−1,3) ; B(3,3).

16)

f (x, y) = −6x + 2y

;

A(1,2) ; B(4,3).

17)

f (x, y) = −5x + 6y

;

A(−3,7) ; B(2,3).

18)

f (x, y) = 5x − 6y

;

A(2,5) ; B(3,2).

19)

f (x, y) = 7x + 2y

;

A(1,1) ; B(3,2).

18)

P(x, y) = −x + 2y ; Q(x, y) = xy ;

l : x = 3cost; y = 2sin t ; від точки з t1=0 до точки з t2=

π .

P(x, y) = −2x + y ; Q(x, y) = x2 y ;

2

19)

l : y = 3x − 2 ; від точки з x1=1 до точки з x2=3 .

20)

P(x, y) = −3x + 2y ; Q(x, y) = x + 2y ;

l : y = −2x + 3 ; від точки з x1=0 до точки з x2=2 .

21)

P(x, y) = −2y + 5 ; Q(x, y) = xy ;

l : y = −x + 4 ; від точки з x1=0 до точки з x2=4 .

22)

P(x, y) = 2x − 3; Q(x, y) = x − y ;

l : y = −2x + 1; від точки з x1=1 до точки з x2=2 .

23)

P(x, y) = −2x + y ; Q(x, y) = x − 2y ;

l : y = −3x + 2 ; від точки з x1=0 до точки з x2=3 .

24)

P(x, y) = −3x + 4y ; Q(x, y) = xy2 ;

l : y = −2x + 5 ; від точки з x1=0 до точки з x2=4 .

25)

P(x, y) = x + 4y ; Q(x, y) = x ;

π .

l : x = 2cost; y = sin t; від точки з t1=0 до точки з t2=

P(x, y) = −x + 2y ; Q(x, y) = xy2 ;

2

26)

l : y = x + 1; від точки з x1=1 до точки з x2=2 .

27)

P(x, y) = −5x + 2y ; Q(x, y) = x2 y ;

l : y = −2x + 1; від точки з x1=2 до точки з x2=3 .

28)

P(x, y) = −3x + y ; Q(x, y) = x − y ;

l : y = −x + 4 ; від точки з x1=1 до точки з x2=4 .

29)

P(x, y) = xy2 ; Q(x, y) = 2x + y ;

l : y = x − 2 ; від точки з x1=0 до точки з x2=2 .

1)

P(x, y) = 2xy + ey ;

Q(x, y) = x2 + xe y .

2)

P(x, y) = 3x2 y + y2 + cos(x + y) ; Q(x, y) = x3 + 2xy + cos(x + y) .

3)

P(x, y) = 2xe y + cos y + y ;

Q(x, y) = x2ey - xsin y + x .

4)

P(x, y) = 2xsin y + y3 + 2 ;

Q(x, y) = x2 cos y + 3xy2 .

5)

P(x, y) = y3ex + y2 +1 ;

Q(x, y) = 3y2ex + 2xy + 2 .

10)

P(x, y) = 2xe2 y + 2y2e2x + 2 ;

Q(x, y) = 2x2e2 y + 2ye2x .

11)

P(x, y) = y5 + 5x4 y - 2 ;

Q(x, y) = 5xy4 + x5 + 3.

12)

P(x, y) = 3x2 y3 + y2 + 2xy ;

Q(x, y) = 3x3 y2 + 2xy + x2 .

13)

P(x, y) = y2 + 4x3 y + 7 ;

Q(x, y) = 2xy + x4 - 2 .

14)

P(x, y) = 2xy3 + 3x2 y2 + 7 y ;

Q(x, y) = 3x2 y2 + 2x3 y + 7x .

15)

P(x, y) = 3x2 y2

+ y3 + 2y ;

Q(x, y) = 2x3 y + 3xy2 + 2x .

16)

P(x, y) = 4x3 y2

+ 2xy4 + 3;

Q(x, y) = 2x4 y + 4x2 y3 - 2 .

17)

P(x, y) = 3x2 y2

+ 2xy - 7 y ;

Q(x, y) = 2x3 y + x2 - 7x .

18)

P(x, y) = 6x2 y + 6xy2 -1;

Q(x, y) = 2x3 + 6x2 y +1.

19)

P(x, y) =14xy3 -5y ;

Q(x, y) = 21x2 y2 - 5x + 2 .

20)

P(x, y) = 20x3 y2 -3y +1;

Q(x, y) =10x4 y - 3x - 2 .

4.6 Завдання 6

Знайти похідну функції U = U (x, y, z) у напрямі вектора

A1A

2 в т.

A1 та grad U|A1

æ

y

ö

1

1.

U= lnç x

+

÷ + x +

+ 2z ,

A1

(1; 2; 3),

A2

(3; 4; 1).

4

è

2x ø

U= 5(x + y -

A

(3; 4; 1) , A (3; 2; -1).

2.

x2 + y2 ) + 2y + 3 - 4z ,

1

2

3.

U=5arctg(x - y)7 + 2y + x + 2ln2z,

A (3; 4; 1) , A (2; -1; 1).

1

2

æ

1

ö

4.

U= 2tgç

x -

+ 2z

÷ + y + 3z

+ 7

, A

(1; 1; 0) , A (3; 4; 1).

ç

y

÷

1

2

è

ø

A (1; 1; 1) ,

A (0; 0; 1).

5.

U=sin(x2 + y5 - 2z) + 2y + 7z + 5,

U=xyeπxy + (1 - π)y + 2(1 - π) +zπ,

1

2

6.

A (1; 1; 1) ,

A (1; 0; 1).

1

2

7.

U=tg(x2 + y4 -2z) + 2y + 6z + 4,

A (1; 1; 1) , A (0; 0; 0).

1

2

8.

U=

x2 + y2 + z2

- (x + y + z) + 5y + 9z +10 , A (2;3;6), A (3;4;1).

1

2

20.

U= xyz , A (3,1,4),

A (1,-1,-1).

1

2

æ

y ö

1

21.

U= lnç x +

÷

+ x +

+ 2z ,

A1 (1; 2; 3),

A2 (3; 4; 1).

4

è

2x ø

22.

U= 5(x + y − x2 + y2 ) + 2y + 3 − 4z , A (3; 4; 1) , A (3; 2; -1).

1

2

23.

U=5arctg(x - y)7 + 2y + x + 2ln2z,

A (3; 4; 1) ,

A (2; -1; 1).

U= 2tg(

−1/ y + 2z)+ y + 3z + 7 ,

1

2

24.

A1 (1; 1; 0) ,

A2 (3; 4; 1).

x

25.

U= ln(1+ x2 - y2 + z2 ) , A (1,1,1), A (5,-4,8).

1

2

26.

U=sin(x2 + y5 - 2z) + 2y + 7z + 5,

A (1; 1; 1) ,

A (0; 0; 1).

U=xyeπxy + (1 - π)y + 2(1 - π) +zπ,

1

2

27.

A (1; 1; 1) ,

A (1; 0; 1).

1

2

28.

U=tg(x2 + y4 -2z) + 2y + 6z + 4, A (1; 1; 1) ,

A (0; 0; 0).

1

2

1.

ā=3xi

+(y + z) j + (x-z) k

(P):x + 3y + z = 3

2.

ā=(3x-1) i

+ (y-x + z) j + 4z k

(Р)2x-y-2z = 2

3.

ā=xi

+(x + z) j + (y + z) k

(P):3x + 3y + z = 3

4.

ā=(x+z) i

+ (z-x) j + (x + 2y + z) k

(P):x+y+z=2

5.

ā = (y+2z) i

+ (x+2z) j +(x- 2y) k

(P):2x + y + 2z = 2

+ 2y

+ (x + y-z)

6.

ā=(x + z) i

j

k

(Р):.x + 2y + z = 2

+ (2z-x)

7.

ā=(3x-y) i

+ (2y + z)

j

k

(P):2x-3y + z = 6

8.

ā=(2y + z) i

+ (x-y)

j -2z k

(Р):x-y + z = 2

+3y

+(y-z)

9.

ā = (x +y) i

j

k

(P):2x-y-2z = -2

+ (x + 2z)

10.ā=(x+y-z) i

-2y

j

k

(P):x + 2y + z = 2

+ z

11.ā=(y-z) i

+ (2x + y)

j

k

(P):2x + y + z = 2

12.ā=xi

+(y-2z) j +(2x-y+2z) k

(Р):x + 2y+2z = 2

+ z

13.ā=(x+2z) i

+(y-3z)

j

k

(P):3x+2y + 2z = 6

14.ā=4xi

+(x-y-z) j +(3y+2z) k

(P):2x+y+z=4

+ 3z

15.ā=(2z-x) i

+ (x + 2y)

j

k

(Р):x + 4y + 2z = 8

+ (3y + z)

16.ā=4zi

+ (x-y-z)

j

k

(Р):x-2y + 2z = 2

+ 2(x + z)

17.ā = (x + y) i

+(y + z)

j

k

(P): 3x - 2y + 2z = 6

+ (y-7z}

18.ā=(x + y + z) i

+2z

j

k

(P}:2x + 3y + z = 6

+ (y-x)

+ (x + 2z)

19.ā = (2х-z) i

j

k

(P):x-y + z = 2

+ x

20.ā = (2y-z) i

+ (x + y)

j

k

(P):x + 2y + 2z = 4

+ (x-y)

+ (3x+z)

21.ā=(2z-x) i

j

k

(P):x+y + 2z = 2