РДЗ 20 Вариант / Методички / 1

Рисунок 3.7

æ

3

ö

Тому f3

(t) = 3η(t) - 3η(t - 4) + ç9

-

t ÷η(t - 4).

2

è

ø

æ

3

ö

æ

3

ö

f (t) = 3η(t) - 3η(t - 4) + ç9

-

t ÷η(t - 4)- ç9

-

t ÷η(t - 6).

2

2

è

ø

è

ø

Тобто

3

3

æ

ö

æ

ö

f (t) = 3η(t) + ç6 -

(t - 4)- 6÷η(t - 4)- ç9

-

(t - 6)- 9

÷η(t - 6)=

2

2

3

è

3

ø

è

ø

= 3η(t) -

(t - 4)η(t - 4)+

(t - 6)η(t - 6)

2

2

Використовуючи таблицю зображень-оригіналів:

∙

3

3 t =

2p2

2 ∙

52

За теоремою запізнення (3.4)

∙

3

3

f (t) =

3

−

e−4 p

+

e−6 p

2p2

2p2

∙ p

3.

3 Знаходження оригінала по зображенню

Для знаходження

оригінала f (t) по відомому зображенню F( p)

Знайти оригінал для функції F( p) =

1

p(p − 2)(p2 +1)

Розв’язок:

Розкладемо F( p) на суму простих дробів:

Cp + D

1

A

B

F( p) =

p(p − 2)(p2 +1)

=

+

+

p

p − 2

p2 +1

Далі знаходимо коефіцієнти A, B,C, D і отримаємо розклад

F( p) = −

1

1

+

1

1

+

2

p

−

1

1

5 p2 +1

5 p2 +1

2 p 10 p − 2

1

∙

=sin t

(p2 +1) ∙

За формулою (3.11)

1

1

1

∙

t

F(p) =

=

×

=∙

ò0 sin(t -τ)sinτdτ =

(p2 +1)

(p2 +1)

(p2 +1)2

=

1 t

1

1

τ =t

2 ò(cost - cos(2τ - t))dτ = 2 t cost - 4 sin(2τ - t)

τ =0 =

0

=

1 t cost - 1 sin t

2

2

3. Застосування теореми про запізнення

Приклад 3.4

e−2 p

Знайти оригінал для функції F( p) =

p -1

Розв’язок:

∙

За

теоремою

про

запізнення

(3.4),

якщо

то

f (t) = F( p) ,

∙

∙

при

τ > 0 .

В

даному

прикладі τ = 2 ,

f (t -τ) =e− pτ F(p)

∙

∙

e−2 p

∙

1

t

t−2

F(p) =

=e η(t)

. Тому

=e

η(t

- 2) .

p -1

p -1 ∙

∙

4. З теореми обертання випливає формула

m

f (t) = åRes(F(p)ept , pk ),

(3.15)

k =1

де

pk – особливі точки функції F( p) .

Зокрема, якщо

F( p) =

Q( p)

– правильний раціональний дріб,

а всі

R( p)

полюси

pk

функції F( p) прості, то остання формула матиме вигляд

m

Q(p

k

)

P t

f (t) = å

e k

.

(3.16)

R¢(pk )

k =1

Приклад 3.5

1

Знайти оригінал для функції

F ( p ) =

p 2

+ 4 p + 3

Розв’язок:

1

F( p) =

( p +1)( p + 3)

Функція F( p) має прості полюси

p1 = -1,

p2 = -3 .

Якщо F( p) =

Q( p)

, то Q( p) =1,

R( p) = p2 + 4 p + 3

R( p)

′

R ( p) = 2 p + 4

′

′

R (−1) = 2, R (−3) = −2 .

Тоді за формулою (3.16):

1

1

f (t) =

e−t -

e−3t

Приклад 3.6

2

2

p

Знайти оригінал для функції F( p) =

(p +1)2

Розв’язок:

p = −1. Це полюс другого

Функція

F( p)

має єдину особливу точку

порядку. Знайдемо лишок функції F( p)ept

в цій точці

æ

pe

pt

ö

d

æ

pe

pt

2

ö

pt

¢

ç

÷

ç

÷

Resç

÷

= lim

ç

×

( p +

1)

÷

= lim (pe

)p

=

( p

+

1)

2

( p +1)

2

p=−1è

ø p→−1 dp

è

ø p→−1

= lim (ept

+ ptept )= e−t - te−t

= (1- t)e−t

p→−1

За формулою (3.15)

f (t) = (1- t)e−t .

a

d 2 x

+ a

dx

+ a

x = f (t)

(3.17)

dt2

0

1 dt

2

x = x(t) –

де a0 , a1, a2 – const , a0

¹ 0 ,

f (t)

– функція-оригінал,

x(0) = x0, x′(0) = x0′

(3.18)

∙

∙

Нехай x(t) = X ( p),

f (t) = F(p) .

∙

- x¢

x¢¢(t) = p2 X ( p) - px(0) - x¢(0) = p2 X ( p) - px

∙

0

0

∙

= pX ( p) - x

x¢(t) = pX ( p) - x(0)

∙

0

a0 (p2 X ( p) - px0 - x0¢ )+ a1(pX ( p) - x0 )+ a2 X ( p) = F( p)

(a0 p

2

+ a1 p + a2 )X ( p) = F( p)

+ a0 px0

¢

+ a0x0 + a1x0

X ( p) =

F( p) + a0 px0 + a0 x0′ + a1x0

(3.19)

a

0

p2 + a p + a

2

1

Отримали операторний розв’язок

рівняння.

Далі по зображенню

X ( p)

знаходять

оригінал

x(t) ,

який

є розв’язком задачі

Приклад 3.7

′′

+ x = cost,

′

=1

Розв’язати задачу Коші x

x(0) = −1, x (0)

p2 X ( p) + p −1+ X ( p) =

p

p2 +1

X ( p)(p2 +1)=

p

− p +1

p

2 +1

p

p −1

X ( p) = (p2 +1)2 −

p2 +1

Знайдемо оригінал для X ( p) .

∙

ω

∙

1

sin ωt =

,

sin t =

p2 + ω

2

p2 +1

∙

∙

∙

2pω

∙

2p

t sin ωt =

, t sin t =

(p2 + ω2 )2

(p2 +1)2

∙

∙

∙

1 t sin t − cost + sin t . Це і є розв’язок задачі Коші, тобто

Тому X ( p) =

∙

2

x(t) =

1

t sin t − cost + sin t

2

1а) òò(x + 2y)dxdy

D : x = 1; x = 2; y = x; y =

1

x .

2

D

10а) òò(3− y)dxdy

D : x2 = 2y; y = 2 .

D

11а) òòe

y

D : y = x2; y = 0; x = 1.

x

dxdy

D

12а) òò(

− y)dxdy

D : y =

; y = 0; x = 4 .

x

x

D

59

27а) òòsin( x + y)dxdy

D : y = 0; y = x; x = π .

D

D : x =1- y2 ; x = 0 .

28а) òò(2x + 3y)dxdy

D

1

29а) òò(3

+

)dxdy

D : y = x; y =

x; x =1.

y

x

D

3

D : y = ex ; y = e; x = 0 .

30а) òò xdxdy

D

1б)

òò

x2 + y2 + R2

dxdy

D : x2 + y2 = R2 ; x2 + y2 = 3R2 .

D

2б)

òò

R2 - x2 - y2

dxdy

D : x2 + y2 = R2; (x ³ 0; y ³ 0) .

D

3б) òò(x2 + y2 )dxdy

D : x2 + y2 = 2x .

D

1+x2 + y

2

4б)

dxdy

D : y = 1- x

2

; y = 0 .

òòe

D

dxdy

5б) òò

D : x2 + y2 = R2;(x ³ 0; y ³ 0) .

R2 - x2 - y2

D

dxdy

6б) òò

D : y = 1- x2 ; y = 0 .

x

2

+ y

2

+ R

2

D

7б)

òò

1+ 2x2 + 2y2

dxdy

D : x2 + y2 = 4.

D

2

8б)

òò(1+

y

)dxdy

D : x2 + y2 =1; y = x; y = 0;( y ³ 0) .

2

D

x

9б)

òò

x2 + y2

dxdy D : x2 + y2 = 4; x2 + y2 = 2x .

D

11б) òò

cos

x2 + y2

dxdy

D : x2 + y2 =

p2

; x2

+ y

2

= p2 .

4

x2 + y2

D

12б) òò(2 + x2 + y2 )dxdy

D : x2 + y2 = 4x .

D

D : x2 + y2 =1; x2 + y2 = 4; x = 0;(y ³ 0) .

13б) òò(3x + 2y)dxdy

D

y

14б) òòarctg

dxdy

D

x

1

D : x2 + y2 =1; x2 + y2 = 4; y = x; y =

x;(y ³ 0) .

3

15б) òòsin

x2 + y2

dxdy

D

D : x2 + y2 =1; x2 + y2 = 9; y = -x;(x ³ 0) .