Физика. Краткая теория и примеры решения задач. Методическое пособие 2016

Теорема Остроградского – Гаусса. Поток ФE вектора напряженности

E через любую замкнутую поверхность:

i 1

заключенных внутри замкнутой поверхности; п – число зарядов.

Теорема Остроградского – Гаусса для электрического смещения D .

Поток ФD вектора D электрического смещения через любую замкнутую поверхность равен

внутри замкнутой поверхности; п – число зарядов.

Циркуляция векторного поля – это интеграл по замкнутому контуру вектора напряжённости поля. Для электростатического поля циркуляция

Теорема о циркуляции: циркуляция вектора напряжённости

Энергия взаимодействия двух точечных зарядов q1 и q2, находящихся на расстоянии r друг от друга:

где – диэлектрическая проницаемость среды; ε0 – электрическая постоянная.Потенциал данной точки поля – это энергия единичного положительного точечного пробного заряда, помещённого в данную точку

поля:

Wq .

51

Потенциал данной точки поля численно равен работе по перемещению единичного точечного пробного положительного заряда из данной точки поля

на бесконечность: Aq . Потенциал бесконечно удалённой точки считается

равным нулю. Если точечный заряд q поместить в точку поля, имеющую потенциал φ, то энергия заряда равна W q .

Потенциал электрического поля, создаваемый точечным зарядом q

на расстоянии r от заряда:

Потенциал электрического поля, создаваемого металлической сферой радиусом R, несущей заряд q, на расстоянии r от центра сферы

Здесь – диэлектрическая проницаемость однородного безграничного диэлектрика, окружающего сферу.

Принцип суперпозиции. Потенциал, созданный в данной точке системой зарядов qi, равен алгебраической сумме потенциалов полей,

созданных в данной точке каждым зарядом системы в отдельности:

i .

интеграл берётся по всей области, где локализованы заряды, а потенциал dφ создаётся зарядом dq dV , локализованным в элементарном малом объёме

dV; ρ – объёмная плотность заряда.

Потенциал электрического поля, созданного системой п точечных зарядов в данной точке, равен алгебраической сумме потенциалов 1, 2, ... ,n полей, создаваемых отдельными точечными зарядами q1, q2, ..., qn:

где i – потенциал поля, создаваемого всеми (п–1) зарядами (за исключением i-го) в точке, где расположен заряд qi. Энергия системы зарядов равна работе,

52

которую эта система зарядов совершает при удалении их относительно друг друга в бесконечность: W A .

Связь потенциала и напряженности E электрического поля:

контуру в той же точке. В проекциях на любую ось:

Ex .x

В случае электрического поля, обладающего сферической симметрией:

В случае однородного поля (когда напряженность в каждой точке поля

одинакова как по модулю, так и по направлению:

E 1 2 , d

где 1 и 2 – потенциалы точек двух эквипотенциальных поверхностей; d – расстояние между этими поверхностями вдоль силовой линии поля.

Работа, совершаемая электрическим полем при перемещении точечного заряда q из одной точки поля, имеющей потенциал 1, в другую, имеющую потенциал 2, равна

Диполь (электрический диполь) – система двух

одинаковых по величине противоположных по знаку

точечных зарядов q и –q (рис. 3.4). Плечо диполя l – вектор, начинающийся на отрицательном заряде и оканчивающийся на положительном. Диполь

называется точечным, если его плечо l много меньше расстояния r до точек наблюдения (l<<r).

53

Дипольный момент электрического диполя – вектор, равный произведению модуля заряда диполя на плечо диполя:

Механический момент сил, действующий на диполь в

между ними.

Сила, действующая на диполь в неоднородном электрическом поле.

Внеоднородном электрическом поле, кроме механического момента (пары сил), на диполь действует сила, проекция которой на произвольную ось OX равна:

Fx pe cos E ,

x

E

где pe – дипольный момент, x – быстрота изменения поля вдоль оси OX, α –

угол между дипольным моментом и вектором напряжённости. Если угол α острый, диполь втягивается в область сильного поля, если тупой – выталкивается.

проводника , вызванное этим зарядом. Или: ёмкость равна отношению заряда проводника к его потенциалу: C q . (Считается, что потенциал бесконечно удалённой точки равен нулю.)

54

проницаемостью ε:

C 4 0 R .

Если сфера полая и заполнена диэлектриком, то электроемкость её от этого не изменяется.

Электрическая ёмкость конденсатора:

C Uq ,

где q – заряд конденсатора; U – разность потенциалов обкладок конденсатора.

Связь между напряженностью E поля плоского конденсатора и напряжением U на нём:

E Ud ,

где d – расстояние между обкладками.

Электрическая ёмкость:

- плоского конденсатора (рис. 3.5):

C 0 S , d

Рис. 3.5 Рис.3.6 Рис. 3.7 Рис. 3.8

где S – площадь пластин (каждой пластины); d – расстояние между ними (d много меньше размера пластин); ε – диэлектрическая проницаемость диэлектрика, заполняющего пространство между пластинами;

- плоского конденсатора, заполненного п слоями диэлектрика толщиной di каждый с диэлектрическими проницаемостями i , (слоистый

конденсатор, рис. 3.6):

-сферического конденсатора (две концентрические сферы радиусами R1

иR2, пространство между которыми заполнено диэлектриком с диэлектрической проницаемостью ε, рис. 3.7):

55

C 4 0 R1 R2 ;

R2 R1

-цилиндрического конденсатора (два коаксиальных цилиндра длиной l

ирадиусами R1 и R2, пространство между которыми заполнено диэлектриком

с диэлектрической проницаемостью ε, рис. 3.8) при условии l >>R:

C 2 0 l .

ln R2

R1

Общая ёмкость при параллельном соединении конденсаторов:

n

C Ci C1 C2 ... Cn ,

i 1

где п – число конденсаторов. Для двух конденсаторов: C C1 C2 . Для п одинаковых конденсаторов с электроёмкостью С1 каждый: C n C1.

Общая ёмкость при последовательном соединении конденсаторов:

одинаковых конденсаторов с электроёмкостью С1 каждый: C Cn1 .

Энергия заряженного проводника выражается через заряд q, потенциал

φи электрическую ёмкость С проводника следующими соотношениями:

Энергия заряженного конденсатора

где С – электрическая ёмкость конденсатора, q – его заряд, U – разность потенциалов на его пластинах.

Объёмная плотность энергии – это энергия единицы объёма:

Объёмная плотность энергии электростатического поля:

где Е – напряжённость поля, D – электрическое смещение.

56

Законы постоянного тока

Сила тока – отношение заряда dq , прошедшего через сечение проводника, к промежутку времени dt , за которое заряд был перенесён:

I dqdt .

Сила тока – производная заряда по времени. Только в случае, когда ток постоянный, можно использовать формулу

I qt ,

где q – заряд, прошедший через сечение проводника за время t .

Плотность электрического тока – это сила тока I , приходящаяся на единицу площади сечения проводника S :

Плотность электрического тока – это вектор, равный:

R Sl ,

где ρ – удельное сопротивление вещества проводника; l – его длина; S – его сечение.

Проводимость G проводника и удельная проводимость γ вещества

где ρ0 (R0) – удельное сопротивление (сопротивление) при температуре 00С; t – температура (по шкале Цельсия); – температурный коэффициент сопротивления.

Сопротивление при последовательном соединении проводников:

57

Сопротивление при параллельном соединении проводников:

Здесь Rk – сопротивление k-го проводника; N – число проводников.

Электродвижущая сила (ЭДС) численно равна работе сторонних сил по перемещению единичного заряда по замкнутой цепи. Или: ЭДС равна работе сторонних сил по перемещению точечного заряда по замкнутой цепи, отнесённой к величине этого заряда:

Aстор. .

q

Закон Ома:

- для неоднородного участка цепи (участка, содержащего ЭДС):

I 1 2 ;

R

- для однородного (не содержащего ЭДС) участка цепи:

Здесь (φ1–φ2) – разность потенциалов на концах участка цепи; ε – ЭДС

источника тока, U – напряжение на участке цепи; R – сопротивление цепи (участка цепи); r – внутреннее сопротивление источника тока.

Первое правило Кирхгофа. Алгебраическая сумма токов, сходящихся в узле, равна нулю:

N

Ii 0 ,

i 1

причём токи, заходящие в узел, надо брать в этой сумме с положительным знаком, выходящие из узла – с отрицательным. Здесь N – число токов, сходящихся в узле.

Второе правило Кирхгофа. Алгебраическая сумма напряжений на всех участках любого замкнутого контура равна алгебраической сумме ЭДС, включенных в данный контур:

58

Здесь Ii – сила тока на i-м участке; Ri – сопротивление i-того участка; i

– ЭДС источников тока на i-м участке; п – число участков, содержащих сопротивления; k – число участков, содержащих источники тока. Правило знаков: если направление тока на данном участке совпадает с направлением обхода контура, то произведение Ii Ri надо брать с положительным знаком;

иначе – с минусом. Если ЭДС при обходе контура проходим от минуса к плюсу, то i надо брать с плюсом; иначе – с минусом.

Работа, совершаемая электростатическим полем и сторонними

силами на участке цепи постоянного тока за время t:

A I U t .

В случае непостоянного тока работа равна:

t

A I U dt .

0

Мощность тока

P I U I 2 R U 2 . R

Закон Джоуля-Ленца для постоянного тока:

Q I 2 R t ,

где Q – количество теплоты, выделяющееся в участке цепи при протекании постоянного тока за время t. В случае непостоянного тока:

0

Здесь I t – мгновенная сила тока. Закон Джоуля-Ленца справедлив при условии, что участок цепи неподвижен и в нём не совершаются химические превращения

Коэффициент полезного действия источника тока

(см.рис. 3.9):

вершинах равностороннего треугольника со стороной а=10 см. Определить модуль и направление силы, действующей на один из зарядов со стороны двух других.

162. Два положительных точечных заряда Q1 Q и Q2 9Q закреплены на расстоянии d=100 см друг от друга. Определить, в какой точке на прямой,

59

проходящей через заряды, следует поместить третий заряд так, чтобы он находился в равновесии. Указать, какой знак должен иметь этот заряд для того, чтобы равновесие было устойчивым, если перемещения зарядов возможны только вдоль прямой, проходящей через закрепленные заряды.

163. Два одинаковых заряженных шарика подвешены в одной точке на нитях одинаковой длины. При этом нити разошлись на угол . Шарики погружают в масло. Какова плотность масла ρ, если угол расхождения нитей при погружении в масло остается тем же? Плотность материала шариков

0 1,5 103 кг/м3, диэлектрическая проницаемость масла ε=2,2.

центре квадрата, чтобы сила взаимного отталкивания положительных зарядов была уравновешена силой притяжения отрицательного заряда?

165. Тонкий стержень длиной l=10 см заряжен равномерно зарядом q=100 нКл. На продолжении оси стержня на расстоянии d=20 см от ближайшего его конца находится точечный заряд Q1 100 нКл. Определить силу взаимодействия заряженного стержня и точечного заряда.

166. Тонкий длинный стержень равномерно заряжен с линейной плотностью заряда τ=10 мкКл/м. На продолжении оси стержня на расстоянии d=20 см от ближайшего его конца находится точечный заряд Q1 10 нКл. Определить силу взаимодействия заряженного стержня и точечного заряда.

167. Тонкий очень длинный стержень равномерно заряжен с линейной плотностью заряда τ=10 мкКл/м. На перпендикуляре к оси стержня, идущем из его середины, находится точечный заряд Q1 10 нКл. Расстояние от стержня до заряда d=20 см. Определить силу взаимодействия заряженного стержня и точечного заряда.

168.Тонкая нить длиной l=20 см заряжена равномерно зарядом q=2 нКл. На расстоянии d=10 см от нити против ее середины находится точечный заряд Q1 1 нКл. Определить силу, действующую на этот заряд со стороны нити.

169.Тонкий длинный стержень равномерно заряжен. Сила, действующая

со стороны стержня на точечный заряд Q1 10 нКл, находящийся на расстоянии d=20 см от стержня вблизи его середины, равна 9 мН. Какова линейная плотность заряда стержня?

170. Тонкое кольцо радиусом R 10 см несет равномерно распределенный заряд Q 0,1 мкКл. На перпендикуляре к плоскости кольца, восстановленном из его середины, находится точечный заряд Q1 10 нКл. Какова сила, действующая со стороны заряженного кольца на заряд Q1 , если он удален от центра на расстояние: 1) d1=20 см; 2) d2=2 м?

171. Тонкий стержень длиной l=12 см заряжен с линейной плотностью τ=200 нКл/м. Найти напряженность электрического поля в точке, находящейся на расстоянии d=5 см от стержня, напротив его середины.

60