Физика. Краткая теория и примеры решения задач. Методическое пособие 2016

Fтяг. m1r2m2 ,

где – гравитационная постоянная; m1 и m2 – массы взаимодействующих тел, рассматриваемые как материальные точки; r – расстояние между ними.

Сила тяжести

радиус Земли, h – высота тела массой m над Землёй.

Вес тела – сила, приложенная к подставке или подвесу (рис. 1.8). Вес

где m – масса тела. Если ускорение тела направлено вертикально вверх, то вес P m(g a) ; а если вертикально вниз, то P m(g a) .

Сила трения скольжения (рис. 1.9):

Fтр. N ,

где – коэффициент трения, N – сила нормального давления.

Сила трения покоя:

0 Fтр.покоя N .

Сила упругости (закон Гука):

Fупр. k l ,

где k – коэффициент упругости (жесткость пружины), l l l0 – абсолютная деформация (рис. 1.10).

Радиус-вектор rc и координаты центра масс системы материальных точек:

11

N

координаты; mi – масса всей системы; N число точек.

i1

Плотность тела:

k

приложенных к системе.

Закон сохранения импульса: если сумма внешних сил равна нулю, то полный импульс системы сохраняется.

12

Средняя мощность за интервал времени t :

P At .

Мгновенная мощность:

где dA – работа, совершаемая за промежуток

времени dt , – скорость тела, – угол между скоростью и силой.

Коэффициент полезного действия

Aполез. .

Aзатр.

Закон изменения полной энергии для незамкнутой системы:

Закон изменения механической энергии для незамкнутой системы:

Wмех.1=Wмех.2+Асистемы против внешних сил+Асистемы против диссипативных сил

Кинетическая энергия материальной точки (или тела), движущейся поступательно:

Потенциальная Wp энергия тела и консервативная сила,

действующая на тело в данной точке поля, связаны соотношением:

поле сил обладает сферической симметрией (как, например, гравитационное),

i

Здесь Wполн.1 и Wполн.2 – полная энергия системы; сумма всех видов энергии для начального и конечного состояния системы соответственно.

Закон сохранения механической энергии (выполняется в замкнутой системе, в которой действуют только консервативные силы):

внеш.

Если Fi 0 и отсутствуют диссипативные силы, то Wмех.1=Wмех.2 .

i

13

Здесь Wмех.1 и Wмех.2 – полная механическая энергия системы; сумма всех

видов потенциальной и кинетической энергии для начального и конечного состояния системы соответственно (Wмех. Wk Wp ).

Потенциальная энергия упруго деформированного тела (сжатой или растянутой пружины)

Wp k l 2 , 2

где k – жёсткость пружины, l – абсолютная деформация.

Потенциальная энергия гравитационного взаимодействия

Wp m1 m2 , r

где r – расстояние между двумя точечными массами m1, и m2, – гравитационная постоянная.

Потенциальная энергия тела в однородном поле силы тяжести:

Wp m g h ,

где h – высота тела над уровнем, принятым за нулевой, g – ускорение свободного падения. Эта формула справедлива при условии h R , где R – радиус Земли.

Динамика вращательного движения

Момент силы F , действующей на тело, относительно оси вращения (рис. 1.13):

M F l ,

Рис. 1.13

где F – проекция силы F на плоскость, перпендикулярную оси вращения; l –

плечо силы F (кратчайшее расстояние от оси вращения до линии действия силы).

14

1.14).

Момент инерции материальной точки относительно оси вращения:

J мат.точки m r2 ,

где т – масса точки; r – расстояние от точки до оси вращения;

Момент инерции системы материальных точек относительно оси вращения (или твёрдого тела, которое можно представить как систему дискретных материальных точек):

где mi – масса i-той точки; ri – её расстояние до оси вращения, N – число точек в системе.

Момент инерции твёрдого тела с

непрерывно распределённой массой:

J r2dm .

Если тело однородно, то есть его плотность одинакова по всему объёму, то dm dV , и

J r2dV ,

V

где V – объём тела.

Таблица 1

Моменты инерции некоторых тел правильной геометрической формы

15

где Jc – момент инерции этого тела относительно оси, проходящей через

центр масс тела параллельно заданной оси; d – расстояние между осями; m – масса тела (рис. 1.15).

скорость.

Закон сохранения момента импульса. Если суммарный момент внешних сил, действующих на систему, равен нулю, то полный момент импульса системы сохраняется:

где Li – момент импульса i-го тела, входящего в состав системы, N – число тел в системе. Для двух взаимодействующих тел замкнутой системы:

и конечная угловые скорости тела.

16

Основное уравнение динамики вращательного движения твердого

Если момент сил постоянен ( M const ), то работа равна

A M .

Здесь (или d ) – угол поворота.

Мгновенная мощность, развиваемая при вращении тела:

PM .

Кинетическая энергия вращающегося тела:

вращательного движения тела вокруг оси, проходящей через центр масс.

17

Механические колебания

Кинематическое уравнение гармонических колебаний x Acos t 0 ,

Здесь х – смещение колеблющейся точки из положения равновесия; t – время;

А – амплитуда колебаний; ω – круговая (циклическая) частота колебаний;

0 – начальная фаза колебаний;

t 0 – фаза колебаний в момент t.

Круговая (циклическая) частота колебаний:

где и Т – частота (линейная частота) и период колебаний соответственно.

Скорость точки, совершающей гармонические колебания:

dxdt A sin t 0 .

Ускорение колеблющейся точки при гармонических колебаниях:

a d 2 A cos t 0 . dt

Период колебаний пружинного маятника (тела массой m,

подвешенного на пружине жёсткостью k, рис. 1.16):

Tпруж. 2 mk .

Формула справедлива для малых колебаний, пока выполняется закон Гука F k x , и в пренебрежении массой пружины в сравнении с массой тела.

Период колебаний математического маятника (материальной точки массой m, подвешенной на нерастяжимой невесомой нити длиной l, рис. 1.17):

Tмат. 2 gl ,

где g – ускорение свободного падения.

Период колебаний физического маятника (твёрдого тела,

подвешенного в поле силы тяжести и способного колебаться относительно оси, не проходящей через центр масс, рис. 1.18):

Здесь J – момент инерции колеблющегося тела относительно оси колебаний, l – расстояние от центра масс маятника до оси (длина физического

18

длина такого математического маятника, который имеет тот же период колебаний).

Формулы для периода колебаний физического и математического маятников справедливы при малых углах отклонения, когда можно положить sin . Для α=150 ошибка в значении периода не превышает 1 %, а при α=30 ошибка равна 0.005 %.

Период колебаний крутильного маятника (тела, подвешенного на упругой нити, рис. 1.19):

где J – момент инерции тела относительно оси, совпадающей с нитью, kкр. –

модуль кручения нити. Формула справедлива для упругих колебаний в пределах, в которых выполняется закон Гука: M kкр. . Здесь M – момент

упругой силы, возникающей при закручивании нити на угол .

Полная энергия гармонического осциллятора:

kA2 m 2 A2

Wполн. 2 2

Закон сохранения энергии при гармонических колебаниях:

одинаковой частоты, происходящих по одной прямой, x1 A1 cos t 1 и

x2 A2 cos t 2 ,

равна

A A12 A22 2A1 A2 cos( 2 1) ,

19

где А1 и А2 – амплитуды исходных колебаний; 1 и 2 – их начальные

фазы (см. сложение колебаний по методу векторных диаграмм на рис.

1.20).

Начальная фаза

результирующего колебания при сложении однонаправленных колебаний:

0 arctg A1 sin 01 A2 sin 02 . A1 cos 01 A2 cos 02

Уравнение траектории (рис.

1.21) точки, участвующей в двух Рис. 1.20

взаимно перпендикулярных

колебаниях одинаковой частоты,

x A1 cos t 1 и y A2 cos t 2 ,

самплитудами А1 и А2 и начальными фазами 1 и

2 :

действующая на тело массой m при гармонических колебаниях:

F 2 m x k x ,

где х – смещение колеблющейся точки из положения равновесия; ω –

циклическая частота колебаний; – коэффициент пропорциональности. В частном случае пружинного маятника он равен жёсткости пружины.

Дифференциальное уравнение гармонических колебаний

m d 2 x k x , или в стандартной форме: dt 2

d 2 x 2 x 0 , dt 2

где x – колеблющаяся величина; ω – круговая (циклическая) частота колебаний; k m 2 – коэффициент квазиупругой силы.

Дифференциальное уравнение затухающих колебаний

m d 2 x r dx k x , или в стандартной форме: dt2 dt

20