Физика. Краткая теория и примеры решения задач. Методическое пособие 2016

77. Два источника колебаний, лежащие в точках с координатами х1=0 м х2=10 м, колеблются по одинаковому закону s 0.05sin 16 t (смещение из положения равновесия – в метрах, время – в секундах). Написать уравнение колебаний в точке А, координата которой равна хА=13 м. Скорость распространения волн равна 320 м/с. Волны считать плоскими.

78. Определить разность фаз Δφ колебаний двух точек среды, находящихся на расстоянии l=0.1 м друг от друга, если в среде распространяется плоская волна вдоль линии, соединяющей эти точки. Скорость распространения волны υ=314 м/с, частота колебаний источника

ν=1000 Гц.

79. Два точечных когерентных источника звуковых волн одинаковой мощности находятся в воздухе на расстояниях l1=2.5 м и l2=2.4 м от микрофона. Определить отношение амплитуд результирующего и исходного

s10 4 cos(6280 t 19x) , где амплитуда выражена в метрах, круговая частота

–в с-1, волновое число – в м-1, найти: а) скорость распространения волны υ; б) амплитуду скорости частиц среды υmax и её отношение к скорости

распространения волны max ; в) длину волны λ и отношение амплитуды

A

смещения частиц среды к длине волны .

Раздел 2. ГИДРОДИНАМИКА. УПРУГИЕ СВОЙСТВА ТВЁРДЫХ ТЕЛ.

МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА. ОСНОВЫ ТЕРМОДИНАМИКИ

Гидродинамика

Объёмный QV и массовый Qm расход жидкости или газа:

QV dVdt S ; Qm dmdt S .

Здесь dV – объём ( dm – масса) газа или жидкости плотностью , протекающий со скоростью за время dt через сечение площадью S трубки тока.

Уравнение неразрывности струи для несжимаемой жидкости или газа:

S1 1 S2 2 ,

где S1 и S2 – площади поперечного сечения трубки тока в двух местах; υ1 и υ2

– соответствующие скорости течений (рис. 2.1).

31

Уравнение Бернулли для идеальной (без вязкости) несжимаемой идеальной жидкости или газа:

жидкости (газа).

Формула Ньютона для вязкой жидкости (газа). Сила F вязкого трения, действующая между двумя слоями стационарно текущего газа или жидкости, прямо пропорциональна площади S слоёв и

32

QV R4 p , 8 l

где η – динамическая вязкость (коэффициент внутреннего трения) жидкости (газа).

Кинематическая вязкость:

где – средняя по сечению трубки скорость течения жидкости; d – диаметр трубки, – динамическая вязкость, – кинематическая вязкость,

– плотность жидкости (газа).

Число Рейнольдса для шарика диаметром d, движущегося в вязкой

жидкости или газе со скоростью :

Re d d .

Число Рейнольдса Re есть функция скорости тела, линейной величины d, определяющей размеры тела, плотности и динамической вязкости η жидкости, то есть Re f , ,d, . При малых значениях чисел Рейнольдса, меньших некоторого критического значения Reкр. , движение жидкости

является ламинарным (слоистым, без перемешивания). При значениях движение жидкости переходит в турбулентное (вихревое).

Критическое число Рейнольдса для движения шарика в жидкости Reкр. 0.5 ; для потока жидкости в длинных трубках Reкр.

Формула Стокса. Сила сопротивления F, действующая со стороны

где – динамическая вязкость среды. Формула справедлива при ламинарном обтекании шарика.

Упругие свойства твёрдых тел

Относительная продольная деформация при продольном растяжении

(или сжатии) тела:

|| l , l

где l x – абсолютное удлинение, l – начальная длина тела (рис. 2.3).

33

Относительное поперечное сжатие при продольной деформации

(рис.2.3):

d , d0

где d d d0 – изменение диаметра стержня при деформации.

Коэффициент Пуассона материала:

,

||

где || – относительная продольная деформация; – относительное

поперечное сжатие.

Нормальное механическое напряжение:

FS ,

где F – сила, перпендикулярная поперечному сечению тела площадью S (рис. 2.3).

Закон Гука для деформации сжатия-растяжения:

Здесь || – относительное удлинение, E – модуль Юнга материала, k – жёсткость (коэффициент жёсткости), равный для стержня величине k ESl .

Тангенциальное механическое напряжение

F ,

слоев тела относительно друг друга; h – расстояние между слоями.

Закон Гука для деформации сдвига:

G ,

где G – модуль модуль сдвига.

Связь между модулем Юнга E и модулем сдвига G:

где – коэффициент Пуассона материала.

34

Закон Гука для деформации кручения:

M Kкр. ,

где М – момент силы, закручивающий однородный круглый стержень на угол φ; Kкр. – постоянная кручения.

Потенциальная энергия растянутого или сжатого стержня

-при однородной деформации:

относительная продольная деформация; V – объём тела; w – объёмная плотность энергии, равная, по определению, энергии, приходящейся на

где Е – модуль Юнга; || – относительная продольная деформация.

Молекулярная физика

Относительная атомная масса элемента (они приводятся в таблице

35

где ni – число атомов i-го химического элемента, входящего в состав молекулы данного вещества; Ari – относительная атомная масса этого

элемента.

Количество вещества определяется числом структурных элементов (молекул, атомов, ионов и т. п.), содержащихся в системе или теле. Количество вещества выражается в молях ( ). По закону Авогадро, один моль вещества содержит столько же структурных элементов, сколько

содержится атомов в 12 граммах изотопа углерода 12C . Один моль вещества содержит число структурных элементов N, равное числу Авогадро N A .

Количество вещества равно

где m – масса тела (системы); – молярная масса (масса моля вещества).

Молярная масса вещества (масса моля):

где m0 – масса одной молекулы; N A – число Авогадро, m – масса вещества,

–количество вещества.

Связь молярной массы с относительной молекулярной массой M r :

M r k ,

где k 10 3 кг / моль .

Масса m вещества равна связана с числом молекул N:

i

Средняя молярная масса смеси газов:

где mi – масса, i – количество вещества i-го компонента смеси; k – число компонентов смеси.

36

Уравнение состояния идеального газа (уравнение Менделеева-

где m – масса газа; – его молярная масса; – количество вещества; R – универсальная газовая постоянная, k – постоянная Больцмана, n – концентрация молекул газа.

Универсальная газовая постоянная R связана с постоянной Больцмана ( N A – число Авогадро):

Rk N A .

Концентрация частиц (молекул, атомов и т. п.) однородной системы – это число частиц в единице объёма:

n VN .

Здесь N – число частиц; V – объём.

Закон Дальтона для смеси газов. Давление p смеси равно сумме парциальных давлений pi всех компонент смеси:

k

p pi ,

i

где k – число компонент смеси.

Основы термодинамики

Первое начало термодинамики. Количество теплоты δQ, сообщённое системе, идёт на приращение её внутренней энергии и dU на работу δA системы против внешних сил:

изменение температуры тела.

Удельная теплоёмкость вещества – это теплоёмкость единицы массы:

где Q – количество теплоты; m – масса вещества; dT – соответствующее изменение его температуры.

Молярная теплоёмкость вещества – это теплоёмкость одного моля:

37

Здесь Q – теплота, сообщённая одному молю газа в соответствующем

процессе; dU dU – изменение внутренней энергии одного моля газа; dT –

изменение его температуры.

Степени свободы; число степеней свободы i – это число независимых координат, однозначно определяющих положение тела (или молекулы) в пространстве. Для одноатомных молекул i=3, так как трёх координат (x, y, z) достаточно для того, чтобы однозначно задать положение материальной точки

втрёхмерном пространстве. При температурах, не слишком низких и не слишком высоких, для двухатомных молекул i=5; для многоатомных – i=6

(с учётом вращательных степеней свободы).

Показатель Пуассона (показатель адиабаты) – это отношение теплоёмкости CP при постоянном давлении к теплоёмкости CV при

постоянном объёме (здесь i – число степеней свободы молекул):

CP i 2 .

CV i

Молярные теплоемкости идеального газа при постоянном объёме

CV и постоянном давлении CP можно выразить через число степеней свободы молекулы i или через показатель Пуассона ( R – универсальная газовая постоянная):

Уравнение Майера

CP CV R .

38

Внутренняя энергия идеального газа

U CV T ,

где m – количество вещества.

Работа, связанная с изменением объёма газа, в общем случае:

где V1 – начальный объём газа; V2 – его конечный объём.

Термический коэффициент полезного действия (КПД) в общем случае:

A Q1 Q2 ,

Q1 Q1

где Q1 – количество теплоты, полученное рабочим телом (газом) от нагревателя; Q2

– количество теплоты, переданное рабочим телом охладителю, А – работа за цикл.

КПД цикла Карно (рис. 2.5):

где T1 – температура нагревателя; T2 – температура охладителя.

Энтропия по определению Клаузиуса. Функция состояния системы,

дифференциал dS которой в обратимом процессе равен приведённой теплоте, является энтропией:

dS Q . T

Здесь δQ – теплота, полученная системой; Т – её температура.

Изменение энтропии в общем случае:

S 2 Q ,

1 T

где 1 и 2 – пределы интегрирования, соответствующие начальному и конечному состояниям системы. Так как процесс равновесный, то интегрирование проводится по любому пути.

Изменение энтропии для процессов с идеальным газом (см. также табл. 3):

S CV ln T2 R ln V2 .

T1 V1

Удельная теплота парообразования:

39

L Q , m

где m масса вещества; Q – теплота, необходимая для его испарения.

Таблица 2

Уравнения процессов с идеальным газом, первое начало термодинамики для них, термодинамические величины и их изменения

при этих процессах