4. Вторая (обратная) задача динамики.
По заданной массе и действующей на точку силе необходимо определить движение этой точки. Рассмотрим решение этой задачи в прямоугольной декартовой системе координат.
В общем случае сила F, и её проекции на координатные оси могут зависеть от времени координат движущейся точки, её скорости, ускорения и т.д. Для простоты ограничимся случаем зависимости силы и её проекции на оси координат от времени, координат, скорости. Дифференциальные уравнения точки имеют вид:
Для случая системы трех обыкновенных дифференциальных уравнений 2-го
порядка имеется 6 произвольных
постоянных С1,С2,С3,С4,С5,С6
Каждая из координат x,y,z движущейся точки после
интегрирования системы уравнений зависит от
времени t и всех шести произвольных постоянных, т.е.
Для выделения конкретного вида движения материальной точки необходимы дополнительные условия, позволяющие определить произвольные постоянные, которых в общем случае будет 6.
В качестве таких условий обычно задают так называемые начальные условия, т.е в какой – то определенный момент времени, например при t=0 задают координаты движущейся точки x0,y0,z0 и
проекции её скорости v0x v0y v0z
Пример второй задачи
динамики
5. Дифференциальные уравнения прямолинейного движения материальной
точки |
; |
) |
|
|
Если точка движется по известной траектории, то
основное уравнение динамики удобно записывать в |
|||
проекциях на оси естественной системе координат: |
|||
|
2 |
|
|
ms |
|
|
|
|
|
||
|
|
Fn t, s, s |
0 Fв t, s, s |
|
|
|
|
Правые части этих уравнений содержат неизвестные силы реакций связи, т.к. движущаяся точка несвободна. Исследование такого движения предполагает одновременное решение 1 и 2 задач динамики при следующих начальных условиях:
При t = 0
7. Динамика относительного движения. Случай относительного покоя.
Получим уравнения движения материальной точки в
неинерциальной системе отсчёта. Рассмотрим
сложное движение точки одновременно в двух
системах координат:
- основная (инерциальная система отсчёта)
Пусть –
равнодействующая сил,
действующая на точку М. В неинерциальной системе отсчёта:
,тогда или
Введём обозначения переносная сила инерции. кориолисовая сила инерции. Тогда уравнение примет вид: +.
Основное уравнение динамики относительного движения. Уравнения движения в подвижной системе координат не совпадает с основным уравнением динамики, следовательно, система отсчёта не является инерциальной. Итак, чтобы получить уравнение для точки в неинерциальной системе координат, необходимо добавить переносную и кориолисову силу инерции. Дифференциальные уравнения относительного движения материальной точки имеют вид:
Если подвижная система координат движется поступательно, равномерно и прямолинейно, то переносное и кориолисова силы инерции равны 0 и относительное движение описывается основным уравнением динамики. Это выражает принцип относительности классической механики. В случае, если материальная точка неподвижна в неинерциальной системе отсчёта, уравнение её равновесия будет иметь вид =0
Условие относительного покоя материальной точки!