Лекция №16
ПЛАН
1.Аналитическая механика.
2.Обобщенные координаты.
3.Обобщенные силы.
4.Принцип, возможных перемещений.
1.Аналитическая механика.
Тела, ограничивающие свободу перемещения точек данной механической системы, называется связями. В аналитической механике связи задаются математически с помощью уравнений или неравенств, в которые входят время, координаты всех или части точек системы и их производные по времени.
В частности, для одной точки уравнение связи может иметь вид: f(x,y,z)=0, где f(x,y,z) – заданная функция координат точки.
Например, связь в виде идеального стержня, ограничивающего перемещение материальной точки М (x,y,z), записывается уравнением: x2+y2+z2=l2
Другой пример. При свободном движении системы двух материальных точек М1(x1,y1,z1) и М2(x2,y2,z2),
соединённых между собой идеальным стержнем, уравнение связи, из условия неизменности расстояния между точками, имеет вид: (x2-x1)2+(y2-y1)2+(z2-z1)2=l2
Пример: Написать уравнение связей наложенных на две материальные точки, соединённые нерастяжимым стержнем длиной l, движущейся в одной плоскости: Выберем в качестве плоскости ХУ плоскость движения точек.
Тогда имеем |
Z1 |
0 |
уравнение связей |
|
Z2 |
0 |
|||
|
|
Если точки соединены стержнем, то расстояние между ними всегда l.
Тогда (x2-x1)2+(y2-y1)2=l2 ещё одно уравнение связи.
Классификация связей
Связь называется голономной, если в уравнение связи входят координаты точек механической системы. f(x1,y1,z1,…,xn,yn,zn,t)=0
Если в уравнение связи, кроме координат, входят ещё и их производные по времени и это дифференциальное уравнение не может быть проинтегрировано, то связь называется неголономной.
Связь называют удерживающей, если она выражается математическим уравнением, и неудерживающей, если она выражается неравенством.
Связь называется стационарной, если в уравнение связи время явно не входит. Если в уравнение связи время входит явным образом, то связь нестационарная. Примером нестационарной связи, наложенной на материальную точку является нить, длина которой изменяется по заданному закону
x2 y2 z2 l 2 (t)
это голономная, неудерживающая, нестационарная связь.
Виртуальные работы силы. Идеальные связи.
Виртуальным (возможным) перемещением точки называется такое бесконечно малое (элементарное) перемещение , которое допускается в рассматриваемый момент времени наложенными на точку связями.
Например: для связи в виде идеального стержня виртуальное перемещение δr всегда перпендикулярно радиусу сферы, по которой может перемещаться точка.
Авиртуальное перемещение механической системы – совокупность виртуальных перемещений точек этой системы.
Виртуальной работой силы называется работы силы на виртуальном переме- щении точки её приложения А F δr
Примером является шероховатая поверхность для катка катящегося без скольжения, при отсутствии трения качения.
А m p (R)δ 0
2.Обобщённые координаты
Рассмотрим механическую систему из n материальных точек, подчиненную h
голономным связям.. f1(x1,y1,z1,…,xn, yn,zn,t)=0, где i=1,…,n |
(16.1) |
|
|
Связи называются голономными, если их уравнения могут быть записаны в |
|
виде, |
не содержащем производных от координат. |
|
Системе при этом можно придать произвольное возможное перемещение, описываемое
вариациями координат. δx1 ,δy1 ,δz1 ,...,δxn ,δyn ,δzn
Варьируя уравнения связей, мы получим h уравнений, связывающих между собой эти уравнения.
|
f |
i |
|
|
|
f |
i |
|
|
|
f |
i |
|
|
|
f |
i |
|
|
|
x |
|
|
|
y |
|
|
|
z |
... |
|
||||
x |
y |
z |
x |
|
|||||||||||||
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
1 |
|
n |
|||||||
|
|
1 |
0 |
|
|
|
1 |
0 |
|
|
|
1 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
fi |
|
|
|
|
fi |
|
|
0 |
i=1,2…,h |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
x |
n |
|
|
|
y |
n |
|
|
|
z |
n |
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
yn |
|
|
|
zn |
|
|
|
||
Таким образом, не все из 3n вариаций оказываются независимыми, независимыми будут только (3n-h) вариаций.
Число независимых между собой вариаций координат точек механической системы называется её числом степеней свободы.
Итак, для голономной механической системы число степеней свободы S=3n-h. На практике число степеней свободы определяется следующим образом: если в системе вообще невозможно движение, то у неё нет ни одной степени свободы. Если движение возможно, только мысленно фиксируется какая-либо одна меняющаяся координата. Если после этого движение становится невозможным, то у системы одна степень свободы, если движение ещё остается возможным – значит, у системы больше одной степени свободы. Тогда фиксируется вторая координата и так далее.
Минимальное количество независимых координат, которые следует зафиксировать для прекращения возможности движения, и будет числом степеней свободы.
Например, у точки, движущейся по прямой линии,- одна степень свободы, у точки на плоскости – две, у точки в пространстве – три. У свободного тела в пространстве (самолет летящий) – шесть.
Можно выбирать некоторые параметры, описывающие однозначно положение системы. Например математические маятник (рис.1).
Вместо того, чтобы рассматривать две его координаты х и у и уравнение связи x2+y2=l2. Можно ввести один параметр-угол его отклонения от вертикали φ, и этот параметр будет однозначно описывать положение маятника.
Обобщённые координаты механической системы называются |
(рис.1) |
независимые между собой параметры, однозначно определяющие |
|
положение механической системы. Число обобщенных координат |
|
для голономной системы равно ее числу степеней свободы. |
|
Обозначение их: q1, q2 , ..., qs
Физически это могут быть линейные перемещения, углы поворота и др.
Обобщёнными координатами мы пользуемся давно: это углы поворота при
вращательном и плоском движениях, углы Эйлера при сферическом движении.
Производные по времени от обобщенных координат называются |
|
обобщёнными скоростями. q j |
dq j |
, где j=1, 2,....s |
(16.3) |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Итак, если положение механической системы определяется s обобщёнными |
||||||||||||||
|
координатами q1, q2 , ..., qs, то радиус-вектор |
rk всех точек могут быть |
|
|||||||||||
|
выражены через обобщенные координаты и время: |
|
|
|
|
(q , q |
|
, ..., |
q ,t), |
|
||||
|
r |
r |
|
(16.4) |
||||||||||
|
|
|
|
|
k |
|
n |
1 |
2 |
|
s |
|||
Эта система векторных равенств равносильна системе 3n скалярных |
|
|
||||||||||||
kхk(q1, .., qs ,t) yk yn(q1, .., qs ,t) zn zk(q1, .., qs ,t)
При подстановке этих выражений для xk, yk, zk в уравнение (16.1) последниеуравнений:
должны обращаться в тождество. Например: для рассмотренного выше
математического маятника |
декартовые |
координаты можно выразить |
через обобщенную координату φ: х l sin |
у l cos |
|
Пользуясь равенством (16.4) можно выразить вариации декартовых координат и радиус-вектор через вариации обобщенных координат, варьируя уравнения связей:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
s |
r |
||
|
|
|
rk |
|
|
rk |
|
|
rk |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
rk |
q1 |
|
q2 |
... |
qs k=1,2.....n (16.7) или |
rk |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
q j |
||||||||||||
q1 |
q2 |
qs |
||||||||||||||||||||
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
j 1 |
q j |
|||||||||||
Обобщённые координаты удобны тем, что: 1)они независимы
2)их введение освобождает нас от необходимости удовлетворять уравнению связей.
3. Обобщённые силы.
А F r
N F υ
А |
|
|
|
|
|
|
|
Fk |
k |
N Fk k |
|||||
rk rk q j
q j
n |
|
|
|
n |
|
|
s |
r |
|
|
|
|
|
|
s |
|
N |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
r |
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
A F |
r |
F |
k |
q |
|
|
|
|
F |
|
|
k |
q |
|
(16.11) |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
k |
|
k |
k |
q |
j |
|
j |
|
|
|
|
k q |
|
|
|
j |
|
||||||||||||
k 1 |
|
|
k 1 |
|
j 1 |
|
|
|
|
|
|
j 1 k 1 |
|
|
|
j |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
rk |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
выражение, стоящее в скобках |
Qj Fk |
(16.12) называется обобщенной |
|||||||||||||||||||||||||||
q j |
|
||||||||||||||||||||||||||||
силой, соответствующей данной обобщённой координате qj. |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
A Q j |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Тогда |
q j |
|
|
(16.13) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
N Q j |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
q j |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||