Лекция №12
План
1)Момент инерции твердого тела относительно плоскости, относительно оси, относительно полюса.
2)Момент инерции относительно декартовых координат.
3)Моменты инерции относительно параллельных осей. Момент инерции однородного тонкого стержня относительно оси. Момент инерции однородной круглой пластины. Момент инерции однородного круглого цилиндра.
4)Количество движения точки и системы. Элементарный и полный импульс силы.
5) Теорема об изменении количества движения механической системы. Момент количества движения материальной точки и системы.
6) Теорема об изменении момента количества движения материальной точки. Теорема об изменении кинетического момента механической системы.
1. Момент инерции твердого тела относительно
плоскости, относительно оси, относительно полюса.
Движение тел существенным образом зависит от характера распределения масс.
Положение центра масс не характеризует распределения массы. Поэтому при изучении динамики механических систем точек и при изучении динамики твердого тела, вводится еще одна характеристика –момент инерции системы материальных
точек и момент инерции твердого тела.
Моментом инерции системы материальных точек массой mk относительно
точки О, состоящий из N точек, называется сумма произведений масс этих точек на квадраты их расстояний аk до точки О.
J 0 mk ak2
K=1,2,3,4..N
Момент инерции относительно точки называется полярным моментом инерции
Момент инерции твердого тела относительно точки О будет определяться:
J0 a2dm где dm-масса элементарной части тела ,принимаемой в пределе за точку. а- расстояние частиц тела до точки О. Интегрирование ведется по всему объему.
|
Моментом инерции Jk системы материальных точек относительно оси L называется |
||
|
сумма произведений масс этих точек на квадраты их расстояний hk до оси L. |
|
|
|
k=1,2,3…N |
2 |
|
|
|
JL mk hk |
|
|
|
k |
|
|
В случае твердого тела сумму следует заменить интегралом |
|
|
|
где dm=ρdV, ρ - плотность тела, V-объем тела. |
|
|
J L h2dm |
|
|
|
|
|
|
|
|
Моменты инерции одинаковых по форме тел, изготовленных из различных материалов |
||
|
,отличаются друг от друга характеристикой, не зависящей от массы тела является |
||
|
радиус инерции. |
|
|
|
Радиус инерции il относительно оси L определяется равенством: |
|
|
|
Тогда момент инерции относительно оси можно определить по формуле: |
i iL |
|
JL = Мi2
IL
M
2. Момент инерции относительно декартовых координат.
Выразим момент инерции системы материальных точек относительно оси JL для декартовых осей координат.
Расстояние k-ой частицы до оси Х определяется из геометрии.
h2 |
Z 2 |
Y 2 |
|
|
|
|
|
|
kx |
k |
x |
|
|
|
|
|
|
h2 |
Z 2 |
Y 2 |
|
|
|
|
|
|
ky |
k |
x |
|
|
|
|
|
|
h2 |
Z 2 |
Y 2 |
|
|
|
|
|
|
kz |
k |
x |
|
|
|
|
|
|
Подставим в формулу JL mk hk2 получим |
||||||||
|
|
|
k |
|||||
моменты инерции относительно осей координат: |
||||||||
I x mk yk2 zk2 |
|
|
|
|
|
|||
I y mk хk2 zk2 |
|
|
|
|
|
|||
X |
||||||||
Iz mk xk2 yk2 |
||||||||
|
|
|
|
|
||||
Z mk
hk
Zk
О |
Y |
|
Расстояние k-ой частицы до центра О определяется ak2 xk2 yk2 zk2 |
||
|
Момент инерции относительно этого центра, I0 mk xk2 |
yk2 zk2 |
|
|
|
|
z2 dm |
|
Для сплошных твердых тел I x (y2 z2 ) dm |
Iky x2 |
|
|
Iz (x2 y2 ) dm |
I0 (x2 y2 z2 ) dm |
|
|
2I0 I X IY IZ |
|
|
Центробежные моменты инерции