Лекция №11
ПЛАН
1) Введение в динамику системы. Силы, действующие на точки механической системы
2) Центр масс системы материальных точек и его координаты. Теорема о движении центра масс.
3) Дифференциальные уравнение движения механической системы.
4) Дифференциальные уравнения поступательного движения твердого тела.
1. Введение в динамику систему. Силы, действующие на точки механической системы.
Механическая система-совокупность взаимодействующих между собой материальных точек.
При движении механической системы к каждой её точке приложены силы двух типов: внутренние силы, действующие между точками одной механической системы, и внешние, действующие на точку данной механической системы со стороны других систем.
Рассмотрим произвольную точку системы Мк где к=1,..n.
F-kравнодействующаяl внешних сил, действующих на точку Мк
|
F- i |
равнодействующая |
внутренних сил, действующих на точку Мк |
|
|
||||||
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Свойства внутренних сил: |
|
|
|
Мк |
|||||||
|
|
Главный вектор и главный момент внутренних |
|
|
|||||||
|
сил механической |
системы равно нулю, |
т.к. это |
|
|
||||||
|
силы |
|
|
взаимодействия между |
точками |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
0 |
M0 ( F ki ) 0 |
|
Fki |
|
|
||
|
системы. |
Fki |
|
|
|
||||||
|
|
Fkl |
|||||||||
2. Центр масс системы материальных точек и его координаты. Теорема о движении центра масс
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
Массой механической системы называется сумма масс её точки |
|
m mk |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k 1 |
|
|
Центром массы механической системы это точка, положения которой |
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
mk rk |
|
mk rk |
1 |
mk rk |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
определяет радиус-вектором. |
rc mk |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
M |
M |
|
|
|
|
||||||||||||||
|
Проектируя на оси получим формулы для определения координат центра масс: |
||||||||||||||||||
|
Xc |
mk xk |
; Yc |
mk |
yk |
; |
|
|
|
|
z |
|
m1 |
|
m2 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
m |
m |
|
|
|
|
|
|
|
|
r1 |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
c |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
mk zk |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
||
|
Zc |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
rc |
|
|
||
|
|
m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
mr |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
Формулы, определяющие центр масс, аналогично |
|
|
0 |
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
для формулы центра тяжести т. е. центр тяжести и |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
центр масс совпадающие точки. |
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Однако понятие центра масс является более общим.
Теорема о движении центра масс:
«Произведение массы системы на ускорение центра масс равно главному
вектору внешних сил, действующих на точки системы» |
|
|
|
|
|
|
|
l |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
c |
m yc Fky |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
l |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
mac Fk |
k 1,...n m mk в проекции: m xc Fkx |
|
|
|
|
l |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
k 1 |
|
|
|
|
|
|
m zc Fkz |
|||||||
! Доказательство: Основное уравнение динамики k-ой точки. d 2 r |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
mk |
ak |
|
Fkl |
Fki просуммируем mk ak |
Fkl Fki |
mk dt 2k |
|
|
Fkl |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d 2 |
|
|
d 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
l |
l |
|
|
|
l |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
Сумма внутренних сил равна нулю |
|
mr rk Fk |
|
mr rc Fk m ac |
Fk |
|||||||||||||||||
dt 2 |
dt 2 |
|||||||||||||||||||||
Fkе 0 |
c const |
.. |
.. |
Fkxе 0 |
xc 0, |
xc const сx const |
|
3. Дифференциальные уравнения движения механической системы
Рассмотрим механическую систему состоящую из n материальных точек. Тогда из основного уравнения динамики для к-ой точки запишем.
mk xk Fkxе Fkxi
mk yk Fkyl Fkyi Дифференциальные уравнения движения системы.
mk yzk Fkzl Fkzi
Интегрирование этих уравнений связано со значительными трудностями. В некоторых случаях исследовании движения механической системы можно ограничиться изучением движения центра масс.
4. Дифференциальные уравнения поступательного движения твердого тела
Как известно из кинематики движения описание поступательного движения тела сводится к описанию движения одной его точки, и в динамике в качестве такой точки выбирается центр масс. Уравнение:
|
|
|
N |
m xc Fkxl |
или в проекциях |
|
|
|
|
mac |
Fk e |
m yc Fkyl |
||
|
|
|
k 1 |
|
m zc Fkzl
Называют еще дифференциальным уравнением поступательного движения твердого тела. Вид уравнений показывает, что для поступательного движущегося тела масса является мерой инертности
Меры движения.
Количество движения материальной точки (импульс)- векторная мера ее движения, равная произведению масс точки на ее скорость.
Количество движения механической системы- векторная мера движения, равная сумме |
|
количеств движения точек системы. |
q m |
Qmk * c
Qmk * drdtk dtd * mk * rk dtd * (m * rc ) m * drdtc m * c
Вектор количества движения механической системы равен произведения массы системы на скорость центра масс: Q m * c
Момент количества движения материальной точки (кинетический момент) относительно центра- это вектор, определяемый равенством: K0 r * m *
|
mV |
Момент количества движения относительно оси- это |
|
K0 |
|
|
|
|
|
проекция вектора момента количества движения |
|
|
|
|
|
|
|
M |
относительно центра, лежащего на оси, на эту ось : |
О |
h |
|
Kz mz *(m* ) |
|
|
||
Главный момент количества движения (кинетический момент) механический системы относительно центра О или оси OZ равен соответственно геометрической или алгебраической сумме моментов количеств движения всех точек системы относительно того же центра или оси. K0 rc * mk * k
K z mz (mk * k )
5. Кинетическая энергия материальной точки
|
Кинетическая энергия материальной точки - это скалярная мера ее движения, |
|
равная половине произведения массы точки на квадрат ее скорости: T m * 2 |
|
2 |
|
Кинетическая энергия механической системы- сумма кинетических энергий |
m * 2
k 2 k
Определим кинетическую энергию твердого тела в некоторых частных случаях движения.
а) Поступательное движение по теореме о поступательном движении скорость всех
точек одинаковы, следовательно: T |
m |
k |
* 2 |
2 |
mk |
m * 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
2 |
|
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
б) Вращательное движение |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
T |
m |
|
*( * h )2 |
|
2 |
|
mk * hk2 |
|
J * 2 |
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
k * hk ; |
|
|
k |
|
|
|
k |
|
|
|
|
* |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
в) Плоскопараллельное движение |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
Скорости точек тела при плоском движении пропорциональны расстояниям до мгновенного |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
центра скоростей. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
здесь по теореме Гюйгенса-Штейнера: |
|
|
||||||||||||||||||||||
к * (Р * Мк) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
J zp J zc |
|
|
|
|
|
|
2 |
, тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
m |
|
* 2 |
m |
|
* ( p * Mk)2 * 2 |
|
J zp * 2 |
|
m *( p *C) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
k |
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|||||||||||
T |
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
T |
|
m *( p *c) |
|
* |
|
|
|
J zc * |
|
T |
m * c |
|
|
J zc * |
|
|||||||||
|
|
2 |
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
2 |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||