25. Условия устойчивости сау.

Уравнение системы автоматического управления относительно регулируемой величины имеет вид:

Рассмотрим условие устойчивости САУ, описываемой уравнением (4.1).

Решение этого уравнения:

где xвын(t) – составляющая, характеризующая невозмущенное движение системы; находится как решение неоднородных уравнений:

при нулевых начальных условиях.

А переходная составляющая xперех(t) – характер поведения которой и определяет, является ли система устойчивой или неустойчивой - находится как решение однородного уравнения: D(p) x(t ) = 0,

т. е. уравнения:

при заданных начальных условиях.

Решение его записывается в виде:

где λi – корни характеристического уравнения:

составленного по уравнению (4.4) путем замены символа дифференцирования в дифференциальном операторе левой части этого уравнения p=d/dt на λ.

Если с течением времени переходная составляющая стремится к нулю, то система асимптотически устойчива. Рассмотрим, когда это условие выполняется:

1) корни вещественные (рис. 4.3): λ1 = -α1; λ2 = α2;

Рис. 4.3. Переходные процессы системы при вещественных корнях характеристического уравнения: а – устойчивой; б – неустойчивой

2) корни комплексно-сопряженные (рис. 4.4 и 4.5): λ1;2 = -α ± jβ; λ1;2 = +α ± jβ;

Рис. 4.4. Переходный процесс устойчивой системы при комплексно- сопряженных корнях характеристического уравнения

Рис. 4.5. Переходный процесс неустойчивой системы при комплексно- сопряженных корнях характеристического уравнения

3) корни чисто мнимые (рис. 4.6): λ1;2 = ± jβ.

Рис. 4.6. Переходный процесс системы, находящейся на границе устойчивости, при чисто мнимых корнях характеристического уравнения

Итак, из анализа поведения приведенных выше возможных составляющих xперех(t) (рис. 4.3–4.6) можно сформулировать условие устойчивости линейной системы:

Чтобы линейная система была асимптотически устойчивой, необходимо и достаточно, чтобы все корни её характеристического уравнения были левыми, т. е. имели отрицательные вещественные части (рис. 4.7).

Рис. 4.7. Положения корней на комплексной плоскости: а – устойчивой системы; б – неустойчивой системы; в – системы, находящейся на апериодической границе устойчивости; г - системы, находящейся на колебательной границе устойчивости

Математическая формулировка условий, которым должны удовлетворять коэффициенты характеристического уравнения или какие-либо функции этих коэффициентов, для того чтобы система была устойчива, называется критерием устойчивости. Различают алгебраические и частотные критерии устойчивости.

26. Назовите и покажите типовые переходные процессы.

Различают следующие типовые переходные процессы:

монотонный переходный процесс, когда dh/dt не меняет знак (рис. 5.3, а);

 апериодический переходный процесс, когда dh/dt меняет знак один раз (рис. 5.3, б);

 колебательный переходный процесс, когда dh/dt меняет знак много раз (рис. 5.3, в).

Каждый из трех типовых процессов имеет свои преимущества и недостатки, и предпочтение той или иной форме процесса делают с учетом особенностей управляемого объекта.

27. Расположение корней на комплексной плоскости.

28. Назовите и покажите показатели качества управления.

29. Оценка качества управления по амплитудно-частотной характеристике замкнутой САУ

30. Оценка качества управления по амплитудно-фазовой частотной характеристике разомкнутой САУ