Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

Лаб_практикум_Вычисл_матем_Кузина-Кошев

.pdf
Скачиваний:
29
Добавлен:
03.02.2018
Размер:
1.53 Mб
Скачать

Решение.

 

 

 

 

 

 

 

 

x1 0,5x22

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0,1;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

10x2

x

2

0,1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x [0,01;

0,2];

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

на интервале

1

 

 

 

 

0,1].

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x2 [ 0,1;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Начальные значения:

x

(0) 0,2

и x(0)

0,1.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

По итерационной схеме (4.1) метода Ньютона получим:

 

 

 

X

 

 

 

 

X

 

 

F

 

X

 

 

 

 

F X

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

0

 

 

 

 

0

1

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0,2

 

 

 

1

 

 

0,1 1

 

0,105

 

 

0,111

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

;

 

 

 

0,1

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

0,2

 

 

 

0,057

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

X

 

 

 

X

 

 

F

 

X

 

 

 

F X

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

1

 

 

 

 

1

1

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0,111

 

 

 

 

1

 

0,057

 

1

 

0,013

 

 

0,101

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

0,057

 

 

 

2,22

 

1

 

 

 

 

 

 

0,08

 

 

0,0015

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

При решении системы с точностью

0,001

ответ

x1 0,1

и x2 0

получен на 4-й итерации.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

В итерационной схеме (4.2) метода Ньютона – Рафсона параметр

выберем произвольно:

0 1. Пусть const 0,7.

 

 

 

 

 

 

 

 

Тогда:

 

 

 

X

 

 

X

 

F X

 

 

 

 

F X

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

0

 

 

 

 

 

0

 

1

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0,2

 

 

 

 

1

0,1 1

 

0,105

 

 

0,138

;

 

 

 

 

 

 

 

 

0,7

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0,1

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

0,2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

X

 

1

 

 

 

 

 

 

0,01

 

 

 

 

 

 

 

 

X

 

 

 

F X

 

 

 

 

F X

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

1

 

 

 

 

 

 

1

 

1

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0,138

 

 

 

1

0,01 1

 

0,013

 

 

 

0,111

 

 

 

 

 

 

 

 

0,7

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2,76

 

1

 

 

 

 

 

0,08

 

 

 

 

 

 

0,014

 

 

 

 

0,01

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Решение с точностью 0,001 получено на 6-й итерации.

 

 

 

По итерационной схеме (4.3) метода Левенберга – Марквардта при

const 0,1 получим:

X

 

 

F X

 

 

k E

 

F X

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

X

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

0

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

0,2

 

 

1

0,1

 

0,1

 

1

 

0

1

 

0,105

 

 

 

0,118

 

;

 

0,1

 

 

 

4

 

 

 

0

 

1

 

 

 

 

 

 

0,2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0,044

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

51

 

 

 

 

 

X

 

X

 

F X

 

k E

F X

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

1

 

 

1

 

 

 

 

1

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

0,118

 

 

 

1

0,044

0,1

 

1

0

1

 

0,019

 

 

 

0,103

 

 

0,044

 

 

2,36

 

1

 

 

0

1

 

 

 

 

0,083

 

 

0,08428

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Решение с точностью 0,001 получено на 3-й итерации.

 

 

 

Решимсистемуградиентнымметодом. Дляэтогоприведемееквиду(4.4):

 

 

 

 

 

 

 

S X x

 

0,5x

2

2

 

10x2

 

x

2

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

100x4

20x2 x

2

x2

x x

2 0,2x

 

0,25x4 0,9x2

0,2x

2

0,02.

 

 

1

 

 

 

1

 

 

 

1

 

 

 

 

 

1

 

2

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

По итерационной схеме (4.5) определяем:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

X

1

X

0

0

 

S X 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

S X 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Найдем градиент в произвольной точке:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

S

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

400x13

2x1

x22

 

40x1 x2

0,2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

S X

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

S

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

20x1

x2

2x1 x2 1,8x2

0,2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Вычислим S X 0 S(0,2;

0,1)

 

 

1,81

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Выполним первую итерацию:

 

 

 

 

 

 

0,379

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1,81

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

S X

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0,2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

X

X

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0,379

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

S X 0

 

 

0,1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1,81

 

( 0,379)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0,2

 

 

 

 

0,979

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0,1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0,205

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Получим

выражения

 

x

(1)

0,2 0,979

0

;

 

 

 

 

 

 

x(1)

0,1 0,205

0

. Под-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ставим их в S(X ) :

( 0 ) 100 0,2 0,979 0 4 20 0,2 0,979 0 2 0,1 0,205 0

0,2 0,979 0 2 0,2 0,979 0 0,1 0,205 0 2 0,2 0,2 0,979 0

0,25 0,1 0,205 0 4 0,9 0,1 0,205 0 2 0,2 0,1 0,205 0 0,02

91,861 40 79,035 30 21,739 20 1,8 0 0,051.

Определим параметр 0. Значение 0 выберем из условия минимума

функции ( 0 ) по переменной 0 . Для этого найдем d ( 0 ) 0 , откуда d 0

52

 

0,061. Так как

 

d 2 (

)

18,654 0,

 

найденное

0

 

 

 

0

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

d 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

обеспечивает минимум функции ( 0 )

 

по переменной 0 .

 

Найдем первое приближение:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0,2

 

 

 

 

0,979

 

 

 

0,14

 

 

X (1)

 

 

0,061

 

 

 

 

 

.

 

 

 

0,1

 

 

 

 

0,205

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0,113

 

 

Аналогично вычислим второе приближение:

 

 

 

 

 

 

0,14

 

 

 

0,055

 

 

 

0,143

 

 

X (2)

 

 

 

0,061

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

0,052

 

 

 

0,113

 

 

 

 

 

 

 

 

и т.д. Как видим, наблюдается сходимость к решению. Заметим, что для лучшей сходимости метода значение

пересчитывать на каждой итерации.

значение 0

0 необходимо

Пример 1 0 .

Исследовать на сходимость СНУ и решить с использованием системы MathCAD методами простой итерации и Ньютона. Исследовать сходимость методов.

 

2

2

x1 0;

 

 

 

0,5x1

x2

 

 

 

x12 0,5x22 x2 0.

 

 

Решение.

 

 

 

 

 

 

Решим СНУ в системе MathCAD.

 

 

 

 

x1 0.1

x2 0.1

 

 

Given

 

 

 

 

 

 

0.5 x12 x22 x1

 

0

 

 

 

 

 

x12

0.5 x22 x2

 

0

 

 

 

 

0

Find(x1 x2)

0

Для решения методом простой итерации СНУ приводится к виду

x1 0,5x12 x22 ;x2 x12 0,5x22 .

Решение будем искать на интервале [0; 0,3]. Выясним сходимость итерационного метода:

 

 

x , x

2

0,5x2

x2

;

1

 

 

 

 

 

x

 

,

 

 

 

1

 

 

 

2x

2

 

 

;

 

 

 

 

 

1

1

 

1

2

 

x1

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

x2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x , x

 

x2

0,5x2;

 

2

 

 

 

2x

 

,

 

 

2

 

 

 

x

2

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

1

 

2

1

 

2

 

x

 

 

 

1

 

 

 

 

x

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

53

Очевидно, что

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

max

 

x1

 

 

 

2x2

 

,

 

x2

 

 

 

2x1

 

1,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0 x1 0,3;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0 x2 0,3.

 

Откуда следует сходимость метода простой итерации.

 

Действительно, пусть x0 x

0

 

0,1, тогда

 

 

0,5 0,1 2 0,1 2

1

 

 

 

 

2

 

 

 

0,5 0,015 2 0,015 2

 

x1

0,015,

 

 

x2

 

0,00034

1

0,1 2 0,5 0,1 2

 

 

 

 

 

 

1

 

0,015 2 0,5 0,015 2

 

x12

0,015,

 

 

x22

 

0,00034

Нетрудно видеть, что процесс решения сходится к точному решению

x1 0,

x2 0.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Приведём пример программы, реализующей алгоритм метода простой

итерации в MathCAD.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

N e 0.001

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x01 0.1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x02 0.1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

for i 1 500

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x1 0.5 x012 x022

x2 x012 0.5 x022

break if ( x1 x01 e) ( x2 x02 e)

 

 

 

 

 

 

otherwise

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x01 x1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x02 x2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

c0 x1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

c1 x2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

c2 i

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

c

 

 

 

 

 

1.709

7

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

10

 

корни уравнения

 

 

 

 

 

 

 

 

 

N

1.709

7

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

10

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

количество итераций

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

Решим СНУ методом Ньютона.

 

 

Выберем начальное приближение x (0) 0,1;

x (0)

0,1.

 

 

x , x

 

 

0,5x2

 

 

 

 

 

1

2

 

f

1

2

x2

x ;

 

 

 

 

 

 

1

 

1

2

1

 

 

 

 

 

f

2

x , x

2

x2 0,5x2

x

.

 

 

 

 

 

 

1

 

 

1

2

2

 

 

 

 

 

 

Итерационная схема метода Ньютона

X (k 1) X (k) W 1 X (k ) F X (k ) ,

где W – матрица Якоби,

W (x , x

 

1

x

2x

 

 

,

 

0,9

0,2

 

,

 

)

 

1

1

x

2

 

W (0,1; 0,1)

0,2

0,9

 

1

2

 

2x

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

54

 

W

 

W 1

1

 

0,9

0,2

 

 

0,77,

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

0,77

 

0,2

0,9

 

 

 

 

 

 

Вычислим значения исходных функций в точке начального прибли-

жения F 0,1; 0,1 0,085 .0,085

Подставив полученные значения в итерационную схему, получим:

x11

 

 

0,1

 

1

 

0,9

0,2

 

 

0,085

 

 

0,1

 

0,12

 

 

 

0,26

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

0,77

 

0,2

0,9

 

 

0,085

 

 

 

 

0,12

 

 

 

0,26

 

x2

 

 

0,1

 

 

 

 

 

 

0,1

 

 

 

 

 

Видим, что даже за одну итерацию достигнуто существенное приближение к точному решению: x1 0, x2 0.

Приведём пример программы, реализующей алгоритм метода Ньютона в MathCAD.

 

M

e 0.001

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0.1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0.1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

for i 1 500

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0.5 x0

2

x1

2

x0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

F

x 2

0.5 x

 

2 x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x1 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3 x1 x0 x0 x1 1

3 x1 x0 x0 x1

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

W1

 

 

 

 

 

 

 

x0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x0 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3 x x x x 1

 

3 x

x x x 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

0

 

0

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

1

0

0

1

 

 

 

 

 

 

 

 

X1 x W1 F

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

break

if

 

 

 

x0 X10

 

e

 

x1 X11

 

e

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x X1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

c0 X10

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

c1 X11

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

c2 i

 

 

 

 

 

 

 

 

6.27

 

 

7

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

10

 

 

 

 

 

 

корни системы уравнений

 

 

c

 

 

 

 

 

M

6.27

 

 

7

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

10

 

 

 

 

 

 

количество итераций

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Получим символьное выражение матрицы, обратной матрице Якоби,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(x2 1)

 

 

 

2

 

 

x2

x1 1

2 x2 1

 

 

 

 

 

 

 

 

(3 x2 x1

 

x1 x2 1)

 

 

(3 x2 x1 x1 x2 1)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x1

 

 

 

 

 

 

 

 

(x1 1)

 

2 x1

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(3 x2 x1

x1

x2 1)

 

(3 x2 x1 x1 x2 1)

 

x2 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

и используем ее в программе.

55

Как видно из полученного в системе MathCAD решения, требуемая точность достигнута на 3-й итерации как в методе простой итерации, так и в методе Ньютона.

Если начальное приближение выбрать

x (0)

0,01;

x (0)

0,01, реше-

 

1

 

2

 

ние будет получено на 2-й итерации.

Пример 1 1 .

Решить СНУ методом Ньютона, методом Ньютона – Рафсона и методом Левенберга – Марквардта в системе MathCAD. Сравнить сходимость методов.

x2 x 0;

1 2

sin x1 x2 0.

Решение.

 

 

x1 1

x2 1

 

 

 

Given

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x12 x2

 

 

0

 

 

 

 

 

 

Find(x1 x2)

 

0.877

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

sin(x1) x2

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

0.769

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Итерационная схема метода Ньютона

 

 

 

 

 

X (k 1) X (k) W 1 X (k ) F X (k ) .

Выберем начальное приближение

x

(0)

1;

x (0)

1.

 

x , x

 

x2

1

 

 

2

 

 

f

2

x

2

;

 

 

 

1

 

 

1

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

f2

x1 , x2

sin x1

x2 .

 

 

Найдем матрицу Якоби

 

 

 

 

 

 

 

2x

 

1

 

 

 

W (x

, x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

)

1

 

 

 

.

 

 

 

1

 

 

2

 

cos x

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

Определим аналитически матрицу, обратную матрице Якоби,

 

1

 

 

1

 

 

 

(2 x1 cos (x1))

 

(2 x1 cos (x1))

 

 

W1

cos (x1)

 

 

x1

 

 

 

2

 

 

 

(2 x1 cos (x1))

(2 x1 cos (x1))

и получим решение с точностью 0,001.

56

M

e 0.01

x

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

for i 1 500

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x0

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

F

 

 

 

x1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

sin x0

x1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(2 x1 cos (x1))

 

 

 

(2 x1 cos (x1))

 

 

 

 

 

 

W1

 

 

 

cos (x1)

 

 

 

 

 

 

 

x1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(2

 

x1 cos (x1))

(2 x1 cos (x1))

 

 

 

 

 

X1 x W1 F

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

break

if

 

x0 X10

 

 

e

 

x1 X11

 

e

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x X1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

c0 X10

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

c1 X11

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

c2 i

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0.877

 

корнисистемы уравнений

 

c

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

M

0.769

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

количество итераций

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Результаты расчёта сведены в табл. 8.

 

 

Таблица 8

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Номер итерации

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

1

 

 

 

2

3

 

4

x1 k

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

0,891

 

0,88

0,877

 

0,877

x2k

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

0,783

 

0,772

0,769

 

0,769

Итерационная схема метода Ньютона – Рафсона отличается лишь параметром k, который может быть или убывающей последовательностью, или k const , или выбирается из условия минимума нормы

функции F X k 1 , k от переменной k . Как правило, k 1.

X (k 1) X (k ) kW 1 X (k ) F X (k ) .

Выберем k const . Найдем решения системы при значениях пара-

метра , равных 0,5; 0,75; 0,9.

Приведём пример программы, реализующей алгоритм метода Ньютона

– Рафсона в MathCAD.

57

M

e 0.001

x

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0.5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

for

 

i 1 500

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

2 x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

F

0

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

sin x0 x1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(2 x1 cos (x1))

 

 

 

(2 x1 cos (x1))

 

 

 

 

 

 

 

W1

 

cos (x1)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(2

 

x1 cos (x1))

 

(2 x1 cos (x1))

 

 

 

 

 

 

X1 x W1 F

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

break

if

 

x0 X10

 

e

 

x1 X11

 

 

e

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x X1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

c0 X10

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

c1 X11

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

c2 i

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0.878

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

c

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

корни системы уравнений

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

M

 

0.77

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

количество итераций

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

9

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Результаты расчёта при значениях параметра , равных 0,5; 0,75; 0,9,

сведены в табл. 9.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Таблица 9

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0,5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

k

 

 

1

 

 

 

 

2

 

3

 

 

 

 

 

 

4

 

5

 

 

 

6

7

8

 

9

x1 k

 

0,946

 

0,917

 

0,901

 

 

0,891

 

 

0,886

 

0,882

0,88

0,879

 

0,878

x2k

 

0,891

 

0,836

 

0,806

 

 

0,79

 

 

0,781

 

0,776

0,773

0,771

 

0,77

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0,75

 

 

 

 

 

 

k

 

 

 

1

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

3

 

 

4

5

 

6

x1 k

 

 

 

0,919

0,893

 

 

 

 

0,884

 

 

0,88

0,878

0,877

x2k

 

 

 

0,837

0,792

 

 

 

 

0,777

 

 

0,772

0,77

0,769

 

 

0,9

 

 

k

1

2

3

4

x1 k

0,902

0,884

0,879

0,877

x2k

0,805

0,777

0,771

0,769

58

Как видно из табл. 9, для данной СНУ метод Ньютона ( 0) имеет бо́льшую скорость сходимости по сравнению с методом Ньютона – Рафсона. Сходимость метода Ньютона – Рафсона зависит от выбора параметра

Итерационная схема метода Левенберга – Марквардта:

 

 

 

 

 

 

 

 

X (k 1)

X ( k )

[F X ( k ) k E] 1 F X ( k ) .

 

 

 

 

Найдем решения системы при значениях параметра , равных 0,2.

Выберем начальное приближение

x (0) 1;

 

x (0) 1.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f

x , x

2

x2

x

2

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

1

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f2

x1 , x2

sin x1

x2 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Матрица Якоби

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

W (x

, x

 

 

 

2x

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

)

 

 

1

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

2

 

cos x

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

1

 

;

F(1,1)

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

W (1,1)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0,54

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0,159

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

2

 

1

 

 

 

 

 

 

1

0

1

 

 

 

 

0

 

 

0,87

 

 

X (1)

 

 

 

0,54

 

 

0,2

0

1

 

 

 

 

 

 

 

 

0,713

 

 

 

 

1

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

0,159

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1,74

1

 

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0,0039

 

 

 

 

W (0,87, 0,713)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

F(0,87, 0,713)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0,0069

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0,645

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

X (2)

 

 

0,87

 

1,74

1

 

 

0,2

 

1

 

0

 

1

0,0039

 

 

0,887

 

 

0,713

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

1

 

 

 

 

0,0069

 

0,791

 

 

 

 

 

0,645

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

и т.д.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Результаты расчёта сведены в табл. 10.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Таблица 1 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0,2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

k

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

5

 

 

 

 

6

 

7

x1 k

 

0,87

 

 

 

 

0,887

 

 

0,874

 

 

0,878

 

 

 

 

0,878

 

 

 

0,876

 

0,877

x2k

 

0,713

 

 

 

 

0,791

 

 

0,761

 

 

0,772

 

 

 

 

0,772

 

 

 

0,767

 

0,769

59

Для определим аналитически в среде MathCAD обратную матрицу

 

 

2x1

 

1

 

0.2

1

0

1

 

 

 

 

 

 

cos (x1)

 

1

0

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

20.0

 

 

 

 

 

 

 

25.0

 

 

 

 

 

40.0 x1 25.0 cos (x1)

 

4.0

40.0 x1

25.0 cos (x1)

 

4.0

 

 

 

25.0 cos (x1)

 

 

 

 

 

5.0 (10.0 x1 1.0)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

40.0 x1

25.0 cos (x1)

 

4.0

40.0 x1

25.0 cos (x1)

 

4.0

и составим алгоритм решения СНУ методом Левенберга – Марквардта.

M e 0.001

x1

1

for i 1 500

F x0 2 x1sin x0 x1

 

 

 

 

 

 

20

 

 

 

 

 

 

 

 

25

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

40 x0

 

25 cos x0 4

40 x0

25 cos x0 4

 

 

 

 

 

W1

 

 

 

25 cos x0

 

 

 

 

5 10 x0 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

40 x0

 

25 cos x0 4

40 x0

25 cos x0 4

 

 

 

 

 

 

 

 

X1 x W1 F

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

break if

 

 

x0

X10

 

e

 

x1

X11

 

 

e

 

 

 

 

 

 

 

 

x X1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

c0

X10

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

c1

X11

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

c2

i

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

c

0.877

M0.769

7

Требуемая точность решения достигнута на 7-м шаге итерационного процесса.

Наилучшую сходимость показал метод Ньютона.

60

Соседние файлы в предмете Вычислительная математика