Добавил:

dansnpa Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Институт фундаментальной биологии и биотехнологии СФУ

Предмет:

Математические методы в биологии

Файл:

Конспект лекций Высшая математика (Басканова)

.pdf

Скачиваний:

155

Добавлен:

17.01.2018

Размер:

5.08 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1819 / 7019 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 > Следующая >>>

179

		1 n		n		1			n n 1				1			n n 1 n 2											1						n n 1 n 2 ... n									n 1			1
1		1																												...
1		1		1!		n				2!			n2						3!									n3		...								n!						nn
		n		1!		n				2!			n2						3!									n3										n!						nn
								1			1			1				1					2								1				1			2					n 1
		1 1							1		n				1			n	1				n					...					1		n	1		n	... 1				n		,
		1 1					2!		1						1				1									...					1			1			... 1						,
							2!							3!																	n!
	Т. е.			1 n							1			1			1			1						2					1			1			2				n 1
			1			1 1						1						1			1								...				1		1		... 1					n	. (2.5.5)
			1			1 1						1						1			1								...				1		1		... 1						. (2.5.5)
				n							2!			n			3!			n						n						n!		n			n
		Из последнего равенства следует,																							что с увеличением n														число положи-
тельных			слагаемых							увеличивается,												число								1	убывает, поэтому											величины
		1			2																									n
		1			2			,		возрастают, поэтому последовательность																														xn – возрас-
1		,	1		n			,		возрастают, поэтому последовательность																														xn – возрас-
		n			n
тающая, при этом																											n
																								1			n			2 .													(2.5.6)
																				1					n					2 .													(2.5.6)
																									n
		Покажем, что последовательность																								xn							1 n		– ограничена. Заменим
		Покажем, что последовательность																								xn			1						– ограничена. Заменим
																																	n

каждую скобку в правой части равенства (2.5.5) на единицу; правая часть увеличится, получим неравенство

	1 n					1						1										1
1			1 1													...									.
1			1 1			1 2				1		2			3	...			1	2		3 n			.
	n					1 2				1		2			3				1	2		3 n
Усилим полученное неравенство, заменив числа 3, 4, 5, …, стоящие в
знаменателях дробей, числом 2:
				1	n						1				1					1
	1				1 1													...					.
	1			n	1 1						2			22				...					.
				n							2			22						2n 1
Сумму в скобке найдем по формуле суммы n членов бесконечно убы-
вающей геометрической прогрессии с b 1													и q 1 :
									1								2
			b1														2
Sn			b1		1	1			1									1			1			2.
Sn		1	q		1	2			22									2n 1		1		1		2.
		1	q			2			22									2n 1				1
Поэтому																						2
Поэтому								n
						1		n	1 2 3.																(2.5.7)
					1		n		1 2 3.																(2.5.7)
							n

Итак, последовательность xn – ограничена, при этом для n N выполняются неравенства (2.5.6) и (2.5.7):

				180
			2		1 n
			2	1	3 .
					n
	Следовательно, на основании теоремы Вейерштрасса последователь-
ность		1 n	, n N , имеет предел,		обозначенный e :		1 n	e .
ность	xn 1		, n N , имеет предел,		обозначенный e :	lim 1		e .
		n				n	n

Ч. и т. д.

Число e называется неперовым числом. Число e иррациональное, его приближенное значение равно 2,72(e 2,718281828459045 ) . Число e при-

нято за основание натурального логарифма.

Докажем теперь что к числу					e стремится и функция		1	x
Докажем теперь что к числу					e стремится и функция	1	x		при
							x
x x R :		1	x	e .
x x R :	lim 1	x		e .
	x	x

1. Пусть x .

Каждое значение x

заключено между двумя положительными целыми чис-

лами:

n x n 1, где

n x –

это целая часть числа

x . Отсюда следует

1 ,

1 1 1

, поэтому

n 1

1 n

1 n 1

Если x , то n . Поэтому согласно формуле (2.5.4), имеем:

n 1

lim 1

n 1

lim

n 1

lim 1

1 n 1

e e e .

lim 1

По признаку (о пределе промежуточной функции) существования пре-

делов (см. теорему 5 п. 2.4.2)

lim

(2.5.8)

2. Пусть x .

Сделаем подстановку x t , тогда x t

и при x , t . Получаем

1 t

t 1 1

lim

lim 1

lim

t t

t t 1

181

t 1

e 1 e, т. е.

lim 1

lim

lim 1

t 1

lim

(2.5.9)

Из равенств (2.5.8) и (2.5.9) вытекает равенство (2.5.2), т.е.

Ч. и т. д.

lim 1

e .

Докажем равенство (2.5.3)

e : выполним подстановку

t , то-

lim 1 x x

x 0

гда x

e . Ч.и т. д.

и при x 0 , t . Получаем lim 1 x x

lim 1

x 0

Примеры.

x 1

4 3x

x 1

lim 1

lim

т.к.

lim 1

e ,

x 1

12x

lim

12 , то окончательно получим lim 1

e12.

x x 1

x 1

x2 1

x2 2 x2 2

lim

x2 2

т.к.

lim

то окончательно получим

lim 1

x2 2

x x2

e0 1.

lim

x x

lim

5 2x

x 2

1 .

x 2

Выполним подстановку x 2 t , тогда x t 2

и при x 2 ,

t 0 . Полу-

2t 1

чаем

lim

x 2 lim

5 2

lim

1 2t

t lim

1 2t

e2 .

x 2

t 0

182

Используя прием, рассмотренный в приведенных выше примерах можно найти множество других пределов.

При вычислении пределов вида				x	,	где	lim u x e, возмож-
При вычислении пределов вида		lim u x			,	где	lim u x e, возмож-
ны варианты.		x					x
ны варианты.		x
		x		0 .
1. Если lim x , то lim u x				0 .
x	x
2. Если lim x , то	x		.
2. Если lim x , то	lim u x		.
x	x

2.5.3. Сравнение бесконечно малых функций. Эквивалентные бесконечно малые и теоремы о них

При приближении к предельной точке, общей для нескольких бесконечно малых функций, скорость их стремления к нулю бывает различной. Сравнение таких бесконечно малых функций привело к понятию порядка малости.

Если M – бесконечно малая величина в окрестности точки M 0 , т.е.

lim M 0 , то c k M – бесконечно малая функция k –го порядка ма-

M M0

лости.

Чем выше порядок малости, тем быстрее переменная стремится к ну-

лю.

Чтобы сравнить две бесконечно малые функции надо найти предел их

отношения.

Пусть M и M

есть бесконечно малые

функции

при

M M 0 , т. е.

lim

M 0 и

lim

M 0 .

M M0

1. Если

lim

0 ,

то при M M 0 M 0

быстрее,

чем

M M0

M , поэтому M – бесконечно малая, более высокого порядка мало-

сти.

2. Если

lim

то при M M 0 M 0

быстрее,

чем

M M0

M , поэтому M – бесконечно малая, более высокого порядка мало-

сти.

3. Если

lim

c , то M и M – бесконечно малые одного

M M0

порядка малости.

183

4. Если

lim

не существует, то M

и M

– несравнимые

M M0

бесконечно малые.

Отметим, что таковы же правила сравнения бесконечно малых функ-

ций при M .

Примеры.

и x 14x2

1. Сравнить порядок функций x 3x2

при x 0 .

Решение:

lim

3x2

0 и бесконечно малые функции одного порядка

14x2

x 0

при x 0 .

2. Сравнить порядок функций tgx и x2

при x 0 .

Решение:

lim

tgx

lim sin x

lim

lim 1

1 1

x 0

x 0 x2

x 0 cos x

x 0

x 0 cos x

x 0 x

x2 – бесконечно малая более высокого порядка.

3. Можно ли сравнить функции x x sin

и x x при x 0 ?

Решение: Рассмотрим передел lim

lim

x sin x

lim sin 1

. Этот

x 0

предел не существует при

x 0 функции

xsin

1 и x

при

x 0

являются несравнимыми бесконечно малыми функциями.

Среди бесконечно малых функций одного порядка особую роль играют

так называемые эквивалентные бесконечно малые функции.

Определение. Бесконечно малые функции M

и M называются

эквивалентными при M M 0 , если lim

1; это обозначается так:

M M0

~ .

lim sin x 1; tgx ~ x

Пример.

sin x ~ x

при x 0 , так как

при

x 0 ,

так как lim tgx lim sin x

x 0

cos x

x 0

Теорема 8. Предел отношения двух бесконечно малых функций не изменится, если каждую или одну из них заменить эквивалентной ей бесконечно малой.

184

Доказательство:

при M M 0 . Тогда

Пусть ~ и ~

lim

, т.е.

M M0

lim

. Ч. и т. д.

M M0

Очевидно также, что

lim

M M0

Теорема 9. Разность двух эквивалентных бесконечно малых функций есть бесконечно малая более высокого порядка, чем каждая их них.

Теорема 10 (обратная). Если разность бесконечно малых функций и

есть бесконечно малая более высокого порядка малости, чем или , то

и – эквивалентные бесконечно малые.

Терема 11. Сумма конечного числа бесконечно малых функций разных порядков эквивалентна слагаемому низшего порядка.

Доказательство: Докажем теорему для двух функций. Пусть 0 ,0 при M M 0 , причем – бесконечно малая функция большего по-

рядка малости, чем , т.е.

lim

0 .

M M0

Тогда lim

lim

1 1 ~ при

M M0

M M 0 .

Слагаемое, эквивалентное сумме бесконечно малых, называется глав-

ной частью этой суммы.

Замена суммы бесконечно малых величин её главной частью называет-

ся отбрасыванием бесконечно малых высшего порядка.

Пример. Найти предел lim 3x 7x2 . x 0 sin 2x

Решение: Так как sin 2x ~ 2x , а 3x 7x2 ~ 3x (так как 3x – бесконечно малая функция более низкого порядка малости чем 7x2 ) при x 0 (см. тео-

рему 11), то lim	3x 7x2	lim	3x	3	.
	sin 2x		2x	2
x 0		x 0

Для раскрытия неопределенностей вида 0 часто бывает полезным

применять принцип замены бесконечно малых эквивалентными и другие свойства эквивалентных бесконечно малых функций.

185

Известно, что sin x ~ x

при

x 0 ,

tgx ~ x при

x 0 . Приведем еще

примеры эквивалентных бесконечно малых функций.

Примеры.

arcsin x t

1. Найдем lim arcsin x

x sin t

lim

x 0

при x 0 t

0 sin t

t 0 sin t

Следовательно, arcsin x ~ x при x 0 .

2. Покажем, что

1 x 1 ~

при x

0 .

1 x 1

Т.е.

докажем,

что

lim

Действительно,

x 0

x 1 1 x 1

lim

1 x 1 0

lim

2lim

1 x 1

2lim

1 x

x 0

x 0 x 1 x 1

x 0

1 x 1

1 1. Ч. и т. д. Значит,

1 x 1 ~

при x 0 .

Важнейшие эквивалентности приведены ниже:

при u 0

1. sin u ~ u

6. eu 1 ~ u

2. tgu ~ u

7. ax

1 ~ xln a

3. arcsinu ~ u

8. ln 1 x ~ x

4. arctgu ~ u

9. loga 1 x ~ xloga e

10.

1 x

k 1 ~ kx,k 0

5. 1 cosu

в частности,

1 x 1 ~

Примеры.

arctg2x .

1. Найти lim

x 0

1 cos3x

3x 2

Решение: При x 0

arctg2x ~ 2x , 1 cos3x ~

4,5x2 , тогда

arctg2x

4 lim 1

lim

x 0 1 cos3x

x 0 4,5x2

9 x 0 x

2. Найти lim x e

1 x

1 .

186

Решение:

При x

1 ~ 1

. Получаем

lim x

1 0 , тогда e x

lim x e x

sin x 2

3. Найти lim

x 2

x2 4

Решение:

При x 2

arcsin x 2 ~ x 2, тогда

lim

sin x 2

lim

x 2

lim

1 .

x2 4

x 2

x 2 x 2 x 2

x 2 x 2

187

ЛЕКЦИЯ 2.6. ПРИРАЩЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ И ДВУХ ПЕРЕМЕННЫХ. НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИИ ОДНОЙ И ДВУХ ПЕРЕМЕННЫХ. ТОЧКИ РАЗРЫВА

2.6.1. Приращение функции одной и двух переменных

Рассмотрим y f x функцию одной переменной, определенную на некотором отрезке a;b .

Пусть некоторая точка x0 a;b и f x0 – значение функции в этой

точке. Для точки x зададим приращение x : x x x x . Тогда значение

0 0 0

функции в новой точке есть f x0 x . Таким образом, функция получит

приращение

f (x0+∆x)

∆y

f(x0)

0 a x0

	f
f : f x0 f x0 x f f x0 x f x0 (см. рис. 2.6.1).
		f	называется	приращением	функции
	y=f(x)	y f x в точке x0		и может обозначаться y .
		x называется приращением независимой пе-
		ременной или приращением аргумента.
			Рассмотрим z f x; y – функцию двух
∆x		переменных, определенную на некоторой об-
x0+∆x b	x	ласти D .			зависит от
рис. 2.6.1			Так как функция z f x; y
		двух переменных x		и y , то приращение мож-

но задать либо только для одного из аргументов, либо для обоих аргументов одновременно. В зависимости от того скольким переменным задается приращение, функция двух переменных может получить либо частное, либо

полное приращения.

Пусть некоторая точка M 0 x0 ; y0 D и				f x0 ; y0 – значение функции
			z
			Z=f(x;y)
	M1
	f(x0;y0+∆y)		∆zy M0
	f(x0;y0+∆y)		∆zy M0
	f(x0;y0)			x
	f(x0;y0)			x
	D			x0
	D
y y0+∆y	y0	0
	рис. 2.6.2

188

		z
	M1	Z=f(x;y)
	∆zx	f(x0;y0+∆y)
	M0	f(x0;y0)	x
	D	x0+∆x
	D
y		x0
y	y0	0

рис. 2.6.3

f(x0;y0+∆y) M0 ∆z

f(x0;y0)

Z=f(x;y)

		D	x0	x0+∆x
		D

y	y0+∆y	y0	0
		рис. 2.6.4
в этой точке. Зададим		приращение	аргументу		y в точке M 0 x0 ; y0 :
y	оставляя x без изменения. Тогда значение функции в но-
y0 y0 y ,	оставляя x без изменения. Тогда значение функции в но-
вой точке M1 есть	f x0 ; y0 y .
Таким образом, функция получает частное приращение по y , которое
обозначается z y :
zy				y f x0 ; y0 (см. рис. 2.6.2)
f x0 ; y0 f x0 ; y0 y zy f x0 ; y0				y f x0 ; y0 (см. рис. 2.6.2)
Если задавать приращение для аргумента x					равное x , оставляя при
этом y без изменения, то функция z f x; y				получит частное приращение

по x : zx f x0 x; y0 f x0 ; y0 (см. рис. 2.6.3).

Если задать приращение одновременно для двух аргументов – x иy , то функция z f x; y получит полное приращение:

z f x0 x; y0 y f x0 ; y0 (см. рис. 2.6.4).

<<< < Предыдущая 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1819 / 7019 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 > Следующая >>>