Задачник / Глава 07(156-208)

156

Эти касательные напряжения достигают максимума в центральной части сечения, где нормальные напряжения отсутствуют или малы. Кроме того, максимальные значения касательных напряжений от поперечных сил, как правило, раз в 5–7 меньше, чем наибольшие значения нормальных напряжений. По этим причинам касательные напряжения, соответствующие поперечным силам, не существенны для оценки прочности стержня, и их обычно не учитывают. Касательные напряжения от кручения

могут быть существенными при оценке прочности, так как наибольшей величины они достигают y поверхности стержня, где становятся экстремальными также и нормальные напряжения. При наличии кручения элемент материала в опасной точке, вырезанный на поверхности стержня вдоль его образующей, находится в плоском напряженном состоянии, показанном на рисунке 7.3. Прочность в таком случае должна оцениваться по теориям прочности:

p1 0,5 2 4 к2 ;

pII 0,35 0,65 2 4 к2 ;

pIII 2 4 к2 ;

pIV 2 3 к2 .

157

где y0 и x0 – текущие координаты точек нейтральной оси.

Отрезки, отсекаемые нейтральной осью от координатных осей x, y – главных центральных осей сечения (рис. 7.4), определяются зависимостями:

7.1.2 Косой и пространственный изгиб

Пример 7.1.1. Для заданной балки (рис. 7.5, а) построить эпюру изгибающих моментов, определить и сравнить между собой наибольшие нормальные напряжения в опасном сечении балки в двух случаях: во-первых, когда стенка балки установлена вертикально (плоский изгиб),

158

Наибольшие напряжения при плоском изгибе (на рис. 7.5, в – изгиб относительно оси х, эпюра расположена вертикально):

При косом изгибе, когда плоскость, в которой лежит нагрузка, на-

клонена под углом 5 к вертикали (рис. 7.5, г), положение нейтральной оси определяется по формуле:

Эпюра нормальных напряжений располагается перпендикулярно к нейтральной оси. Наибольшие нормальные напряжения в самых удаленных от нейтральной оси точках сечения

ром – перенапряжение 19,1%. Отношение напряжений составляет

116,45190,58 1,63.

Следовательно, ошибка в установке балки всего в 5о приводит к недопустимому перенапряжению.

Пример 7.1.2. Для балки заданной схемы (рис. 7.6, а), поперечное

сечение которой наклонено к горизонту на угол = 40о, необходимо: построить эпюру изгибающих моментов, подобрать двутавровое сечение, определить положение нейтральной оси и построить эпюру нормальных на-

пряжений; 160 МПа.

Решение. При косом изгибе оси координат х, у в поперечном сечении балки надо направлять так, чтобы плоскость действия внешних сил располагалась в положительной координатной четверти. В этом случае проекции полного момента М на главные плоскости Мх и Му будут иметь одинаковые знаки.

160

На рисунке 7.6, б представлена эпюра изгибающих моментов, построенная в плоскости действия внешних сил по известным правилам. Опасное сечение находится над опорой А, здесь Мmax= Fа = 2,5 2 = 5 кНм. Составляющие изгибающего момента по главным осям инерции

Рис. 7.6

Условие прочности для сечения с двумя осями симметрии при косом изгибе

где k Wx .

Wy

161

Следует отметить, что k для двутавров изменяется от 6,1 до 14 в зависимости от номера профиля, и пока не выбран двутавр, величина k неизвестна.

Задаваясь значениями k, путем последовательных приближений подберем размеры двутавра. Пусть k = 10, тогда

По таблицам ГОСТ 8239-89 (прил. 1) выбираем двутавр с ближайшим значением Wx. В нашем случае это двутавр № 22: Wx = 232 см3; Wy = 28,6 см3. Проверка:

Недогрузка составляет 19,4 %, что неэкономично.

Выберем из той же таблицы данные, например, для двутавра №20:

Wx = 184 см3, Wy = 23,1 см3, Ix = 1840 см4, Iy = 1840 см4 – и проверим прочность.

рицательного направления оси y (см. рис. 7.6, в). Наиболее удаленными от координатной оси являются точки 1 и 3 с координатами соответственно:

162

160,6 МПа .

Величины напряжений в точках 2 и 4 на рис. 7.6, в показаны на эпюре графически.

Пример 7.1.3. Для заданной балки (рис. 7.7, а) необходимо построить эпюры Mx и My , определить допускаемую нагрузку q, определить положение нейтральной оси, построить в опасном сечении балки эпюру нормальных напряжений. Балка деревянная, коробчатого сечения, b = 6 см,12 МПа.

163

Решение. Приложим нагрузку к оси балки (рис. 7.7, б). Затем в двух плоскостях строим эпюры (рис. 7.7, в) по выражениям:

Опасное сечение находится в защемлении. Запишем условие прочности:

Вычислим моменты инерции и моменты сопротивления сечения:

Подставим найденные значения в условие прочности:

Положение нейтральной оси вычислим по формуле:

Откладываем угол от оси x в сторону положительной оси y (рис. 7.7, г). Наиболее удаленными от нейтральной оси являются точки 1 и 3 с

координатами соответственно:

x1 b 6 см, y1 2b 12 см, x3 b 6 см, y3 2b 12 см.

164

165