Задачник / Глава 07(156-208)

MкLC mк1 mк2 3 9 6 кНм.

Эпюра Мк изображена на рисунке 7.14, г.

Для построения эпюры Мy рассмотрим систему сил в горизонтальной плоскости (рис. 7.14, д). Опорные реакции найдем из уравнений стати-

5– 5 + 2∙20 – 40 = 0.

Вгоризонтальной плоскости вал имеет четыре участка. Участок АЕ: 0 z1 0,2 м;

M y1 RAX z1 5z1 ;

176

177

Эпюра Мx, построенная по этим уравнениям изгибающих моментов, изображена на рисунке 7.14, з. Из эпюр Мк, Мx, Мy следует, что опасными сечениями могут быть либо сечение Е: Мк = 3 кНм, Мх = 17,5 кНм, Му = 1 кНм, либо сечение чуть правее L: Мк = 6 кНм, Мх = 12,5 кНм, Му = 11 кНм.

2. Для подбора сечения по третьей теории прочности

pIII 2 4 2

необходимо вычислить результирующий изгибающий момент Ми:

здесь Wx , Wp – осевой и полярный моменты сопротивления сечения вала.

Требуемый из условия III теории прочности осевой момент сопротивления Wx определим так:

Принимаем для вала диаметр сечения d 12,25 см.

178

Пример 7.1.10. Для показанного на рисунке 7.15, а поперечного сечения стального вала диаметром d = 14 см известны следующие значения изгибающих Мx , Мy и крутящего Мк моментов:

Мx = 18 кНм, Мy = 22 кНм, Мк = 20 кНм,

Требуется: 1) найти полный изгибающий момент M и , построить эпюры нормальных и касательных к напряжений; 2) выявить опасную

точку в сечении, определить в ней главные напряжения и вычислить расчетное напряжение по энергетической (четвертой) теории прочности через главные напряжения, проверить прочность.

Решение. Полный изгибающий момент

M и M x2 M y2 182 222 28,43 кНм.

Находим угол наклона плоскости, в которой расположен полный момент (рис. 7.15, а):

179

Положительный угол откладывается от положительного направления оси y в сторону положительной оси x.

Так как для кругового сечения любая центральная ось является главной, то нейтральная ось в сечении всегда перпендикулярна плоскости действия полного изгибающего момента и наибольшие нормальные напряже-

вия полного изгибающего момента.

Касательные напряжения от кручения достигают наибольшего значения к,max во всех точках у поверхности вала. Следовательно, самыми опас-

Напряженное состояние в точках K1 и K2 показано на рисунке 7.15, в.

Следует заметить, что если материал плохо сопротивляется растяжению (например чугун), то опасной точкой в данной задаче является лишь

одна – точка K2 .

Определим главные напряжения для точки K2 по формуле

1 1062 532 37,12 53 64,7 117,7 МПа;

3 1062 532 37,12 53 64,7 11,7 МПа;

2 0.

180

Расчетное напряжение по четвертой теории прочности

p IV 0,5[ 1 2 2 2 3 2 3 1 2 ]

0,5[(117,7 0)2 (0 ( 11,7))2 ( 11,7 117,7)2 ] 124 МПа;

p IV 124 160 МПа, значит прочность вала обеспечена.

7.1.6 Общий случай сложного сопротивления

Пример 7.1.11. Пространственная стержневая конструкция загружена, как показано на схеме (рис. 7.16, а).

Дано: F = 30 кН; q = 10 кН/м; l = 1 м; h/b = 2; 100 МПа.

Требуется: подобрать сечения на каждом из участков конструкции.

Решение. Определяем реакции в заделке. Из уравнений равновесия находим:

1)Z 0; RAZ q 0,6l 10 0,6 1 6 кН;

2)Y 0; RAY 0 ;

3)X 0; RAX F 30 кН;

M z 0; M AZ 0 ;4)

Составляем уравнения для внутренних усилий по участкам (рис. 7.16, б).

181

182

III участок: 0 z3 l;

N3 q 0,6l 10 0,6 6 кН ; Qx3 F 30 кН ; Qy3 0; M zк3 0 ; M xи3 q 0,6l 0,3l 10 0,6 0,3 1,8 кНм;

M yи3 Fz3 q 0,6l 0,8l 30z3 4,8 .

Строим эпюры внутренних усилий в соответствии с написанными выражениями (рис. 7.16, в, г, д, е).

Эпюры следует строить в изометрии, на осях заданной системы. Эпюры изгибающих моментов и поперечных сил строятся на каждом участке заданной системы в двух главных плоскостях, проходящих через главные оси поперечных сечений. Эпюра изгибающих моментов строится обязательно на растянутых волокнах стержня. Знак на ней при этом можно не ставить.

Величину поперечной силы можно найти либо по заданным внешним силам, действующим на отсеченную часть системы, как это сделано в данном примере, либо путем дифференцирования эпюры изгибающих моментов.

Знак поперечной силы можно определять согласно следующему правилу: если изгибающий момент возрастает с увеличением координаты вдоль оси стержня, то поперечная сила положительна, если убывает, то отрицательна, т.е. определяется знаком производной dM / dz Q. Это пра-

вило согласуется с тем, которое принималось нами для Q ранее. Отмечаем опасные сечения на каждом участке ломаного стержня

(рис. 7.16, ж). Составляем условие прочности для каждого из опасных сечений. При этом не будем учитывать при оценке прочности поперечные силы из-за их малого влияния.

На первом участке стержень испытывает обычный плоский изгиб:

h1 2b1 6 см.

183

На втором участке стержень испытывает совместное действие плоского изгиба и кручения:

для кругового поперечного сечения Wp 2Wy .

Условие прочности по III теории прочности имеет вид:

откуда