МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ
Лектор — Моисеев А.А.
Литература
А.П.Аксенов Математический анализ, часть 1.
В.А.Зорич Математический анализ, часть 1.
ВВЕДЕНИЕ
§ 1. Логическая символика
При изложении курса математического анализа широко используются логические символы Отрицание, конъюнкция, дизъюнкция, импликация, равносильность.
Символ |
Название |
Описание |
|
|
|
|
|
|
отрицание |
Запись A означает "не ", |
|
|
|
отрицание суждения A |
|
|
|
|
|
|
дизъюнкция |
заменяет союз "или". Запись |
|
|
|
A B означает |
|
|
|
справедливость хотя бы |
|
|
|
одного из суждений A, B . |
|
|
|
|
|
|
конъюнкция |
заменяет союз "и". Запись |
|
|
|
A B означает, что |
|
|
|
справедливость оба суждения |
|
|
|
A, B . |
|
|
|
|
|
|
знак следования (импликация) |
Запись A B означает, что |
|
|
|
B следует из A , |
B |
|
|
необходимо для |
A , A |
|
|
достаточно для B . |
|
|
|
|
|
|
равносильность |
Запись A B означает |
|
|
|
равносильность суждений |
|
|
|
A, B . |
|
|
|
|
|
|
квантор общности |
заменяет слова: для любого, |
|
|
|
для каждого. |
|
|
|
|
|
|
квантор существования |
заменяет слова: существует, |
|
|
|
найдется |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
Важные соотношения
A B A B ( A B) A B
A B B A
A B A B
При формировании отрицаний для утверждений с кванторами следует менять тип квантора:
x A x x A xx A x x A x
§ 2 Множества
10. Множество — начальное понятие математики. Можно привести синонимы: набор, совокупность, система, класс.
Множество состоит из элементов, запись x X |
означает , что x — элемент множества |
X |
|||||||
Множество однозначно определяется набором своих элементов, |
|
|
|||||||
|
|
|
|
X Y x |
|
x X x Y |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Формула |
x | P |
|
x |
означает множество всех элементов, обладающих свойством |
P . |
|
|||
|
|
|
|||||||
Может случиться, что свойством P ни один элемент не обладает. Мы приходим к пустому |
|||||||||
множеству |
, которое не имеет элементов. |
|
|
|
|
|
|||
20. Отношение включения.
.
Запись
A B
означает, что
x x A x B .
Говорят, что A содержится в B , B содержит A , A — подмножество множества B |
|
||
30. Объединением множеств A и B называется множество |
|
||
|
|
, |
|
A B |
|
x | x A x B |
|
состоящее и всех элементов, которые принадлежат хотя бы одному из множеств A, |
B |
||
.
40. Пересечением множеств A и B называется множество
2
A B x | x A x B ,
состоящее и всех элементов, которые принадлежат одновременно множествам A, B
Операции объединения и пересечения коммутативны и ассоциативны, связаны меду дистрибутивными законами:
.
собой
50. Разностью множеств
A
и
B
A B C A C B C ,
A B C A C B C .
называется множество
|
A \ B |
|
, |
|
|
|
x | x A x B |
|
|
состоящее и всех элементов, которые принадлежат A , но не принадлехат B . |
||||
Разность между множеством M |
и содержащимся в нем множеством |
A называют дополнением |
||
A в M и обозначают через CA . |
|
|
|
|
Отметим в связи с этим формулы дополнения де Моргана
C A B CA CB C A B CA CB
,
Доазательство.
x C A B x A B x A B x A x B x A x Bx CA x CB x CA CB
60. Декартово произведение множеств. |
|
|
|
|
|
|
|
|
Множество |
|
|
|
|
|
|
|
|
X Y |
|
x, y |
|
| x X |
y Y |
, |
|
|
|
|
|
|
|
||||
образованное всеми упорядоченными парами |
x, y , где первый член |
x X , а второй — |
y Y |
|||||
называется декартовым произведением множеств X , Y . |
|
|
|
|
||||
Известная всем декартова система на плоскости превращает плоскость в произведение двух осей.
,
Для упорядоченной пары второй координатой.
z x,
y
элемент
x
называют первой координатой, а элемент y —
3
§ 3 Отображения (функции)
10. Понятие отображения.
Пусть |
X , Y |
— множества. Отображением (функцией), определенным на |
X |
со значениями в Y |
называется правило f , ставящее каждому x X в соответствие некоторый элемент |
y Y . |
|
Запись |
|
|
|
f |
|
|
f : X Y или X Y |
|
означает, что f |
отображает X в Y . |
|
X называется множеством (областью) определения, Y — множеством прибытия отображения |
||
f . |
|
|
Элемент y , соответствующий элементу x в силу закона f , называется значением отображения f в точке x . Значение f в точке x обозначают через f x .
Примеры
1) |
X Y |
, правило
f
ставит каждому вещественному числу
x
вещественное число
y
x |
2 |
|
.
2) Проекции декартова произведения
pr |
X Y |
X , |
pr |
x, y x; |
|
|||
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
pr |
X Y Y , |
pr |
x, y y. |
|
||||
2 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
3) Пусть |
P |
|
X |
—совокупность всех подмножеств множества |
||||
|
|
|||||||
в соответствие его дополнение CA . Получим отображение |
P |
|||||||
|
||||||||
XX
. Каждому
P X
A P X
.
поставим
20. Сужение отображения.
Если f : X Y , а E X , то отображение g : E Y , действующее по формуле
g |
|
x |
|
f |
|
x |
для x E , |
|
|
|
|
называется сужением f на множество E . Для сужения используют обозначение f называется продолжением для g .
f
| |
E |
|
. Функция
30. Образ множества.
Пусть |
f : X |
Множество
Y
, а
E
X .
f E y | x E y f x f x | x E
4
называется образом множества E под действием отображения f .
Образ f X множества определения называется множеством значений.
40. Прообраз множества.
Пусть |
f : X |
Множество
Y
, а
U
Y
.
f 1 |
|
|
|
|
|
x X | f |
|
|
Y |
|
|
U |
|
|
|
x |
|
называется прообразом множества
U
при отображении
f
.
50. Инъекция, сюръекция.
Пусть f : X Y .
Отображение f называется взаимно однозначным, или инъекцией, если в разных точках оно принимает разные значения:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
2 |
1 |
2 . |
|
|
|
|
|
|
|
f |
|
x |
|
f |
x |
|
x |
x |
Отображение |
f |
называется сюръекцией, если множество значений совпадает с множеством |
|||||||||||||
прибытия: |
F |
|
X |
|
Y |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Про сюръекцию |
f |
: X Y |
говорят также, что |
f |
отображает X на Y . |
||||||||||
Отображение |
f |
называется биекцией, если оно является как инъекцией, так и сюръекцией. |
|||||||||||||
60. Композиция отображений
Пусть f : X Y , g : Y Z .
Отображение h : X Z , действующее по формуле
h |
|
x |
|
g |
|
f |
|
x |
для |
x X , |
|
|
|
|
|
|
|||||
называется композицией отображений |
|
f и |
g |
и обозначается через |
||||||
g
f
.
Пример
X Y Z
, |
f |
|
x x 1,
g y
2 y
.
Тогда |
|
|
|
|
f |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 y 1 |
, |
|
|
|
|
g |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2x 2 |
|
f g |
|
y |
|
|
g |
|
y |
|
f |
|
2 y |
|
|
g f |
|
x |
|
|
f |
|
x |
|
f |
|
x 1 |
5
70. Обратное отображение
Пусть f : X Y — биекция.
Построим отображение g : Y X . |
|
|
|
|
Взяв произвольный y Y , подберем |
x X , для которого |
f x y . (Такой x найдется, |
||
поскольку f — сюръекция, x —единствен, поскольку |
f |
— инъекция). Полагаем g y x . |
||
Построенное отображение g называется обратным к Отображение g : Y X является обратным к f : X Y
f, g f 1 .
втом и только в том случае, если
x X |
y Y |
y |
f
x
x
g y
.
Отображение
I I |
X |
: X X , |
|
|
I x x
называется тождественным.
Задача
g f |
1 |
g |
f I |
|
f |
g I |
|
|
X |
Y |
|||||
|
|
|
|
|
|
80. График отображения
Пусть |
f : X Y . |
Графиком отображения
f
называется множество
|
f |
x, y X Y | y |
|
|
f
x
.
§4 Вещественные числа
—множество вещественных чисел.
I. На множестве вещественных чисел определена операция сложения
1)Коммутативность
2)Ассоциативность
3)Существование нейтрального элемента
4)существование противоположного элемента Следствия
1)Единственность единицы
2)единственность противоположного элемента
3)Операция вычитания
6
II. На множестве вещественных чисел определена операция умножения
1)Коммутативность
2)Ассоциативность
3)Существование нейтрального элемента
4)существование обратного элемента
III. Дистрибутивность Следствия
1) |
0 x 0 |
|
|
|
|
|
|
|||
2) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
x x |
|
|
|
|
|
|
3) |
xy 0 x 0 y 0 |
|
|
|||||||
4) |
|
x |
|
y xy, |
|
x |
|
y |
|
xy |
|
|
|
|
|
|
|||||
IV. На множестве вещественных чисел определено отношение порядка Порядком называется отношение с тремя свойствами
x x
x y y x x y x y y z x z
Отношение порядка на является линейным порядком:
x, y x y y x
V.Связь арифметических операций и порядка
xy x z y z x, y 0 x y 0
x, y 0 xy 0
VI. Аксиома полноты
Пусть
X , Y
— непустые множества вещественных чисел, причем
x X y Y
x
y
.
Тогда
c |
x X y Y |
x c y |
7
Определение
X —непустое множество вещественных чисел.
Число M называется верхней границей множества
X
, если
Число
m
x X
называется нижней границей множества
x X
x M .
X , если x m .
Множество, имеющее верхнюю границу, называется ограниченным сверху.
Множество, имеющее нижнюю границу, называется ограниченным снизу.
Множество, ограниченное сверху и снизу, называется ограниченным.
Теорема 1. Существование граней
1) Пусть множество E ограничено сверху.
Тогда среди верхних границ множества |
E |
2) Пусть множество E ограничено снизу. |
|
Тогда среди нижних границ множества |
E |
существует наименьшая
существует наибольшая
Доказательство
Пусть
E |
s |
|
|
|
— множество верхних границ множества E . Ясно, что
x E y Es
x
y
.
По аксиоме полноты
M x E y Es x c y .
Неравенство означает, что
x M означает, что M — верхняя граница множества
E — наименьшая верхняя граница
E , а неравенство M y
Определение.
1)Пусть E множества
2)Пусть E множества
— ограниченное сверху множество вещественных чисел. Наименьшая верхняя граница E называется точной верхней границей, верхней гранью и обозначается
sup E sup x
x E
— ограниченное снизу множество вещественных чисел. Наибольшая нижняя граница E называется точной нижней границей, нижней гранью и обозначается
8
Теорема 2. Описание граней на
x E x |
|
1) M sup E |
x E x |
0 |
|
inf E inf x x E
-языке.
M
M
2) |
m |
x E x m |
|
inf E |
x E x m |
0 |
|
Доказательство предлагается провести самостоятельно.
Предложение
1) Если A B , B ограничено сверху, то
2) |
sup |
|
A x |
|
sup A x |
. |
|
|
|
A ограничено сверху и sup A sup B .
3) Если 0 , то sup A sup A
Пример. sup 0, 1 1
Если z sup E E , то z max E
Если z max E , то z sup E
; |
sup |
|
A |
|
sup A |
. |
|
|
|
|
— наибольший элемент множества
E
.
§ 5 Промежутки
К промежуткам относят множества вещественных чисел следующих типов
a, b x | a x b |
a b —отрезок |
a, b x | a x b |
a b —интервал |
a, b x | a x b |
a b |
a, b x | a x b |
a b |
a, x | x a |
|
a, x | x a |
|
9
, b x
, b x
,
Промежуток
| x | x
b
b
характеризуется тем свойством, что
x, y
x z y
z
.
§ 6 Абсолютная величина (модуль) вещественного числа
10. Определение.
x, x 0 |
||
|
|
|
x 0, x 0 |
||
|
x, x 0 |
|
|
||
|
||
Основные свойства
1) 
x
max x, x ,
2) |
x 0, |
x 0 |
|
|
3) |
x |
x |
, |
|
|
|
|
|
|
||
4) |
xy |
x |
y |
, |
|
|
|
|
|
||
5) |
x x |
x |
, |
||
|
|
|
|
||
x
0
,
Доказательство.
|
x max |
|
|
|
|
, |
||||
|
|
x, x |
||||||||
|
x |
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
x, |
|
x |
|
x |
|||
|
|
|
|
|||||||
6) |
|
|
|
a 0 |
|
|
x a a |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
x
a
,
Доказательство.
x a |
x a |
x max x, x a |
|
x a |
x a |
7) x y x y , |
|
10