Добавил:

FilimonLipin86 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Санкт-Петербургский политехнический университет Петра Великого (бывш. СПбГПУ)

Предмет:

Математический анализ

Файл:

Лекции по Математическому Анализу 1 курс ИПММ лектор Моисеев / matan

.pdf

Скачиваний:

132

Добавлен:

18.10.2017

Размер:

6.76 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 125 6 7 8 9 10 11 12 > Следующая >>>

Тогда

f K

— компакт.

Доказательство.

Возьмем произвольную последовательность элементов множества

, yn f K .

n 1

Для каждого номера n

найдется

xn K , для которого

. Из последовательности

элементов компакта K извлекаем сходящуюся последовательность xn

n 1

xn x0 K . Полагая

f xn

, получаем подпоследовательность yn

k k

k 1

последовательности y

, которая по непрерывности сходится к

f x

. Таким

n 1

nk k

образом, каждая последовательность обладает подпоследовательностью, сходящейся к элементу множества значений, последнее множество — компакт.

Теорема 2. I теорема Вейерштрасса

Если f

непрерывна на отрезке

, то

f — ограничена.

Теорема 3. II теорема Вейерштрасса.

Если

непрерывна на отрезке

, то

имеет наименьшее и наибольшее значения.

Доказательство.

f a, b

Положим,

В точке x0

— компакт.

M sup f

функция

Следовательно, f	a, b			— ограниченное множество.
a, b . Поскольку	f a,		b		замкнуто, то M f a, b
0					0		.
x		a, b		f	x	M

принимает свое наибольшее значение M .

Примеры

Функция f : f

f :	f x	1	,
		x

x 1x ,

x1,

x 0, 1 непрерывна, но не является ограниченной; функция

ограничена, но не имеет наименьшего значения.

§ 6. Теорема Коши о промежуточном значении непрерывной функции

Теорема 1

Пусть функция	f непрерывна на промежутке , a, b , a b ,	f a f b 0
b функция f	принимает значения разных знаков).

Тогда

принимает нулевое значение в некоторой точке интервала a, b ,

(в точках

c a, b

Доказательство.

Для определенности считаем, что

Положим

E x a,

b |

f x 0 ,

c sup E

По свойству верхней грани

xn E

c .

Получена последовательность x

c ,

. Предельный переход дает

n 1

неравенство

Теперь видим, что c b и f x 0

для всех x c, b . Переходя к пределу (при

x c 0

получаем неравенство

f c 0 . Окончательно,

f c 0 . Теорема доказана.

Теорема 2

Пусть функция			f	непрерывна на промежутке , a, b , A f a , B	f	b . Число C
между		A, B .
Тогда	f	принимает значение C в некоторой точке c , лежащей между a,			b .

Справедливость утверждения получается применением теоремы 1 к функции g f C .

лежит

Теорема 3.

Пусть функция

непрерывна на промежутке .

Тогда f — промежуток.

Доказательство.

Положим A inf

f , B sup f

и покажем, что f

— промежуток

A, B с концами

A, B .

Может случиться, что A B , тогда

— одноточечное множество, которое считается

промежутком.

В случае когда

A B мы должны показать, что A,

f .

Пусть C A,

, тогда C B sup f

, так что

Точно так же

По теореме 2

В теоремах 1–3 существенно используется непрерывность и свойства промежутка. Так, функция

	1, x 0,
f :	f x	x 0,
	1,	x 0,

принимает положительные и отрицательные значения, но нигде не обращается в нуль. Причина

— отсутствие непрерывности. То же самое можно сказать о функции

		1, x 0, 1 ,

f	:	f x	x 2, 3 ,
		1,	x 2, 3 ,

определенной на множестве, не являющемся промежутком.

§ 7. Монотонные функции

Теорема 1.

Пусть f — монотонная функция на промежутке .

Для непрерывности функции f необходимо и достаточно, чтобы ее множество значений

	f			было промежутком.
				было промежутком.

Доказательство.

1) Необходимость. f — непрерывный образ промежутка, — промежуток.

В части необходимости монотонность не используется.

2) Достаточность. Для определенности рассмотрим возрастающую функцию.

Может случиться, что промежуток значений постоянная, непрерывная.

— одноточечное множество.

тогда

—

Пусть					A, B		.	Пусть	x	, y		0	f		x		.		Предположим,						что					y	0		A, B		.	Возьмем
Пусть							.	Пусть	0			0			0		.		Предположим,						что						0				.	Возьмем
произвольное						0 .			Подберем				y	,	y	2			A,	B	: y	y	0	y		,		y	2	y				.		Поскольку
произвольное						0 .			Подберем				1			2					1		0		2				2			1		.		Поскольку
y ,	y	2	A,		B , найдутся такие					x , x			,	что			f	x		y ,		f x			y	2	. Из возрастания функции
1		2								1	2								1		1	2				2
следует, что x1 x0 x2 , x1 , x2										— окрестность точки x0 . Теперь
										x x1 , x2 y1 f x y2 ,
так что				f x f x0				.	f непрерывна в точке									x0 .

Если же	y0	—	концевая		точка		промежутка	,
y , B y , x , f				x	y			x0
1	1	1		1	1 , мы увидим, что x1			x0
			x x x			y	f x B,	f x
					1	1
Опять обнаруживаем непрерывность функции f в точке								x0 .

например,

f x0 .

, то, взяв

Обращение строго монотонной функции.

Пусть

строго монотонна,

например, строго возрастает, и непрерывна на промежутке

Множество значений

— промежуток. Из строгого возрастания следует инъективность

отображения f

. Построим обратную функцию

g f

. Функция

g строго возрастает.

Действительно,

если

допустить,

что

y y

x g y

g y

x ,

то

y1 f x1 f x2 y2 , вопреки предположению.

Теорема 2.

Пусть f строго монотонна и

Тогда обратная функция

непрерывна на промежутке .

f	1	непрерывна на промежутке f .

Доказательство.

Множество значений g монотонной функции g является промежутком. По теореме 2

функция g непрерывна на .

§ 8. Равномерная непрерывность функции

Определение

Пусть f — функция, определенная на множестве

E .

f называется равномерно непрерывной на E , если

0 x ,

E x

x f x

Для сравнения заметим, что непрерывность функции

во всех точках множества E

(поточечная

непрерывность) означает, что

x E 0

f x f

Поточечная непрерывность допускает зависимость

от x и , а равномерная непрерывность —

только от .

Примеры

1) Функция

: f

x sin

, x 0, 1

поточечно непрерывна. Однако, в точках xn

2 n

она принимает значение

— значение

f xn 1, а в точках

f xn 1,

2 n

не является равномерно непрерывной.

f xn f xn 2 , хотя

xn 0 .

2) Функция

: f

, x

поточечно непрерывна, но не является равномерно

непрерывной, поскольку

0	f x f x x	2	x	2	2x	2
				2		2

Теорема 1. Кантор.

Пусть функция f непрерывна на компакте K .

Тогда f равномерно непрерывна на K .

Частный случай. Если функция непрерывна на отрезке, то она и равномерно непрерывна на этом отрезке.

Доказательство.

Допустим, функция не является равномерно непрерывной,

0 0 x , x K x x f x f x ,

в частности,

n	x	, x K	x	x	1

	n	n	n	n	n

f x
n

x n


Из последовательности xn
Поскольку			1	, то и

	xn	xn	n

n 1

x nk

извлечем сходящуюся подпоследовательность

x0	. По непрерывности		,
		f xn		f xn
k		k		k	k

x nk

x		K
k	0

x0 , так что

		n
f		x
		k

теорему.

	n
	x
	k

, но

	n		n
f	x	f	x
	k		k

. Полученное противоречие доказывает

§ 9. Степенная, показательная, логарифмическая функции

10. Степень с целым показателем

Определение

Пусть n

, a

. Тогда

a	n	aa	a

			n

a	a,
1

a	n 1

a	n	a
	n

Для

a 0

положим

a	0

, а

a	m	1
	m
		a	m
		a

при

Для степени с целым показателем справедливы следующие свойства:

1)	a	m		a	n

2)	a		m			n


3)	ab
					n

a	m n	;

amn ;

anbn

20. Степенная функция с натуральным показателем

Пусть

, рассмотрим функцию

f : ,

f x xn .

Функция непрерывна по теореме о непрерывности произведения. f строго возрастает на

0,	(если 0	x1 x2 , то
	(если 0	x1 x2 , то
		f x2 f x1	x2	x1	x2	x1 x2	x2	x1	x1	0 ).
			n	n		n 1	n 2		n 1
				f 0 0,		lim f x .
						x

По теореме Коши о промежуточном значении непрерывной функции множество значений функции f — промежуток, f 0, 0, .

Дополнение. При четном	n	функция f четна, она убывает на ,
При нечетном n функция	f	нечетна, она возрастает на , ,

30. Степенная функция с целым показателем

0 f

f , 0,

Если

m 0, m

, то функция

f :

\ 0 , f

x x

, где

n m

непрерывна во всех точках

x 0

, строго убывает на

40. Корень n -й степени

Пусть n

, тогда функция

0, 0,

является биекцией.

Обратная функция

g f	1	: 0,	0,

называется корнем

-й степени. Для значений этой функции используются обозначения

g y n y y 1n .

По теореме об обращении строго монотонной функции корень непрерывен и строго возрастает на

Справедливы равенства

x 0 nxn x, y 0 n y n y.

50. Степенная функция с рациональным показателем

Пусть	r

формулой

, r 0, r

m n

. определим степень числа

x 0

с рациональным показателем r

			m		x	n
x	r	x	n	n

Проверим корректность определения:

если r

, то u

Действительно,

mn1 m1n,

unn1 un

m1n1

vnn1 vn1

n1 x

unn1 vnn1 , u v.

		x		v .
m ?	n		m
	n		1
	1

m n1

n x

xmn1 ,

n1 x

xm1n ,

Функция

	f x		x	m		m
f :		n			x	n	x	r

непрерывна (по теореме о непрерывности композиции) и строго возрастает на

Если

, функция

f x	1		x
			r
	x	r
	x

непрерывна и строго убывает на

Для a 0

и рациональных

p, q

1)a p aq a p q ;

2)a p q a pq ;

3)ab p a pb p .

Проверим, например, 2).

Пусть p m , q m1 ; u a p q n n1

0, .

имеем

, v a pq . Тогда

u v

m n

m nn

mm n

так что

60. Показательная функция

Пусть

К настоящему моменту мы определили степень с рациональным показателем.

r 0			a	r	1
				r
r	r	a		r	a	r
				1		2
1	2

На множестве рациональных чисел можно определить функцию

Функция строго возрастает.

Можно установить непрерывность функции.

:	f	r	a	r	.

Сейчас мы ограничимся доказательством

соотношения

a	1
a	n
		n

		1	n		1

a 1	a n		1	n a n

	1			a

1	; 0 a		1		0
		n

				n n

Определение показательной функции

Пусть x

. Для любых

p, q

, для которых

p x q

аксиоме полноты

справедливо неравенство

a	p
	p

a	q

. По

y	p, q p x q a	p	y a	q
		p		q

Такое число единственно. Чтобы в этом убедиться, достаточно показать, что

Подберем

0 p, q p x q aq a p

, положим A ar0 .

Найдется натуральное

p x q aq

, для которого

a		p	a	p

a	1		1
	n
	0

			q p
	a			1
		.
A		.
A

A aq p

Подберем

p x q так, чтобы q p

, получим неравенство

1 a

q p

Теперь мы примем найденное число у за значение показательной функции в точке

		f	x	y a	.
		f	x	y a
				x
Заметим, что для	x	новое определение совпадает со старым.

Из проведенного построения сразу получаются соотношения

sup

inf

lim

p x, p

q x, q

r x, r

Основные свойства показательной функции

1) Строгое возрастание.

Пусть

x1 x2

. Подберем

2) Непрерывность.

q, p

, x1 q

. Тогда

ax1

a	q	a	p	a	x
					2

Пусть x0

ax ax0 .

3)	a	x	a	x	a	x x
		1		2		1	2

Пусть pn x1,

равенство.

. Подберем q, p

.
q	x ,	p , q	. Тогда
n	n 2	n n

x
0

a	p	a	q
	n		n

q, a	q

a pn

p . Если x p, q , то

Предельный переход дает требуемое

Если 0 a 1, положим	b	1	1	и определим показательную функцию соотношением
	b	a	1


				f x a x	1	b x .
				f x a x	bx	b x .
					bx

В этом случае показательная функция оказывается строго убывающей.

Основную роль в анализе имеет показательная функция с основанием e , экспоненциальная функция:

f x ex .

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 125 6 7 8 9 10 11 12 > Следующая >>>