4)
x x |
||
|
x |
x |
1 |
1 |
|
|
|
x |
|
|
x |
||
|
|||
|
1 |
|
x |
|
|
x |
1 |
|
1 1 x x0
1
.
40. Теорема 2. Условие эквивалентности.
~
Доказательство.
~ |
|
1 |
|
1 0 |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
0
.
50. Таблица эквивалентных б.м.
|
lim |
|
sin x |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin x ~ |
x |
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 0 |
|
|
|||||||||
|
x |
0 |
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
lim |
|
tg x |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
tg x ~ |
x |
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 0 |
|
|
|
|||||||||
|
x 0 |
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
lim |
1 cos x |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 cos x ~ |
1 |
x |
2 |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
x 0 |
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 0 2 |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ln 1 x |
~ |
x |
|
|||||||||||
lim |
|
ln 1 x |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 0 |
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
x 0 |
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
lim |
|
log |
a |
x |
|
|
1 |
|
|
|
|
log |
|
|
1 x |
~ |
x |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
||||||||||||||||
x 0 |
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
ln a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
0 ln a |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
e |
x |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e |
x |
1 ~ |
x |
|
|
|||||||||||
lim |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 0 |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
x 0 |
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
a |
x |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
x |
1 ~ x ln a |
||||||||||||||
lim |
|
|
|
ln a |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 0 |
|
|
|
||||||||||||
x 0 |
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
1 x |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 x |
|
|
|
1 |
~ x |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 0 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
x 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
60. Операции с " |
|
". |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
1) Если 1, 2 |
|
|
одного порядка, то |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
. |
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2) .
Равенство следует понимать как утверждение:
|
|
|
|
sin x |
|
x x |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
x 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
tg x |
|
x x |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
x 0 |
|
|
|
|
|
|
cos x |
|
1 |
1 |
x |
2 |
x |
2 |
|
||||||
|
||||||||||||||
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
x 0 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
ln 1 x |
|
x x |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
x 0 |
|
|
|
|
|
|
log |
|
|
|
1 x |
|
|
x |
x |
||||||
a |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
x |
0 ln a |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
e |
x |
|
|
1 x x |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 0 |
|
|
|
|
|
|
||
a |
x |
|
1 x ln a x |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
x 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
1 x |
|
1 x x |
||||||||||||
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x 0 |
|
|
|
|
|
|
11
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Если |
1 |
и 2 |
, то 1 2 |
. |
|
|
|
||||||||||||
3) |
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
4) Если , , то |
. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
Действительно, |
|
|
|
0 0 0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Примеры. |
x |
3 |
x |
2 |
, |
|
x |
2 |
x , поэтому x |
3 |
x , иными словами x |
2 |
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
x 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 0 |
|
|
|
|
|
|
|
x0 |
|
|
|
x 0 |
Отметим, что в последнем "равенстве" нельзя менять местами левую и правую части.
70. Пример
x
.
|
e |
x |
1 x |
3 |
1 3x |
lim |
|
|
|
|
|
x0 |
|
|
x |
|
|
ex 1 x x ;
1 x 1 12 x x ;
ex 1 x 1 32 x x ;
31 3x 1 x x ;
ex 1 x 31 3x 12 x x ~ 12 x
Ответ.
1 2
.
80. Замечание. В проведенных построениях можно отказаться от условия необращения функции
|
в нуль. |
Новые определения
0, ;
~ 1, .
12
МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ
Лектор — Моисеев А.А.
Глава III. Непрерывные функции
§ 1. Понятие непрерывной функции
10. Определение 1
Пусть f |
— функция, определенная на множестве E |
Функция |
f называется непрерывной в точке x0 , если |
, |
x0 |
E
.
0 0 x E |
x x0 |
f x f x0 . |
Непрерывность означает, что малым изменениям |
x отвечают малые изменения значения |
|
функции. |
|
|
Чаще всего в качестве E рассматривается промежуток.
Определение 2
Функция f |
называется непрерывной в точке |
x0 |
, если для любой окрестности V |
|||||
можно указать окрестность U точки x0 , для которой |
f |
U E |
|
V |
. |
|||
|
|
|
точки
f |
x |
0 |
|
|
|
|
Определение 3
Функция
Обычно
f
x0
называется непрерывной в точке |
x0 |
, если |
x |
x E x x f x |
f x |
|
|||||
n n 1 |
n |
n |
n |
0 |
n |
n |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
— предельная точка множества E . Для такого случая приведем еще
Определение 4
Функция |
f |
называется непрерывной в точке |
lim |
f |
x x |
|
0 |
|
Определения 1–4 равносильны. |
|
x0 |
, если |
x f x0
.
20. Одностороння непрерывность
Определение.
1) Пусть f — функция, определенная по крайней мере на промежутке x0 0 , x0 .
1
Функция |
f |
2) Функция
называется непрерывной в точке |
x0 |
|
|
f x |
|
|
0 |
|
f |
называется непрерывной в точке |
|
|
f x |
|
|
0 |
|
слева, если
f |
x0 |
0 . |
|
x0 |
справа, если |
||
f |
0 |
0 |
. |
x |
|
Предложение
Пусть f — функция, определенная в окрестности точки x0 .
Для непрерывности функции |
f в точке x0 |
необходима и достаточна ее непрерывность в этой |
точке слева и справа. |
|
|
30. Приращение функции |
|
Определение.
Пусть f |
— функция, определенная в окрестности точки |
x0 . |
|
||||||
Определим функцию |
f |
|
x |
, полагая |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
f x |
h |
f x h |
f x |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
0 |
0 |
|
для тех |
h , для которых x0 h лежит в множестве определения функции. |
Функция |
f |
|
x |
называется приращением функции |
|
0 |
некоторой окрестности нуля.
f
в точке
x |
0 |
|
. Приращение определяется в
Теорема 1.
Для непрерывности функции необходима и достаточна бесконечная малость ее приращения.
|
|
|
f |
|
непрерывна в точке x0 |
приращение бесконечно мало, |
|||||||||||||||
Замечания. 1) Бывает удобным вместо |
h использовать символ |
x : |
|
||||||||||||||||||
|
|
0 |
|
|
|
|
0 |
|
|
0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f |
|
x |
x |
|
f |
|
x x |
|
f |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2) Можно рассматривать приращение в форме |
f |
x |
x |
|
f |
|
x |
|
f |
|
|||||||||||
|
0 |
|
|
|
|
f
x |
0 |
|
|
|
x |
h 0 |
0 |
h 0 |
|
.
.
§ 2. Точки разрыва
Определение 1.
Пусть f — функция, определенная на множестве E , x0 — предельная точка E .
2
x0 |
называется точкой разрыва, если |
x0 |
оказывается точкой разрыва, если |
пределом для функции |
f . |
f
f
не является непрерывной в этой точке.
не определена в этой точке или |
f x0 |
не служит
Определение 2. Классификация точек разрыва
Пусть
1) |
x0 |
x0 |
— точка разрыва функции |
— называется точкой разрыва
f .
I рода, если функция имеет конечные односторонние
пределы |
f |
|
x |
0 |
|
, |
f |
|
x |
0 |
. |
|
|
|
|
||||||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|||||||
Если при этом |
f |
|
x |
|
0 |
|
|
f |
|
x |
0 |
, x0 — называется точкой устранимого разрыва. |
|||||||||
|
|
0 |
|
|
|
|
0 |
|
|||||||||||||
Если же |
f x0 0 f x0 |
0 , |
x0 — называется точкой скачка, число f x0 0 f x0 0 |
||||||||||||||||||
называется величиной скачка. |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
2) Другие случаи относят к разрывам II рода. |
|
|
|||||||||||||||||||
Если хотя бы один из односторонних пределов бесконечен, x0 |
называется точкой бесконечного |
||||||||||||||||||||
разрыва. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Примеры |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
В точке устранимого разрыв функция имеет конечный предел |
A lim f x . Разрыв обусловлен |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
тем, что функция не определена или плохо определена в точке x0 . Полагая |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f x , x x , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f x |
x x , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
мы получим непрерывную функцию. Говорят, что |
f |
получена из f устранением разрыва. |
|||||||||||
Функция |
f |
: |
f x |
sin x |
, x 0 имеет устранимый разрыв в нуле. Полагая |
f 0 |
1 |
, мы |
|||||
|
x |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
получаем непрерывную функцию. |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
1, x 0, |
|
|
|
|
|
|
|
Функция |
f |
: |
|
|
|
|
|
имеет в нуле скачок величины 2. |
|
|
|
||
f x sgn x 0, x 0, |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1, x 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Функция |
f |
: |
f x |
1 |
, x |
0 |
имеет в нуле бесконечный разрыв. |
|
|
|
|||
x |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3
Функция |
f |
: |
пределов.
f x sin |
1 |
, |
|
x |
|||
|
|
x 0
имеет в нуле разрыв II рода, функция не имеет односторонних
§ 3. Локальные свойства непрерывных функций
Свойство непрерывности функции точке окрестности этой точки. Если функции f
они одновременно непрерывны или нет. локальным свойством.
x0 |
полностью определяется ее поведением в любой |
и |
g совпадают в некоторой окрестности точки x0 , то |
Имея в виду этот факт, непрерывность в точке называют
10. Теорема 1. Локальная ограниченность непрерывной функции
Пусть f |
непрерывна в точке x0 . |
|||
Тогда она ограничена в некоторой окрестности этой точки, найдется такая окрестность U |
||||
x0 , что |
f |
|
U |
— ограниченное множество, |
|
|
точки
|
|
M 0 x U |
f |
|
||||
Действительно, |
M 0 M f |
x |
|
M |
, |
M , |
M |
|
|
0 |
|
|
|
определению непрерывности найдется окрестность U
x M .
— окрестность точки точки x0 , для которой
f
f
x0U
; по
M ,
M
.
20. Теорема 2. Арифметические операции над непрерывными функциями.
Пусть |
f , g |
непрерывны в точке |
Определим функции
x |
0 |
|
F
G
H
.
|
f |
g : F x |
f x g x , |
|||
|
f g : G x |
f |
x g x , |
|||
|
f |
: H x |
f |
x |
. |
|
g |
g |
x |
||||
|
|
|
В последнем случае предполагаем, что g x0 0 .
Тогда функции
F, G, H
непрерывны в точке
x |
0 |
|
.
Арифметические операции над непрерывными функциями приводят к непрерывным функциям.
Теорема следует из соответствующей теоремы о пределах.
30. Теорема 3. Стабилизация неравенств.
Пусть f , g непрерывны в точке x0 и f x0 g x0 .
4
Тогда неравенство справедливо в некоторой окрестности точки
x |
0 |
|
,
U
— окрестность точки
x |
0 |
|
x U
f
x
g
x
.
Следствие
Пусть f
Тогда
1)Если
2)Если
f f
непрерывна в точке |
x0 . |
x0 |
A , то |
f x A |
в некоторой окрестности точки |
|||||||
|
x |
|
0 |
, то |
f |
|
x |
|
0 |
в некоторой окрестности точки |
0 |
|
|
|
|
x |
|
x |
0 |
|
0
.
;
40. Теорема 4. Непрерывность композиции.
Пусть f определена в окрестности U |
точки |
x0 |
и непрерывна в этой точке; |
g |
определена в |
||||||||||||||||||
окрестности V |
точки |
y |
0 |
f |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f |
U |
|
V |
|
|
0 и непрерывна в этой точке. Предположим, что |
|
|
|
||||||||||||||||||
имеет смысл композиция |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
F g |
f : F |
|
x |
|
g |
|
f |
|
x |
|
, x U |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Тогда функция |
F непрерывна в точке x0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, т.е.
Доказательство.
|
|
|
|
, xn |
Возьмем произвольную последовательность xn |
||||
|
|
|
n1 |
|
непрерывности |
|
|
|
|
y |
n |
f x |
f x |
|
|
n |
n |
0 |
|
|
|
|
|
|
а |
|
|
|
|
|
|
g yn |
g y0 |
|
|
|
|
n |
|
Но |
|
|
|
|
g yn g f xn F xn , g y0 |
||||
так что |
|
|
|
|
|
|
F x |
F x |
|
|
|
n |
n |
0 |
|
|
|
|
F непрерывна в точке x0 .
U , x |
|
|
|
n |
n |
|
|
|
y0 |
, |
|
.
g f x0
.
x0 |
. Тогда по определению |
F x0 ,
5
Предел композиции
Пусть
F f |
, |
f
x A, t |
|
x x |
t t |
0 |
0 |
x0
.
Без дополнительных условий утверждение F t A оказывается ложным.
t t0
Однако, если выполнено одно из дополнительных условий
1) в некоторой проколотой окрестности точки t0 выполнено неравенство t
x0
,
2) f
то
непрерывна в точке |
x0 |
, |
F t A. t t0
Если — биекция окрестности U |
точки t0 на окрестность V точки |
x0 , |
|
t |
0 |
x |
, |
|
|
|||||||
|
|
0 |
|
|
||||||||||||
непрерывна в точке t0 , |
1 |
непрерывна в точке x0 , то соотношения |
f x A и |
F t A |
||||||||||||
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x x |
|
|
t t |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
равносильны. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Именно на последнее замечание ссылаются при выполнении замены переменной. |
|
|
|
|||||||||||||
Мы хотим вычислить предел lim |
f x . Полагаем |
x |
|
t |
, приходим к выражению |
|
|
|||||||||
|
|
x x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim f |
t |
lim F t . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
t t |
|
t t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вычислив этот предел, мы находим и lim |
f x . Если функция F не имеет предела, то и |
f |
не |
|||||||||||||
|
|
|
x x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
имеет предела. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример. Скоро мы установим, что lim f x lim |
ln 1 x |
1. Положим x t et 1 0 . |
|
|
|||
x 0 |
x 0 |
x |
t 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
Можем утверждать, что lim f t 1 . Но |
f t |
ln 1 e |
t |
1 |
|
|
|
|||||
|
|
|
. Следовательно, |
|||||||||
e |
|
1 |
|
|||||||||
x 0 |
|
|
|
|
t |
e |
t |
1 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
et 1 |
|
1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
t 0 |
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
§ 4 Открытые и замкнутые множества. Компакты
10. Определение 1.
Пусть
E |
, x |
|
|
0 |
|
.
1) x0 называется внутренней точкой множества E , если
6
|
|
0 x0 , |
x0 E ; |
|
|
|||||||
2) |
x0 |
называется внешней точкой множества |
E , если |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
0 |
|
0 |
|
|
|
|
; |
|
|
|
0 |
|
x |
, x |
|
|
E |
|
|
||
3) |
x0 |
называется граничной точкой множества |
E , если она не является ни внутренней, ни |
|||||||||
внешней. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Пример. E 1, 3 , 2 — внутренняя точка, 0, 4 — внешние точки, 1, 3 — граничные точки. |
||||||||||||
x0 |
— внутренняя точка множества E |
E |
— окрестность точки x0 . Внутренние точки входят в |
|||||||||
множество. Внешние точки множества E |
— это внутренние точки дополнения |
\ E . |
||||||||||
x0 |
— граничная точка множества E |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 x0 , x0 E , x0 , x0 |
\ E . |
|
20. Определение 2.
Пусть
E
.
1)Множество
2)Множество
E
E
называется открытым, если оно состоит из внутренних точек.
называется замкнутым, если оно содержит все свои граничные точки.
Примеры. Интервал — открытое множество, отрезок — замкнутое множество, полуинтервал не является ни открытым, ни замкнутым.
Множество Int E , состоящее из всех внутренних точек множества E |
, называется его |
внутренностью. Это наибольшее открытое подмножество множества |
E . |
Множество E , полученное из E присоединением всех граничных точек, называется его замыканием. Замыкание — наименьшее замкнутое множество, содержащее данное множества.
Точки замыкания E называются точками прикосновения множества E .
Предложение
Множество E является замкнутым в том и только в том случае, если оно содержит пределы всех своих сходящихся последовательностей.
Доказательство.
1) Пусть
точки x0
точка, |
x0 |
E замкнуто, x |
|
|
— последовательность, |
x E , x |
x |
. Тогда любая окрестность |
||
|
||||||||
n |
|
n 1 |
|
n |
n n |
0 |
|
|
содержит члены последовательности, пересекается с |
E |
x0 |
— внутренняя или граничная |
|||||
E . |
|
|
|
|
|
|
|
|
7
2) Пусть
точку |
x0 |
E
.
содержит пределы всех своих сходящихся последовательностей. Возьмем граничную
n xn |
|
|
1 |
, x0 |
|
1 |
E . |
x0 |
n |
|
|||||
|
|
|
|
|
n |
|
Получаем последовательность
замкнутое множество.
x |
|
|
|
n |
n 1 |
, для которой
xn
E
,
xn
n
x0
. По условию
x |
E |
0 |
|
.
E
—
30. Определение 3.
Пусть
K
.
Множество K называется компактом, если всякая последовательность его элементов содержит подпоследовательность, сходящуюся к элементу K .
Теорема 1
Для того, чтобы множество K ограниченным и замкнутым.
было компактом, необходимо и достаточно, чтобы оно было
Доказательство.
1) Необходимость. Пусть K |
— компакт. Если |
K |
не является ограниченным, то оно содержит |
|||||||
бесконечно большую последовательность, которая не имеет сходящихся |
|
|||||||||
подпоследовательностей. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Возьмем последовательность |
x |
|
, |
x |
K |
, |
xn |
x0 . По условию эта последовательность имеет |
||
n |
|
n |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
подпоследовательность x |
y |
K |
. По теореме о пределе подпоследовательности y |
x , |
||||||
nk |
k |
0 |
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
так что x0 K , K — замкнуто.
2) Достаточность. Пусть K ограничено и замкнуто. Возьмем произвольную последовательность
x |
|
элементов множества |
K . последовательность x |
|
ограничена, по принципу выбора |
|||
n |
n 1 |
|
n |
n 1 |
|
|
|
|
Больцано-Вейерштрасса она имеет сходящуюся подпоследовательность xn |
, xn |
x0 |
. По |
|||||
|
|
|
|
|
k |
k |
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
критерию замкнутости x0 K .
Пример. Отрезок
a, b
— компакт.
§ 5. Теоремы Вейерштрасса о функциях, непрерывных на отрезке
Теорема 1.
Непрерывный образ компакта есть компакт.
Пусть f — непрерывная функция на компакте K .
8