Добавил:

FilimonLipin86 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Санкт-Петербургский политехнический университет Петра Великого (бывш. СПбГПУ)

Предмет:

Математический анализ

Файл:

Лекции по Математическому Анализу 1 курс ИПММ лектор Моисеев / matan

.pdf

Скачиваний:

132

Добавлен:

18.10.2017

Размер:

6.76 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 128 9 10 11 12 > Следующая >>>

Рассмотрим уравнение

Про функцию

Fx, y

f x ,

0	.

удовлетворяющую уравнению в том смысле, что

F x, f x 0, x

говорят, что она неявно задается уравнением.

В некоторых случаях дифференцированием последнего функции f .

равенства можно найти производную

Пример

Функция	y	1 x	2	,

x 1, 1

можно задать параметрически системой уравнений

x cos t,

y sin t,	t 0,	,

и неявно уравнением

x	2	y	2	1,

Явное дифференцирование дает

y	x	,
y	x	,
1	x
	2

В параметрическом виде

	dy		cos t
	dx		sin t

В неявном виде

	1			x	2
y	1			x
y
	1 x	2		x		2	3	2
		2	1

	d	2	y	1		1
ctg t,
	dx		2	sin	2	t sin t

1

1 x	2	3	2
	2		2

1			.
sin	3	t

x yy 0, y xy ;

1 y 2 yy 0, 1	x2	yy 0, x2 y2 y3 y 0, 1 y3 y 0, y	1	.
	y2
			y3

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

Лектор — Моисеев А.А.

Глава V. Основные теоремы дифференциального исчисления

§ 1 Теорема Ферма

Теорема 1. Ферма

Пусть функция f определена на интервале

a, b

и в точке

или наименьшее значение:

или

a, b

Если f в дифференцируема в точке x0 , то

принимает наибольшее

f		x	.

Доказательство

Пусть в точке x0 функция f

достигает своего наибольшего значения.

f x f

Для x x0 имеем

x x

, поэтому

x x

переходом ( x x0

0 ) получаем

f x f

Для x x0 имеем

0, x x

, поэтому

x x

переходом ( x x0

0 ) получаем

В итоге мы приходим к выводу об обращении производной в нуль,

0 .

Предельным

0	.

Замечание

Дифференцируемость — условие теоремы. Функция может принимать наибольшее или наименьшее значение и не иметь производной. Например, такую ситуацию мы видим для f x x , x0 0 .

Теорема 2. Дарбу

Пусть функция f определена на промежутке и дифференцируема во всех точках этого

промежутка. В точках a, b	производная принимает значения			f	a A,	f	b B , число
промежутка. В точках a, b	производная принимает значения			f	a A,	f	b B , число
лежит между a, b .
Тогда найдется точка c между a, b , для которой		f	c C .
Тогда найдется точка c между a, b , для которой		f	c C .

Доказательство.

Рассмотрим сначала случай, где a b , f a 0,

f b

0 , и найдем точку c a, b , в

которой

f c 0 . Поскольку f a 0 , то всех точках

x a

, близких к a

, выполняется

неравенство f x f a . Из неравенства

f b 0

следует неравенство

f x f b в

близких к b

точках x b . Таким образом,

не являются наибольшими значениями

функции

на отрезке a, b . По теореме Вейерштрасса функция достигает своего наибольшего

значения в некоторой точке c . Из сказанного выше следует, что

a, b

. По теореме Ферма

Переходя к общему случаю, рассмотрим функцию

g : g

C x

. По уже доказанному

найдется точка c между a, b , для которой

g c 0

. Для функции

получаем f c C .

Мы можем сказать, что для производной справедлива теорема о промежуточном значении. Производная не обязана быть непрерывной. Соответствующий пример будет приведен ниже.

§ 2 Теорема Ролля

Теорема 1.

Пусть функция

интервала	a,
интервала
Тогда

f b


определена и непрерывна на отрезке	a, b	, дифференцируема во
определена и непрерывна на отрезке		, дифференцируема во
, принимает одинаковые значения на концах промежутка:			f	a	f
, принимает одинаковые значения на концах промежутка:

a, b f 0 .

всех точках

	b	.
	b

Доказательство.

Может случиться, что

const

, тогда утверждение теоремы очевидно.

В противном случае найдется x , для которого	f		x			f
В противном случае найдется x , для которого

теореме Вейерштрасса непрерывная на отрезке функция

a f

, например,	f		x			f		a	. По

достигает в некоторой точке

своего

наибольшего значения. Ясно, что

f a

f b , так что a

условиях теоремы Ферма, из которой получаем требуемое равенство

, f

b .

Мы оказываемся в

0 .

Геометрически теорема означает, что в некоторой точке касательная к графику функции горизонтальна.

§ 3. Теорема Лагранжа

Теорема 1.

Пусть функция

интервала	a,
интервала
Тогда

f b

определена и непрерывна на отрезке

a, b	f b f	a
a, b	b a
	b a

, дифференцируема во всех точках

Доказательство.

Введем вспомогательную функцию

g x

x x

подобрав число так, чтобы

. Нетрудно видеть, что следует положить

f b

b a

Функция g удовлетворяет условиям теоремы Ролля. Поэтому

a, b

Возвращаясь к функции f , видим, что

f b f a

b a

Геометрически теорема означает, что в некоторой точке касательная графика функции

параллельна хорде, соединяющей концы графика.

Запишем еще теорему Лагранжа в видоизмененных обозначениях. Если функция f непрерывна на отрезке с концами x , x x и дифференцируема во внутренних точках этого промежутка, то найдется точка в интервале с концами x , x x , для которой

f x x f x f .

Заметим, что точку

можно представить в виде

Итак,

0, 1

x x

, где

f x

1 .

x x

—

формула конечных приращений Лагранжа.

Теорема 2. О пределе производной.

Пусть функция f определена и непрерывна на промежутке a, b , дифференцируема во всех

точках интервала a, b ,	f	x		A .

			x a 0
Тогда f имеет в точке a	правостороннюю производную

f a A,	f a lim		f x
		x a 0
		x a 0

Доказательство.

Возьмем произвольную последовательность

n	n	a, x
	n		n
Получена последовательность n		, n	a
			n

x		, x	a,		b , x
x		, x	a,		b , x
n	n 1	n				n
f x f			a		f
	n				f
	n
	x	a					n
	x	a
	n
. Поскольку f				x
. Поскольку f				x
						x a 0

a . n

A , то

По теореме Лагранжа

f		n A ,
		n

	f xn f a				A .
	xn	a			A .
	xn	a		n
				n
Итак,		f x f			a	A ,

			x a
			x a			x a 0

имеет правостороннюю производную

f a

Теорема 2 говорит, что для функции, имеющей производную во всех точках промежутка, производная не может иметь разрывов первого рода. Разрывы второго рода возможны.

Пример.

	2		1	, x 0,
x		sin
x		sin
f x			x

0, x 0.

f x 2x sin 1x cos 1x для не имеет предела в нуле. f

x 0	и	f 0 lim	f x f	0	lim	f x	lim x sin	1	0 .	f
			x 0			x		x
		x 0			x 0		x 0

терпит разрыв второго рода.

§ 4 Теорема Коши

Теорема 1.

Пусть функции

f , g

определены и непрерывны на отрезке

точках интервала a, b ,

x 0 .

x a, b g

Тогда

a, b

f b

f a

g b

g a

Положим F f g

, где

f b f a

g b g a

выбрано так, чтобы

a, b , дифференцируемы во всех

	f	.
	g	.
	g

(Заметим, что	g		b		g		a		0

По теореме Ролля

по теореме Ролля)

								.
		a, b		F			0

Возвращаясь к рассмотрению функций

f ,

, получаем

	f g 0,	f
	f g 0,	g
		g

f g



b b





a a



§ 5.Правило Лопиталя

10. Правило Лопиталя раскрытия неопределенности

Теорема 1.

Пусть f , g — функции, определенные на a, b .

1) f , g дифференцируемы во всех точках интервала,

0 0

x a, b

2)	f x	0,	g x		0
		x b 0		x b 0

g x

f x 3) g x

Тогда



x b0

f g



x x



x b0

Доказательство.

Доопределим функции

f , g в точке b

по непрерывности, полагая

f b g b 0 . Заметим,

что по теореме Ролля g

не обращается в нуль на

a, b .

, xn

a, b

, xn

. По теореме Коши

Возьмем произвольную последовательность xn

n 1

n n xn , b

f b

g x

g b

Получена последовательность n , n

b . Поскольку

f x

A , то

A ,

g x

x b0

f x

A .

g x

Итак,	f x		A, что и требовалось доказать.
	g x
		x b0

Замечания. 1) Аналогичная теорема имеет место для x a 0 и	x a
2) Для b допускается значение , для a — значение .

20. Правило Лопиталя раскрытия неопределенности
20. Правило Лопиталя раскрытия неопределенности
Теорема 2.

Пусть

1) f ,

, g	— функции, определенные на a, b .

дифференцируемы во всех точках интервала,

x a, b

g x 0 .

x	,	g x
	x b0		x b0

f x 3) g x

Тогда



x b0

f g



x x



x b0

Замечания. 1) Аналогичная теорема имеет место для x a 0 и x a .

2) Для b допускается значение , для a — значение .

3) Условие

f x
	x b0

в доказательстве не используется, но условие

g x
	x b0

существенно. Так, функции

x		2	1
		2
x	3		x
	3

2x
3x	2	1

имеют разные пределы при

4) Может случиться, что

не имеет предела.

f g



x x



x b0

, но

f g



x x



x b0

. Например,

x cos x x

1 x

, но

1 sin x

Доказательство.

Ограничимся рассмотрением конечного

A , хотя теорема справедлива и для

Для определенности считаем, что

x g x 0, g x

, x g

x 0,

x b0

Возьмем произвольное 0 .

Подберем такой x0

, что

x x0 , b A

f x

g x

По теореме Коши

x x0 , b x0 ,

f x

g x g x

Поэтому

x x , b

f x f x0

A .

2 g x g x0

Умножим неравенство на g x g x0 0 :

g x g x0

x f

g x

g x0 ,

разделим на

g x

Поскольку

g x

x A

, b

, что

g x

, то найдется такой

x b0

x x1 , b x A , x A .

Итак,

0 x1 a,

x x1,

b A

f x

g x

x b0

30. Примеры

lim

a 1, 0 .

x x

Подберем натуральное

так, чтобы k 1 k

и применим k раз правило Лопиталя:

ln a

lim

x x

x 1

k 1 x

lim

ln x

lim

0 .

x x

lim x

ln x,

0 .

lim x

ln y

ln x x

lim

x 0

lim x			x		lim e			x ln x		e	0
lim x					lim e					e
x0						x0
	e	x		3	1	3x 1			lim
lim	e				1	3x 1
lim							2
x0						x	2			x0
x0						x				x0

1.
e	x 3	1 3x e	x	1 3x	2	3


		2x

	e	x	1 3x	2	3	1	3x 1
		x
lim
lim
x0				2x

3 2

§ 6. Формула Тейлора

10. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Пеано.

Пусть

дифференцируема в точке

. Тогда

f x		f x0	f		x0	x x0 x x0	.	(1)

	x x
	0
Формула (1) дает приближение функции			f	линейной функцией с точностью до бесконечно малых

порядка выше первого. Предполагая существование последующих производных, можно получить приближения большей точности.

Определение

Пусть функция

имеет в точке

x0 производные до

-го порядка. (Это означает, что

производные до n 1 -го порядка существуют в целой окрестности точки

, а функция

имеет производную в точке x0 ).

Многочлен

T : T x f x f

x x

f x

x x

называется многочленом Тейлора функции

x x0 ). В случае	x0	0	многочлен Тейлора
Представление
			f x

f порядка (степени) n в точке x0 (по степеням называют еще многочленом Маклорена.

T	x R	x
n	n

называется формулой Тейлора.

(2)

(3)

R	x
n

f x T	x
n

называется остаточным членом формулы Тейлора.

Предложение

Пусть

Тогда

— многочлен Тейлора функции

порядка

T x0 f x0 , T x0 f x0 , T x0

в точке

f x0 ,

x	0

, T n x0 f n x0 .

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 128 9 10 11 12 > Следующая >>>