2) Сумма двух выпуклых функций — выпуклая функция.
3) Если
F f
, а
— выпуклая,
f
— выпуклая, возрастающая, то
F
— выпуклая.
4) Если
f
строго возрастает и выпукла, то
g
f |
1 |
|
вогнута.
5) Выпуклая функция, отличная от постоянной, не может достигать наибольшего значения во внутренней точке промежутка.
§ 6. Асимптоты графика функции
Определение.
Прямая l называется асимптотой графика бесконечность по , бесконечно мало,
, если расстояние от точки, уходящей на
M , l 0
M
M
Предложение 1.
Если |
f x |
, то прямая |
|
|
x a 0 |
l : x a
— вертикальная асимптота графика
функции
f
.
Предложение 2.
Пусть |
f |
— определена и непрерывна на |
a,
.
Прямая
если |
f |
l:
x
yb
b
x
— горизонтальная асимптота графика
.
функции
f
в том и только в том случае,
Предложение 3.
Пусть f
Прямая
если
— определена и непрерывна на a, . |
|
||
l : y kx b |
— наклонная асимптота графика |
функции f в том и только в том случае, |
|
|
k lim |
f x |
|
|
x |
|
|
|
x |
|
|
|
b lim |
f x kx |
|
|
x |
|
|
Доказательство.
1) Необходимость. Пусть прямая l : y kx b — наклонная асимптота, тогда
f x kx b
0 x
,
15
fx k b
xx
0 x
,
f x |
k |
|
x |
||
|
0 x
,
2) Достаточность. Если
наклонная асимптота.
|
f x kx |
b . |
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
b lim |
f x kx , то |
f x kx b |
0 |
, прямая |
l : y kx b — |
x |
|
|
x |
|
|
Замечание
Горизонтальная асимптота — частный случай наклонной. Асимптота единственна. Если мы нашли горизонтальную асимптоту, то искать наклонную не следует.
16
Примеры.
1) |
f x |
2) |
f x |
3) |
f x |
y x |
1 |
|
2 |
||
|
Поскольку
x |
1 |
, |
x 0 |
— вертикальная асимптота, y x |
— наклонная асимптота. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
x |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
x 1 |
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
, x |
1 |
— вертикальная асимптота, |
|
y 1 |
— горизонтальная асимптота. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
1 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
x2 x 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
f x |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
1 |
|
|
1 |
|
|
1 |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
1 |
|
x |
|
x |
2 |
x 1 |
|
2 |
|
x |
|
x |
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8x |
|
x |
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
x |
|
1 |
|
1 |
|
|
3 |
|
|
|
1 |
|
x |
1 |
|
|
3 |
|
1 |
|
. |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2x |
8x |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
8x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
— наклонная асимптота. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
f x |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
1 |
|
~ |
|
3 |
0 , то график приближается к асимптоте сверху. |
|||||||||||||||||||||||||
x |
2 |
|
|
|
|
8x |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
x |
|
|
8x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
§ 7. Построение графика функции
I. Область определения.
Четность. Периодичность. Непрерывность.
Пределы. Асимптоты.
II. Производная.
Монотонность. Экстремумы.
III. Вторая производная.
Выпуклость. Перегибы.
Пример |
f |
f x |
|
x 1 |
|
x |
|
x |
3 |
x |
2 |
x 3 |
|
|
|
||
|
|
|
|
1 1
xx
,
f x |
x 2 |
|
|
(x 3) |
2/3 |
1/3 |
|
|
|
x |
|
|
2 |
|
||
|
|
|
|
||
f |
x (x 3)5/3 x4/3 |
, |
|||
|
17
Глава VII. Элементы дифференциальной геометрии
§ 1. Дифференцирование вектор-функций
10. Понятие вектор-функции. Координатные функции.
Если каждому t |
по некоторому правилу поставлен в соответствие вектор r t |
говорят, что на промежутке |
определена вектор-функция |
r . |
|
Если r — вектор-функция на промежутке , то при каждом t |
вектор r t можно |
||
разложить по базису i , j , k |
и записать его в виде |
|
|
|
r t t i t j t k . |
|
|
Функции , , называются координатными функциями вектор-функции r .
, то
20. Предел и непрерывность вектор-функции.
Определение |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вектор-функция |
r |
имеет предел a при t t0 , если |
|
|
|
|
|
|||
|
|
0 0 0 t t0 |
|
r t a , |
||||||
т.е. если |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r t a |
0 . |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
t t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
Предложение 1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пусть r — вектор функция с координатными функциями |
|
, , , a |
||||||||
координатами ax , ay , az . |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
, |
||
|
|
|
|
t |
|
|||||
|
|
|
|
|
t t |
x |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
r t a |
|
a |
|
|
, |
|||
|
|
t |
y |
|||||||
|
|
t t |
|
|
|
t t |
|
|
||
|
|
0 |
|
|
0 |
|
|
|
||
|
|
|
|
t |
a |
z |
|
|
||
|
|
|
|
|
t t0 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
||||
Определение. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вектор-функция |
r |
называется непрерывной в точке t0 |
, если |
|||||||
|
|
r t r t0 . |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
t t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
— вектор с
Предложение 2.
Для непрерывности вектор-функции необходима и достаточна непрерывность ее координатных функций.
Предложение 3.
Пусть r1, r2 — вектор-функции, — числовая функция. Тогда
1)
1
2) Если вектор-функции
lim r |
t |
r |
t lim r |
t lim r |
t , |
|
||||||||||||||||||||||||
t t |
|
1 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
t t |
|
1 |
|
|
|
|
|
t t |
|
2 |
|
|
|
|
||||
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
lim t r t lim t lim r |
t , |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
t t |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
t t |
|
|
|
|
|
t |
t |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
0 |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
||||||||||||
lim |
r |
|
t |
|
, r |
|
t |
|
|
lim r |
|
t |
|
, |
lim r |
|
t |
|
, |
|||||||||||
t t |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t t |
0 |
|
|
|
|
|
t t |
0 |
|
|
|
|
|
||||
lim r |
t |
r |
t |
lim r |
t lim r |
t |
|
|||||||||||||||||||||||
t t |
|
1 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
t t |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
t t |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
r1, r2 |
и функция |
|
непрерывны, то непрерывны и функции |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
r1 r2 , r1 , |
|
r1 , |
|
|
r2 , |
|
r1 r2 . |
|
|
|
|
|
30. Производная вектор-функции
Определение
Предел
r t |
|
lim |
r t r t |
0 |
|
|
|
|
|
|
|||
0 |
t t |
|
|
|
||
|
0 |
|
|
|
||
|
|
t t |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
называется производной вектор-функции
r
в точке
t |
0 |
|
.
Вектор-функция, имеющая производную называется дифференцируемой. Линейная функция
dr t |
0 |
: dr t |
0 |
t r t |
0 |
t |
|
|
|
|
называется дифференциалом.
Приращение дифференцируемой функции записывается в виде
|
|
|
|
|
|
|
|
r t t r t r t t t |
|
Предложение 4. |
|
|
|
|
|
|
|
||
Если вектор-функции |
r1 |
, |
r2 |
|
и функция |
дифференцируемы, то дифференцируемы и |
|||
r r |
, r , |
r , r |
|
, |
r r |
|
|||
функции 1 |
2 |
1 |
1 |
2 |
|
1 |
2 , при этом |
|
r1 r2 r1 r2 ,
r1 r1 r1 ,
r1 , r2 r1 , r2 r1 , r2 ,
r1 r r1 r r1 r2
40. Дифференцирование сложной функции |
|
|
Если функции r , дифференцируемы, то |
r |
дифференцируема, |
u r u u |
50. Теорема Лагранжа
Теорема 1.
Пусть вектор-функция r |
дифференцируема на отрезке |
Тогда найдется a, b , такое что
r b r a r b
a,
a
b
.
.
2
Доказательство.
Положим |
p r |
|
b |
|
r |
|
a |
. |
||
|
|
|
|
|
|
|||||
Неравенство очевидно, если p 0 . |
||||||||||
В случае |
p 0 |
положим |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
: t r t |
По теореме Лагранжа |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a, b b a |
т.е. |
|
|
|
|
|
|
p |
|
p, p r , p b |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|||
Деление на |
p 0 |
дает требуемое неравенство. |
||||||||
|
|
|
|
, p . a r
b
a |
, |
|
|
p b a |
.
60. Формула Тейлора Теорема 2.
Если вектор-функция r |
|
имеет в точке |
|||||||
r t r t |
|
r t |
|
t t |
|
|
1 |
r |
|
0 |
0 |
0 |
2! |
||||||
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
0 |
|
t |
0 |
|
производные до |
n -го порядка включительно, то |
||||||||||||
t t0 |
2 |
|
|
1 |
r |
n |
t0 |
t t0 |
|
n |
t t0 |
n |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
n! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
§ 2 Путь в пространстве и на плоскости
10. Введение системы координат в геометрическом пространстве приводит к
представлению геометрического пространства в виде совокупности |
3 |
упорядоченных |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
троек вещественных чисел. Плоскость представляется совокупностью |
|
2 |
упорядоченных |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
пар вещественных чисел. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Для вычисления расстояния между точками M1 x1 , y1 , |
z1 , |
M 2 x2 , |
|
y2 , |
z2 имеем формулу |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
M |
, |
M |
|
|
|
x |
x |
2 |
y |
|
|
y |
|
2 |
z |
|
|
|
z |
2 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
1 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
1 |
|
|
|
|
|
||||
С каждой точкой M связывают ее радиус-вектор |
|
r OM |
. Отметим, что |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
M , M |
2 |
M M |
2 |
r |
r |
, где r OM |
1 |
, |
|
r OM |
2 |
. |
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
||||
Важнейшими свойствами расстояния являются |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
1) положительность |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
||||
|
1 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
1 |
M |
2 |
|
|
|
|||||||||||||||||
|
M |
, |
M |
|
|
|
|
0; |
|
|
|
|
M |
|
, |
M |
|
|
|
|
|
M |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
2) симметрия |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
M1 , M 2 M 2 , M1 0 ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
3) неравенство треугольника |
1 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
2 . |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
M |
|
|
, |
M |
|
|
|
M |
, |
M |
|
|
|
|
|
M |
|
, M |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
20. Путь в пространстве (на плоскости) — это непрерывное отображение |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
: a, b |
|
3 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
отрезка в пространство (на плоскость). |
|
Отображение называется непрерывным в точке t0 |
, если |
0 0 t a, b t t0 t , t0 .
3
Пусть t a, b , M |
|
t , |
M x, y, |
z . Определим на отрезке a, b функции |
, , |
, |
|||||||||||
полагая |
|
|
t |
|
x, |
|
t |
|
y, |
|
|
t |
|
z |
. Эти функции называются координатными функциями |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
отображения . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Наоборот, имея функции , , |
|
, можно построить соответствующий путь . |
|
|
Предложение 1.
Для непрерывности отображения
координатных функций , , |
. |
необходима и достаточна непрерывность
Доказательство.
1) Необходимость. Пусть |
непрерывно Непрерывность , , |
|
следует из неравенства |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t t |
|
|
|
|
|
|
|
|
t t |
|
|
|
2 |
t t |
|
|
|
2 |
|
t t |
|
|
|
2 . |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
2) Достаточность. Пусть |
, , |
|
|
непрерывны в точке |
t |
0 |
|
|
a, b |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Возьмем произвольное |
0 |
, подберем такое |
0 , что |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
t t0 |
t t0 |
|
|
|
|
, |
|
t t0 |
|
|
|
|
, |
t t0 |
|
|
. |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Если |
t t |
0 |
|
, то |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
t0 |
|
|
t |
t0 |
|
t |
|
t0 |
|
|
. |
||||||||||||||||||||||||||||||||
t , |
t0 t t0 |
|
|
2 |
2 |
2 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
С путем |
|
свяжем вектор-функцию, которая имеет те же координатные функции , , , |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
что и путь |
. Непрерывность |
|
|
и соответствующей вектор-функции равносильны. |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
30. Пусть |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
— |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
: |
|
a, b |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
некоторый путь. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
Образ |
a, b |
называется носителем пути. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Точки |
A |
|
b |
|
, |
B |
|
b |
называются началом и концом пути. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Если начало и конец совпадают ( |
|
|
b |
|
|
|
|
b |
), путь называется замкнутым. |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Если |
инъективно, путь называется простым. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Если |
|
— замкнутый путь и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
t |
t |
|
|
|
|
t , t |
|
|
|
|
|
a, b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
называется простым замкнутым путем. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Если |
|
: |
|
a, b |
|
|
3 |
— путь, то путь |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
a b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
: a, b |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
называется встречным. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
Пути : a, |
b |
3 |
, : |
a, b |
|
|
3 |
|
называются эквивалентными, если существует такая |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
непрерывная и строго возрастающая биекция : |
a, b |
a, b , что |
|
|
. |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Совокупность эквивалентных путей называется кривой. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Впрочем, иногда кривой называют просто носитель пути. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Имея пути 1 |
: a, b |
|
|
|
3 , 2 |
|
: b, c |
|
3 , для которых 1 b 2 b , можно построить их |
произведение (соединение)
4
С функцией
f
на отрезке
: a,a, b
|
|
|
|
1 |
t , t a, b , |
|
c |
|
, |
|
|
|
|
3 |
t |
|
|
t , t b, c . |
||
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
2 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и ее графиком |
связывают путь |
: x t,
y f t .
§ 3 Гладкий путь
Определение
Путь |
называется гладким, если его координатные функции |
, , |
непрерывно |
||||
|
|
|
|
|
|
) и |
|
дифференцируемы (имеют непрерывные производные , , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
2 |
|
t |
|
|
2 |
|
t |
|
|
2 |
|
t |
|
0 |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
т.е. непрерывно дифференцируема соответствующая вектор-функция r |
и r |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
обращается в нуль. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Для гладких путей эквивалентность понимают в гладком смысле: |
|
t 0 . |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
непрерывно дифференцируема, t |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
Пусть |
— гладкий путь, r |
— соответствующая вектор функция. |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
Возьмем t0 |
a, |
b , положим M 0 t0 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
Вектор |
a r |
t |
0 |
|
называется касательным вектором пути . |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
Прямая l0 , проходящая через точку |
M0 |
|
, имеющая направляющий вектор |
a |
0 |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
называется касательной прямой пути |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
Пусть t t0 |
, |
M |
|
t |
|
, l |
— прямая, проходящая через точки M0 , |
M |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
r t r t |
|
|
|
|
|
|
t0 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
( |
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
t t |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
t t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
нигде не |
|
r |
|
0 , |
t |
|
для t , близких к t0 |
имеем M M0 ). |
r t r t |
|
|
|
||||||
Прямая l имеет направляющий вектор a t |
0 |
a0 . |
|||||||||
|
|
|
|||||||||
t t |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
||
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
t t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Для угла |
|
|
t |
между прямыми l, l0 (и векторами a, a0 ) имеем |
|||||||
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
cos t 1, t 0 . |
|
|||||
|
|
|
|
|
t t |
t t |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
0 |
|
0 |
|
|
|
|
Считая, что угол |
выполняет роль расстояния между прямыми, мы скажем, что l t |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
Касательная l0 — предельное положение секущей l .
Параметрические уравнения касательной можно записать в векторной r r0 r t0 h
l0
.
и координатной
x x0 t0 h, |
|
|
|
t0 h, |
|
y y0 |
h |
|
|
t0 h, |
|
z z0 |
|
формах.
5
§ 4 Длина пути Определение
Пусть : a, b |
3 |
|
2 |
— путь в пространстве (на плоскости). |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|||||||||||
Совокупность точек : a t0 t1 |
tn |
b называется разбиением отрезка a, b ; |
|
|||||||||||
|
k |
|
t |
k 1 |
, t |
k — отрезки разбиения, tk |
tk tk 1 — длины этих отрезков, max tk |
— |
||||||
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
|
ранг (мелкость) разбиения. |
|
|
|
|
||||||||||
Положим M k tk |
(для k 0, 1, |
, n ), рассмотрим ломаную |
с вершинами в точках |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
Mk |
. Эта ломаная имеет длину S M k 1M k . |
|
|
k 1
Если длины ломаных, соответствующих всевозможным разбиениям, образуют
ограниченное множество, то путь |
называется спрямляемым. Верхняя грань |
множества называется длиной пути, |
|
|
S sup S . |
|
|
Неспрямляемому пути можно приписать длину .
S
этого
Упражнение
Эквивалентные пути, встречные пути имеют одинаковыe длины.
Теорема 1.
Гладкий путь спрямляем.
Доказательство.
Пусть |
— гладкий путь, r |
|
непрерывна на отрезке |
a, |
|
|
— соответствующая вектор-функция. Тогда функция |
r |
|
|
b |
|
. По теореме Вейерштрасса она ограничена, положим |
|
|
t . |
M max r |
||
|
t |
|
По теореме Лагранжа |
||
|
|
t , t |
Если |
— некоторое разбиение, |
|
|
|
n |
|
|
S r tk r |
|
|
k 1 |
a, b |
r t |
|
r t |
|
M t |
|
t |
|
. |
|
|
|
|
||||||
то длина соответствующей ломаной |
|||||||||
|
n |
|
|
|
n |
|
|
|
|
tk 1 M tk tk 1 M tk M b a . |
|||||||||
|
k 1 |
|
|
|
k 1 |
|
|
|
|
Видим, что путь спрямляем и его длина
S M
Пусть
: a, b |
3 |
|
S — его длина.
|
|
b a |
. |
|
|
— гладкий путь,
Для a a |
b |
b обозначим через a b |
часть пути , соответствующую |
|
1 |
1 |
1 |
1 |
|
параметрическому отрезку a1 , b1 , a1b1 |
| a1 , b1 , а через La1b1 — длину этой части. |
Полученная "функция отрезка" аддитивна:
La1b1 Lb1c1 La1c1 .
6
Теперь рассмотрим функцию l на отрезке a, b :
l t La,t — длина пути a t
Теорема 2.
Функция l непрерывно дифференцируема,
l r .
Пройденный путь имеет скорость своей производной.
| a, t
.
Доказательство.
Пусть t0 a, |
b |
. Возьмем произвольное t t0 , |
b |
. Положим |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
M t max r |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u t , t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Непрерывность |
r |
|
|
влечет соотношение |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
r |
|
t0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
M t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t t 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В теореме 1 установлена оценка |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 . |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
l |
|
M |
|
|
t t |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
l |
|
t |
|
|
t |
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
С другой стороны, длина t |
t |
|
|
не может быть меньше длины прямолинейного отрезка с |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
концами |
|
|
t |
0 |
|
, |
|
|
t |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
l t l t |
0 |
r t |
r t |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Таким образом, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r t r t |
0 |
|
|
|
l t l t |
0 |
|
M |
|
t |
. |
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t t |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t t |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Поскольку |
r t |
r t |
0 |
|
r |
|
t0 , то по теореме о милиционерах |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
t |
t |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
t t0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
l t l t0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t0 |
, |
|
l |
|
t |
|
|
r t |
|
|
. |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t t0 |
|
|
|
|
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
t0 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Аналогично устанавливается, что l t0 |
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
Пример. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Для параметризации окружности |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x R cos t, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R sin t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
имеем t R sin t, t R cos t, |
|
r t |
R . По теореме 2 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
l t R, l t R t . |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
Длина окружности оказывается равной |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
l |
2 |
2 R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Установленное в теореме 2 равенство
t l t r t
в координатах примет вид
t l 2 t 2 t 2 t 2 t .
7