МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ
Лектор — Моисеев А.А.
Глава II. Предел функции
§ 1. Понятие предела функции
10. Предельная точка.
Пусть E |
, a |
. Точка a |
называется предельной для множества
E
, если
0 x E 0 x a .
На языке окрестностей это означает, что любая окрестность V |
точки a |
содержит точки |
множества E , отличные от a . |
|
|
Если V — окрестность точки a , то |
V V \ |
a |
|
|
называют проколотой окрестностью. Теперь |
||
можно сказать, что a — предельная точка для E , если для любой окрестности V |
точки a |
||
проколотая окрестность V пересекается с |
E , V E . |
|
20. Определение. Предел функции
Пусть E , a — предельная точка для множества
E
;
f
— функция, определенная на
E
.
1) Определение на языке |
|
|
|
|
|
Число A называется пределом функции |
f |
в точке a (или при |
|||
для любого 0 |
можно указать такое |
0 , что неравенство |
|||
всякий раз, когда |
x E и |
0 x a |
|
: |
|
|
|
|
0 x E 0 x a f
x a ) вдоль множества E f x A выполняется
x A .
, если
2) Определение на языке окрестностей |
|
|
|
|
|
|
Число A называется пределом функции f в точке a , если для любой окрестности |
V |
точки A |
||||
существует окрестность U точки a , для которой справедливо включение f |
|
|
V . |
|||
U E |
|
|||||
3) Определение на языке последовательностей |
|
|
|
|
|
|
Число |
A называется пределом функции f в точке a , если для любой последовательности |
|||||
xn , |
xn E, xn a, xn a справедливо соотношение |
f xn |
A . |
|
|
|
|
n |
|
n |
|
|
|
Если A — предел функции f в точке a , то пишут f x |
|
A, A lim |
f x . |
|
||
|
x a,x E |
x a,x E |
|
|
1
Как правило, мы будем рассматривать ситуацию, где функция определена, по крайней мере, в
некоторой проколотой окрестности точки |
a . В такой обстановке указание множества |
E |
становится необязательным, мы пишем просто lim f x . |
|
|
|
x a |
|
Пример
Для существования предела функция вовсе не обязана быть определенной в точке
этой точке функция определена, то значение |
f a |
не влияет на предел. |
a
. Если же в
Если
f x 1
при
x
3
, а
f
3
2
, то
lim f x 1 x 3
f
3
.
Существование и значение предела полностью определяется поведением функции в любой проколотой окрестности точки a . Если функции f , g совпадают в некоторой проколотой окрестности U точки a , то они имеют или не имеют предела одновременно, в случае существования пределы между собой равны.
Лекция 8 05.10.2016
30. Теорема 1. Равносильность определений.
Определения
A lim f x x a
1), 2), 3) равносильны. Если |
A lim f x |
|
x a |
и в смысле других определений.
в смысле одного из определений, то
Доказательство
Сначала сравним определения 1), 2).
Пусть |
A lim f x |
в смысле 1). Возьмем произвольную окрестность V |
точки A . Найдется такое |
||||||||
|
|
|
x a |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
, что |
V |
A |
|
V |
. По определению 1) существует такое 0 , что |
|
||||
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x E, x a, x a f x A . |
|
Полагая |
U V |
|
|
a |
|
, можно переписать предыдущее соотношение в виде |
|
||||
|
|
|
|
|
|||||||
f U E V A V . Таким образом, A lim f x в смысле 2). |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x a |
|
Наоборот, пусть |
|
A lim f x в смысле 2). Возьмем произвольное 0 |
и положим V V A . |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x a |
|
По определению 2) найдется окрестность U точки a , для которой |
f U E V . Подберем |
0 , для которого V a U . Теперь
x E 0 x a f x A ,
A lim f x в смысле 1). Установлена равносильность определений 1), 2).
x a
2
Докажем равносильность определений 1), 3).
Пусть |
A lim f x |
в смысле 1). |
|
x a |
|
и убедимся в том, что |
f xn |
|
n |
Возьмем произвольную последовательность
xn , xn a, xn a
n
A .
Возьмем произвольное 0 . По определению 1) найдется такое 0 |
, что |
|
|
x E 0 x a f x A . |
|
По определению предела последовательности найдется номер N , для которого |
||
|
n N xn a . |
|
Видим, что при n N выполняется соотношение f xn A . Итак, |
f xn A . |
|
|
|
n |
A lim f x в смысле 3). |
|
|
x |
a |
|
Пусть |
A lim f x в смысле 3). Допустим, A не является пределом в смысле 1). Тогда |
|
|
x a |
|
|
0 0 x E 0 x a f x A . |
В качестве
0
последовательно возьмем числа
1 |
, |
n 1, 2, |
|
n |
|||
|
|
и найдем точки
xn E 0 xn |
a |
1 |
, |
|
f |
xn A . Тем самым мы получаем последовательность xn . |
|||||||
n |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Неравенство |
x a |
1 |
|
означает, что x |
a , а неравенство f x |
A |
говорит, что A не |
||||||
|
|||||||||||||
|
n |
|
|
n |
|
|
|
n |
n |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
является пределом для |
f |
|
x |
n , вопреки предположению. Полученное противоречие заставляет |
|||||||||
|
|
||||||||||||
нас признать, что A lim f x в смысле 1). |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
x a |
|
|
|
|
|
|
|
|||
§ 2 Различные предельные конструкции |
|
|
|
||||||||||
10. Односторонние пределы |
|
|
|
|
|||||||||
1) Пусть f определена на некотором интервале a 0 , |
a . |
|
|
||||||||||
Число A называется левосторонним пределом функции |
f в точке a |
|
|
||||||||||
( A f a 0 , A lim |
f x , f x A ), если |
|
|
|
|||||||||
|
|
x a 0 |
|
|
|
x a 0 |
|
|
|
0 0 x a x a f x A .
3
2) Пусть f определена на некотором интервале a, a 0 |
. |
||
Число A называется правосторонним пределом функции |
f |
в точке a |
|
( a f a 0 , A lim |
f x , f x A ), если |
|
|
x a 0 |
x a 0 |
|
|
0 0 x a x a |
f x A |
.
Определения односторонних пределов можно дать и в терминах окрестностей или последовательностей.
Предложение
Функция f определена в проколотой окрестности точки a .
Тогда функция имеет предел в точке a |
в том и только в том случае, если существуют и равны |
||||||||
между собой односторонние пределы |
f |
|
a 0 |
|
f |
|
a 0 |
. В случае существования предела |
|
|
|
|
|
|
|||||
f a 0 |
f a 0 lim f x . |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
x a |
20. Бесконечные пределы
В определении предела число
f x x a
A можно заменить на , ,0 0 0 x a
. Например,
f x
.
30. Пределы на бесконечности
Бесконечности могут выполнять и роль точки, в которой вычисляется предел. Например,
f x 0 0 x
x f
x
.
§ 3 Простейшие свойства предела функции
0 |
a , |
f |
|
x |
|
A |
при |
1 . Если функция постоянна в некоторой проколотой окрестности точки |
|
|
|
||||
то f x A . |
|
|
|
|
|
|
|
x a |
|
|
|
|
|
|
|
20. Предел единствен. |
|
|
|
|
|
|
|
30. Если функция имеет конечный предел, то она ограничена в некоторой проколотой окрестности.
x V
,
§ 4. Предел и арифметические операции
Теорема 1
Пусть функции f , g определены в проколотой окрестности E точки a .
4
f x x a
Определим функции
F : F x f
G : G x f
H : H x
A,
x
x f
g x B . x a
g x , x E;
g x , x E;
x / g x , x E.
(В последнем случае предполагаем, что g x 0 при
Тогда функции F, G, H тоже имеют пределы,
x E
).
(последнее при условии
B
F
0
x A B, G x AB, H x A / B |
||
x a |
x a |
x a |
|
|
).
Доказательство
Докажем , например, последнее утверждение. |
|
Возьмем произвольную последовательность xn , xn E, xn |
|
предела функции на языке последовательностей |
|
f xn A, g xn B . |
|
n |
n |
По теореме о пределе отношения последовательностей |
H xn |
предела функции H x |
A |
. |
|
||
x a B |
|
a, xn |
a . По определению |
|
n |
|
A |
. Опять по определению |
|
||
n B |
|
§ 5. Предел и неравенства
Теорема 1
Пусть функции
f ,
g
определены в проколотой окрестности
E
точки
a
.
1) Стабилизация неравенств
Пусть
f x A, |
g x B, A B . |
x a |
x a |
Тогда |
|
U x U f x g x
5
2) Предельный переход в неравенстве.
Пусть
x E |
f x g x , |
f x A, g x B . |
|
x a |
x a |
Тогда |
|
|
A B . |
Замечание. Можно ослабить условие и потребовать выполнения неравенства некоторой проколотой окрестности точки a .
3) Теорема о полицейских.
Если
x E |
f |
|
x |
|
h |
|
x |
|
g |
|
x |
, |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
f x A, |
g x A |
, |
|
||||||||||
|
x a |
|
|
|
|
|
|
x a |
|
|
|
то
h x A .
x a
f x g x
в
Доказательство
|
|
|
|
|
|
|
|
A B |
A B |
|
|
|
|
||||
1) Рассмотрим окрестности VA , |
|
|
и VB |
|
|
, точек A и B |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
||
соответственно. На основании определения предела мы можем найти такую окрестность U |
точки |
||||||||||||||||
a |
, что при |
x U справедливы включения |
f x VA и g x VB . U — искомая окрестность. |
||||||||||||||
(Поскольку из f x VA следует, что |
f x |
A B |
, а g x |
VB влечет g x |
A B |
, то |
|
||||||||||
|
2 |
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
). |
|
2 |
|
|
|
|
|
|||
f |
x |
g |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2) Утверждение о предельном переходе в неравенстве доказывается, как и в случае последовательностей, методом от противного.
Допустив, что имеет место неравенство A B , мы придем к противоречащему условию выводу о
том, что в пределах некоторой проколотой окрестности точки a |
выполняется неравенство |
||||||||
f |
|
x |
|
g |
|
x |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
3) Возьмем произвольную последовательность xn , xn |
a, xn |
a . |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
6
По определению предела на языке последовательностей получаем соотношения
f x |
A, |
n |
n |
|
g x |
|
n |
n |
|
A
, а по условию
f x |
n |
h x |
n |
g x |
n |
, n 1, 2, |
По теореме о
полицейских для последовательностей
h x |
|
n |
n |
|
A
. Пользуясь опять определением на языке
последовательностей, делаем вывод, что
h x x a
A
.
§ 6. Бесконечно малые и бесконечно большие функции
10. Определение
Функция называется бесконечно малой при
x a , если
x x a
0
.
20. Теорема 1.
1)Сумма бесконечно малых является бесконечно малой.
2)Произведение бесконечно малой на ограниченную функцию является бесконечно малой.
30. Теорема 2. Определение предела в терминах бесконечно малых
f x A f A б.м. x a
40. Бесконечно большие функции
Функция |
f |
называется бесконечно большой ( |
|
|
0 0 0 |
fx
xa
), x a
если
f x
.
Теорема 3.
б.м. |
f |
1 |
б.б. |
|
|
||||
|
|
|
§ 7. Предел монотонной функции
Определение
Пусть |
f |
— функция, определенная на промежутке |
. |
1) Функция |
f |
называется возрастающей (строго возрастающей), если |
|
|
|
x, y x y |
f x f y f x f |
2) Функция |
f |
называется убывающей (строго убывающей), если |
|
|
|
x, y x y |
f x f y f x f |
y
y
.
.
3) Функция называется (строго) монотонной, если она (строго) возрастает или (строго) убывает
7
Теорема 1.
Пусть f — монотонная функция на интервале |
a, b . |
|
||||
Тогда существуют односторонние пределы |
f |
|
a 0 |
|
, |
f |
|
|
|
|
b 0
, может быть, бесконечные.
Доказательство.
Для определенности рассмотрим возрастающую функцию.
1) Пусть f |
ограничена сверху. Положим M sup f |
a, b |
и покажем, что |
f x |
|||||||||||||||||||||||||
Возьмем произвольное 0 |
. Найдется такой |
x |
|
a, b |
, что |
|
f |
|
x |
|
M |
. |
|
||||||||||||||||
0 |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||
Положим |
b x0 . Теперь, |
x |
|
b , b |
имеет место неравенство |
x b |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
f x f |
x0 b , |
M f |
x M . Видим, что |
f x |
M . |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x b 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
2) В случае неограниченности |
f x |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
x b 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Действительно, |
0 x |
f |
x |
|
|
. Далее, |
x |
|
x |
, b |
|
f |
|
x |
|
|
f |
|
x |
|
. |
||||||||
|
0 |
|
0 |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
x b 0
x0
M .
, поэтому
§ 8. Критерий Коши существования предела
Теорема 1.
Для существования конечного предела
0 0 0 x
lim f x |
|
x x0 |
|
x |
, x |
0 |
|
необходимо и достаточно условие Коши
x0 |
|
|
|
. |
f x |
f x |
Доказательство.
1) Необходимость. Пусть f x A . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
x x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Возьмем произвольное 0 . Найдется такое 0 |
, что |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
0 |
|
|
f |
|
|
x |
|
A |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
0 x x |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Для любых x , x , удовлетворяющих условиям |
0 |
|
x x0 |
, x x0 |
|
получается неравенство |
||||||||||||||||||||
|
f x f x |
|
|
|
f x A f x A |
|
|
|
f x A |
|
|
|
f x A |
|
|
|
|
|
. |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
2 |
|||||||||||||||||
2) Достаточность. Возьмем произвольное 0 |
и подберем 0 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
, о котором идет речь в |
||||||||||||||||||||||||||
условии Коши. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8
Для произвольной последовательности xn |
|
, для которой |
xn x0 |
и |
xn x0 , найдется такой |
|||||||||
n 1 |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
номер N , что |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n N 0 x |
x |
|
. |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
n |
0 |
|
|
|
|
|
||
Получается, что |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n, m N |
f |
xn f xm |
. |
|
|
|
|
|||||
Последовательность f |
|
фундаментальная, следовательно, она сходится. Осталось |
||||||||||||
xn |
||||||||||||||
|
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
убедиться в том, что все такие последовательности имеют один и тот же предел. Пусть |
||||||||||||||
последовательности x |
, x имеют предел |
x |
0 |
и состоят из членов, отличных от x |
0 |
. Построим |
||||||||
n |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
, x2n |
|
|
|
xn x0 |
, |
xn x0 , поэтому |
|||||
последовательность xn , полагая x2n 1 xn |
xn . Тогда |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
существует
A lim n
f
xn
. По теореме о пределе подпоследовательности
f x |
, |
n |
|
f
x |
|
n |
n |
|
A
.
§ 9. Сравнение функций (бесконечно малых)
10. Определение
Пусть функции , определены в некоторой проколотой окрестности точки обращается в 0 ни в одной точке.
x |
0 |
|
,
не
1) Говорят что , |
одного порядка при |
x x0 |
, если |
|
|
x |
A 0, . |
|
|
|
|
|
x |
|
|
||
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
x x |
|
|
|
Для бесконечно малых функций |
, |
в этом случае говорят, что функция и |
одного порядка |
|||
малости. |
|
|
|
|
|
|
2) , эквивалентны при x x0 , x |
x , если |
|
|
|||
|
|
x x |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
x |
1. |
|
|
|
|
|
x |
|
|
||
|
|
0 |
|
|
||
|
|
|
|
x x |
|
|
Замечание. В условиях пункта 1) |
x |
A x . |
|
|
||
|
|
x x |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
3) Функция называется бесконечно малой по сравнению с , x |
x ( есть o- |
|||||
|
|
|
|
|
x x0 |
|
малое от
), если
x 0 .
x x x0
9
Для бесконечно малых функций , |
в этом случае говорят, что функция |
имеет более высокий |
порядок малости, чем . |
|
|
В смысле принятого определения запись 1 |
означает бесконечную малость функции . |
4) |
|
|
|
ограничено в некоторой проколотой окрестности точки |
x0 . |
|||
, если |
|
|||||||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
x x |
|
|
|
|
|
|
|
Примеры. x 2x |
2 |
~ |
x, |
x |
2 |
x . |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
x 0 |
|
|
|
x 0 |
|
20. Определение
1)Если
2)Если
x |
~ |
|
x x |
|
0 |
x ~
x x0
A x |
|
|
k |
A x x |
k |
0 |
|
, то говорят, что
, то |
имеет k |
имеет k -й порядок относительно
-й порядок малости, функция A x x0
.
k
называется
главной частью б.м.
x ~ |
A |
имеет k |
|
xk |
|||
x x0 |
|
. (Для случая x роль основной б.м. выполняет функция |
1 |
, функция |
||||
x |
||||||
|
|
|
|
|
||
-й порядок малости, имеет |
A |
своей главной частью). |
|
|
||
x |
k |
|
|
|||
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
30. Теорема 1
При вычислении пределов сомножители
Пусть x |
~ |
1 x , x |
~ 1 x . |
|||||||||||
|
|
|
|
|
x x |
|
|
|
|
|
x x |
|||
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
0 |
||
Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1) Если |
1 x |
A |
, то |
|
x |
A . |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
x x x0 |
|
|
|
x x x0 |
|||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2) Если |
1 |
x 1 x |
A |
, то |
x x |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
x |
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|||
3) |
|
|
|
~ |
1 |
|
|
. |
|
|
|
|
||
x |
|
x |
|
|
|
|
||||||||
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
x x |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
4) |
x x |
~ 1 x 1 x . |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
можно заменять на эквивалентные.
A . x x0
Доказательство.
1)
x |
|
|
x x |
x |
A11 |
||
x |
1 |
x |
1 |
x |
|||
|
|
||||||
|
|
x |
0 |
||||
|
|
1 |
1 |
|
|
x x |
|
|
|
|
|
|
A
.
10