4. Закон сохранения механической энергии. Работа сил. Кинетическая и потенциальная энергии. Консервативные силы.

Закон сохранение механической энергии: в системе тел, между которыми действуют только консервативные силы, полная механическая энергия со­храняется, т. е. не изменяется со временем.

Кинетическая энергия механической системы — это энергия механического движения этой системы. Тело массой т, движущееся со скоростью v, обладает кинетической энергией

Кинетическая энергия системы есть функция состояния ее движения.

Потенциальная энергия — механическая энергия системы тел, определяемая их вза­имным расположением и характером сил взаимодействия между ними. потенциальная энергия тела массой т, поднятого на высоту h над поверхностью Земли, равна потенциальная энергия упругодеформированного тела

Элементарной работой силы F на перемещении dr называется скалярная величина где  — угол между векторами F и dr; ds = |dr| — элементарный путь; F_s — проекция вектора F на вектор dr

Работа силы на участке траектории от точки 1 до точки 2 равна алгебраической сумме элементарных работ на отдельных бесконечно малых участках пути. Эта сумма приводится к интегралу

Если, например, тело движется прямолинейно, сила F=const и =const, то получим где s — пройденный т. Путь

5. Динамика вращательного движение твердого тела. Момент инерции. Теорема Штейнера.

Моментом инерции системы (тела) относительно данной оси называется физическая величина, равная сумме произведений масс л материальных точек системы на квадраты их расстояний до рассматриваемой оси:

В случае непрерывного распределения масс эта сумма сводится к интегралу

где интегрирование производится по всему объему тела. Величина r в этом случае есть функция положения точки с координатами х, у, z.

Если известен момент инерции тела относительно оси, проходящей через его центр масс, то момент инерции относительно любой другой параллельной оси определяется теоремой Штейнера: момент инерции тела J относительно произвольной оси равен моменту его инерции Jc относительно параллельной оси, проходящей через центр масс С тела, сложенному с произведением массы т тела на квадрат расстояния а между осями:

6. Кинетическая энергия вращения.

где J_z — момент инерции тела относительно оси z. Таким образом, Кинетическая энергия вращающегося тела В случае плоского движения тела, например цилиндра, скатывающегося с наклонной плоскости без скольжения, энергия движения складывается из энергии поступательного движения и энергии вращения: где m — масса катящегося тела; v_c — скорость центра масс тела; Jc — момент инер­ции тела относительно оси, проходящей через его центр масс;  — угловая скорость тела.

7. Момент сил. Основное уравнение динамики вращательного движения.

Моментом силы F относительно неподвижной точки О называется физическая величина, определяемая векторным произведением радиуса-вектора r, проведенного из точ­ки О в точку А приложения силы, на силу F (рис. 25):

Здесь М — псевдовектор, его направление совпадает с направлением поступательного движения правого винта при его вращении от r к F. Модуль момента силы

где — угол между r и F; r sin = l — кратчайшее расстояние между линией действия силы и точкой О — плечо силы.

Моментом силы относительно неподвижной оси z называется скалярная величина M_z , равная проекции на эту ось вектора М момента силы, определенного относительно произвольной точки О данной оси z (рис. 26). Значение момента М_z не зависит от выбора положения точки О на оси z.

Если ось z совпадает с направлением вектора М, то момент силы представляется в виде вектора, совпадающего с осью:

У равнение представляет собой уравнение динамики вращательного движения твердого тела относительно неподвижной оси.

Можно показать, что если ось z совпадает с главной осью инерции проходящей через центр масс, то имеет место векторное равенство

где J — главный момент инерции тела (момент инерции относительно главной оси).