Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

РАЗДЕЛ 1

.pdf
Скачиваний:
4
Добавлен:
19.06.2017
Размер:
1.02 Mб
Скачать

1. Определение перемещений и расчеты на прочность и жесткость статически определимых элементов конструкций

Задание № 12

Выполнил: студент гр. 12-КС-3 Иванов И.И.

Принял: к.т.н., доцент Дербасов А.Н.

Номер схемы

5

33

35

36

15

Средний

балл

 

 

 

 

 

 

Оценка

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Подпись

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Нижний Новгород 20015 г.

Лист

КР-СМ-НГТУ-12КС3-012-14

Изм. Лист

№ докум.

Подпись Дата

1.1 Расчѐт при растяжении и сжатии бруса 1.1.1 Условие задачи

Для бруса квадратного поперечного сечения (схема 5) и выполненного из стали Ст.3 в общем виде определить перемещения сечений B, C и D и построить эпюру перемещений. Подобрать размеры поперечного сечения бруса из условий прочности и жесткости ( B a /1000 ).

1.1.2 Краткие теоретические сведения Перемещение любого сечения бруса при его растяжении и сжатии определяется методом Мора по формуле

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

N

z

N

z

n

 

N z N z

 

 

 

 

dz

 

i

i

dz ,

 

 

 

 

 

 

 

 

EA( z)

 

i1

EAi

 

 

i

 

l

 

 

 

 

 

l

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i

 

 

 

 

 

где N z – продольная сила в грузовом (исходном) состоянии;

N z – продольная сила в единичном состоянии;

Е – модуль упругости материала при растяжении и сжатии; A( z) – площадь поперечного сечения бруса;

n– число участков. 1.1.3 Решение задачи

1) Строим эпюры и аналитические выражения продольной силы в грузовом состоянии по участкам (Рис.1)

Nz qa;

N z

2

qz2 .

1

 

 

2) Вычисляем перемещения сечений B, C и D в общем виде и строим эпюру продольных перемещений сечений (Рис. 1):

Сечение B

 

 

1;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Nz

 

 

 

 

 

 

Nz

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

N z

N z

a

N z

 

 

 

N z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

N

z

N

z

 

 

 

2

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

B

 

 

 

dz

 

 

 

1

1

dz1

 

 

 

 

 

dz2

 

 

 

 

 

 

 

 

EA

 

 

 

 

 

 

E2A

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

l

 

 

 

 

 

0

 

 

EA

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

( z)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

a

 

 

 

 

 

 

 

 

1

a

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

qa

2

 

3 qa

2

 

 

qa 1 dz1

 

qz2 1 dz2

 

 

 

qa2

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

EA

2

 

EA

4

 

4 EA

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Знак минус указывает, что сечениеВ перемещается в сторону, противоположную единичной силе P 1 в этом сечении, т.е. влево.

Сечение C

 

 

 

 

 

 

 

 

1.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

N z

0;

 

 

 

 

Nz

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

qz 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

Nz

Nz

a

Nz

 

Nz

 

 

a

 

qa2

 

 

N

z

N

z

 

2

2

 

C

 

 

dz

 

 

1

1

dz1

 

 

 

dz2

2

dz2

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

l

EA( z )

0

 

 

EA

0

E2A

0

2EA

 

 

4EA

Лист

КР-СМ-НГТУ-12КС3-012-14

Изм. Лист

№ докум.

Подпись Дата

Знак плюс говорит о том, что сечение С переместится в направлении единичной силы P 1, т.е. вправо.

Сечение D

Перемещение сечения D равно нулю, т.к. там заделка.

Характерной особенностью эпюры перемещений является отсутствие на ней скачков. Скачок означает либо зазор в этом сечении, либо разрушение.

3) Определяем размеры поперечного сечения из условия прочности в опасном

сечении, где N max qa

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

max

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0,002 10

6

Н

1 м

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

qa

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

qa

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

max

 

 

 

N z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

м

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

b

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3,535 10

 

м 3,6 мм,

 

 

 

A

 

b2

 

 

 

 

 

160 10

6 Н

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

м2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

где Т

 

240

 

160 МПа – допускаемые напряжения для стали Ст.3.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

1,5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

240 МПа– предел текучести стали Ст.3.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Т

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4) Определяем размеры поперечного сечения из условия жесткости

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

qa2

 

a / 200

 

 

 

1м

 

 

0,001м 1мм;

 

A b2 ,

 

 

 

 

 

 

 

B

 

 

B

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4 EA

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1000

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6

 

Н

2

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3 qa2

 

 

 

 

 

3 0,002 10

 

 

 

1

м

 

 

 

 

 

 

 

 

3 0,002

 

 

 

 

 

 

отсюда b

 

 

 

 

 

 

 

 

 

м

 

 

 

 

 

 

 

10

5

м

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4 E

B

 

 

 

4 2,1 10

5

10

6

 

Н

0,001м

 

 

 

 

4 2,1 0,001

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

м2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0,7143 10 5 м 7,143 10 6 м 2,6726 10 3 м 2,7мм

Из двух размеров квадратного сечения выбираем наибольший, как удовлетворяющий условиям прочности и жесткости, т.е. принимаем b=3,6мм.

5) Для проверки правильности вычислений подсчитаем напряжение и перемещение для принятого размера квадратного сечения и сравниваем их с допускаемыми:

 

 

 

 

0,002

МН

1 м

 

 

 

qa

 

 

154 МПа < ;

max

 

 

 

м

 

условие прочности z

 

 

 

 

 

 

 

b2

(3,6)2

10 6

м2

 

 

 

 

Лист

КР-СМ-НГТУ-12КС3-012-14

Изм. Лист

№ докум.

Подпись Дата

условие жесткости

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6

 

Н

 

2

 

2

 

 

 

 

 

 

 

3 qa2

 

3 0,002 10

 

 

 

1 м

 

 

 

 

 

 

м 0,55 мм B

B

 

 

 

м

 

 

 

 

5,511 10

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4 EA

4 2,1 10

5

10

6 Н

(3,6)

2

10

6

м

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

м2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Примечание. Предполагается, что данная расчетная схема моделирует, очевидно, ползунковое или поршневое устройство, где потеря устойчивости бруса в сжатой зоне исключена направляющими стенками устройства.

Рисунок 1. К расчѐту бруса на растяжение и сжатие

Лист

КР-СМ-НГТУ-12КС3-012-14

Изм. Лист

№ докум.

Подпись Дата

1.2 Расчет бруса при кручении 1.2.1 Условие задачи

Для бруса (схема 33) круглого сплошного поперечного сечения, выполненного из алюминиевого сплава Д-16, подсчитать в общем виде углы поворота характерных сечений, построить эпюру углов закручивания относительно сечения С и подобрать диаметр бруса из условий прочности и жесткости ([ ] =0,005 рад/м).

1.2.2 Краткие теоретические сведения.

Углы поворота сечений (углы закручивания) при кручении определяются методом Мора по формуле

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

M z

M z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

M M

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z

z

dz

i

 

i

dzi ,

 

 

 

 

 

 

GJK

 

GJk

 

 

 

 

 

 

 

 

l

 

 

i 1l

i

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i

 

 

где M z – крутящий момент в грузовом (исходном) состоянии бруса;

 

 

 

 

 

M z –крутящий момент в единичном состоянии бруса;

 

 

 

E

 

0,75 105

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

G

 

 

 

 

0,29 105 МПа – модуль упругости алюминиевого

 

)

 

 

 

 

2(1

 

2 (1 0,31)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

сплава Д-16 при сдвиге; µ=0,31 МПа‒ коэффициент Пуассона алюминиевого сплава Д-16;

Е = 0,75·105Мпа ‒ модуль Юнга алюминиевого сплава Д-16; n ‒ число участков.

1.2.3 Решение задачи 1) Строим эпюры и аналитические выражения крутящего момента в грузовом

состоянии по участкам (Рис. 2)

M

z

 

4qa2 ; M

z

4qa2

8qa2

12qa2 ;

 

1

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

M

z

 

4qa2 8qa2 16qa2 4qa2 ;

M

z

0.

 

3

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2) Вычисляем углы закручивания сечений А, В, D, Е относительно сечения С, принятого условно за неподвижное, в общем виде и строим эпюру углов закручивания (Рис. 2):

Так как в пределах каждого участка M z const , а

 

 

1, то

i

M zi

li

 

M z

 

.

 

GJk

 

 

 

 

 

i

 

i

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i

 

СечениеА:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

AC

M z a

 

4qa3

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

‒ угол поворота сеченияА относительно сечения С.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

GJk

 

GJk

 

 

 

 

 

 

 

 

СечениеВ:

Лист

КР-СМ-НГТУ-12КС3-012-14

Изм. Лист

№ докум.

Подпись Дата

BC AC

 

 

M z a

 

 

4qa3

 

 

12qa3

 

16qa3

 

угол

поворота

сечения

В

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

GJk

 

 

 

GJk

 

 

 

 

GJk

 

 

 

GJk

 

 

 

 

 

 

относительно сечения С.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Сечение D:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

DC BC

 

 

 

M z a

 

 

16qa3

 

 

4qa3

 

 

12qa3

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

‒угол

поворота

сечения

D

 

 

GJk

 

 

GJk

 

 

GJk

 

 

GJk

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

относительно сечения С.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Сечение Е:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

EC DC

 

 

 

M z a

 

 

12qa3

 

 

0

12qa3

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

‒ угол поворота сечения Е относительно

 

 

GJk

 

 

GJk

 

 

 

GJk

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

сечения С.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3) Определяем диаметр бруса из условия прочности при кручении

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

max

 

M zmax

 

 

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Wk

 

 

 

где W

d

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

‒ момент сопротивления круглого бруса сплошного сечения при

k

16

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

кручении;

0,5 0,5 тт 0,5 3301,5 110 МПа ‒допускаемые касательные напряжения.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

МН

 

 

 

 

 

 

16M zmax

 

 

16 12 0,002

 

 

 

 

 

12 м2

 

 

 

 

d 3

 

 

3

 

 

 

 

м

 

3

 

м 0,104 м.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0,001112

 

 

3,14

110

 

МН

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

м2

 

 

 

 

4) Находим диаметр бруса из условия жесткости при кручении

 

 

 

 

 

 

 

max

 

 

 

 

M zmax

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z

 

 

 

 

 

 

 

 

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

GJk

 

 

 

 

где z ‒ относительный угол закручивания, т.е. угол закручивания на единицу длины бруса;

M max 3m 12qa2

, J

 

 

d 4

k

‒ момент инерции поперечного круглого

z

1

 

 

32

 

 

 

 

 

сплошного сечения бруса.

Лист

КР-СМ-НГТУ-12КС3-012-14

Изм. Лист

№ докум.

Подпись Дата

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

32 12 0,002

MH

12 м2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

d 4 32M zmax

4

 

м

 

 

4 168,68 10 5 м4

 

 

 

 

 

 

 

 

G

 

3,14 0,29 10

5

МН

0,005

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

м2

 

м

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4 16,868 10 4 м 0,203 м.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Из двух диаметров выбираем наибольший, как удовлетворяющий условиям

прочности и жесткости, т.е. принимаем d=0,203 м.

 

 

 

 

 

 

 

5)

Для проверки

правильности

вычислений

подсчитаем

напряжение

и

относительный угол закручивания для принятого диаметра

и сравниваем их с

допускаемыми:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

условие прочности

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

12 0,002

MH

12 м2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

max

 

M zmax

 

м

14,6 МПа 100 МПа;

 

 

 

 

 

 

 

W

 

 

3,14 (0,203)3

м3

 

 

 

 

 

 

 

k

 

 

 

16

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

условие жесткости

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

12

0,002

МН

12 м2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

max

 

M zmax

 

 

м

 

 

496,6 10

5

рад

 

 

 

z

 

GJ

 

 

 

МН

 

3,14 (0,203)

4

 

м

 

 

 

 

 

 

k

 

0,29

105

 

м4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

м2

 

32

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0,00497 рад

0,005

рад.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

м

 

 

 

 

м

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Лист

Изм. Лист

№ докум.

Подпись Дата

 

КР-СМ-НГТУ-12КС3-012-14

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рисунок 2. К расчету статически определимого бруса на кручение

1.3 Определение перемещений и расчеты на прочность и жесткость статически определимой балки при изгибе.

1.3.1 Условие задачи Для двухопорной балки (схема 35), выполненной из стали Ст.3, имеющей

постоянное по длине прямоугольное сечение (h/b=2), в общем виде определить методом Мора прогиб в сечении С, способом Верещагина прогибы в сечениях C и

D и угол поворота на правой опоре. Из условий прочности и жесткости ( D 200a )

определить размеры поперечного сечения балки. Используя вид эпюры и вычисленные значения прогибов и угла поворота при найденных размерах поперечного сечения, показать для балки характер изогнутой оси с указанием перемещений сечений C и D и угла поворота на правой опоре.

1.3.2 Краткие теоретические сведения При изгибе балки возникают два типа перемещений - линейное перемещение

(прогиб) и угловое перемещение (угол поворота сечения). Для определения перемещений балки при изгибе применяем метод Мора

k

 

 

 

 

Mx Mx

 

i i

dzi -выражение для определения перемещения методом Мора

 

i 1 l

EJ x

(интеграл Мора);

 

 

 

 

Лист

 

 

 

 

КР-СМ-НГТУ-12КС3-012-14

Изм. Лист

№ докум. Подпись Дата

n

ωΜΧ M xс

 

 

- выражение для вычисления интеграла Мора способом

 

i 1

ΕJ

x

 

 

Верещагина, где - перемещение балки при изгибе;

k- количество силовых участков;

M xi -выражение изгибающих моментов по участкам балки в грузовом

M xi - выражение изгибающих моментов по участкам балки в единичном

состоянии;

Е J x - жесткость балки при изгибе;

n – количество элементов площади грузовой эпюры Мх; ωΜΧ - площадь элемента площади грузовой эпюры Мх;

M x C - ордината единичной эпюры M x , взятая под центром тяжести элемента

площади грузовой эпюры Мх. 1.3.3 Решение задачи

1)Зададим единичные состояния: I ед. с. в сечении С (Р=1), II ед. с. в сечении D (Р=1), III ед. с. на правой опоре B (M=1), (рис.3 ).

2)Определяем реактивные усилия на опорах из уравнений статического равновесия в грузовом состоянии и единичных состояниях (рис.3 ).

Грузовое состояние:

momA

0;

2qa 6qa 1,5a RB 2a qa 2

0;

RB

 

2qa 2 9qa 2 qa 2

6qa;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

momB

0;

RA 2a 2qa a 6qa 0,5a qa 2

0;

RA

2qa 2

3qa 2 qa 2

2qa;

 

 

2a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Y (Pi ) 0; 2qa 2qa 6qa 6qa 0; 0 0.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

II - е единичное состояние

 

 

 

 

 

 

 

 

III - е единичное состояние

 

momA 0;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

momA

0;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 3a R

 

2a 0; R

 

 

3qa

 

 

3

;

 

 

 

1 RB 2a 0; RB

1

 

;

 

B

B

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2a

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

momB

 

 

 

 

 

 

 

momB 0;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

R

 

2a 1 a 0; R

 

 

1 a

 

1

;

 

 

 

RA 2a 1 0; RA

1

;

 

A

A

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2a

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Y (Pi ) 0;

1

 

3

1 0; 0 0.

 

 

 

Y (Pi ) 0;

1

 

1

0; 0 0.

 

 

 

 

 

2a

 

2

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2a

 

Лист

КР-СМ-НГТУ-12КС3-012-14

Изм. Лист

№ докум.

Подпись Дата

3)Запишем выражения для изгибающих моментов в грузовом и единичных состояниях (таблица 1);

4)Построим эпюры перерезывающих сил и изгибающих моментов в грузовом состоянии и эпюры изгибающих моментов в единичных состояниях (рис.).

5)Определим прогиб в сечении C методом Мора.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

yCM

M x M x

dz 0a

Mx1Mx1

dz1

0a

Mx2 Mx2

dz2 0a

Mx3 Mx3

dz3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

l

EJ x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

EJ x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

EJ x

 

 

 

 

 

 

 

 

EJ x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a qa2 6qaz

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

a

2qaz

 

1

z dz 0

 

 

3qz2

1

z dz

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

2

1 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

3

 

 

 

2

 

3 3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

EJ x

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

a z 2dz

qa

2

 

a z dz 3qa

 

a z2dz

 

3q

a z3dz

 

 

 

 

 

 

 

 

qa

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

EJ x

 

0 1

 

 

 

1

 

 

 

2

 

0

 

3 3

 

 

 

 

0

3 3

 

 

2

 

0 3

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

z3

 

 

qa2 z2

 

 

 

 

 

z3

3q z4

 

qa4 1

 

 

1

 

 

 

3

 

 

 

17 qa4

 

 

 

 

qa

 

 

1

 

 

 

 

 

 

3

 

 

3qa

3

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

EJ x

 

3

 

 

 

 

 

2 2

 

 

 

 

 

 

3

 

2 4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

24 EJ x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

EJ x 3

 

 

 

 

 

8

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6) Определим прогибы в сечениях C и D, а также угол поворота на опоре B

способом Верещагина. Для этого разобьем

 

 

 

грузовую эпюру изгибающих

моментов на элементы ωΜΧ , а на единичных эпюрах определим ординаты M x , Mx ,

Mx (см. рис. 3 и таблица 2.).

Т а б л и ц а 1

Выражения для изгибающих моментов в грузовом и единичных состояниях

 

Грузовое состояние

 

I-е единич.

 

II-е единичное

 

III-е единичное

 

 

состояние

 

состояние

 

состояние

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

I участок: 0 z1

a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Q y1 2qa const

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

a

 

1

 

 

 

 

a

 

Mx1

1

 

 

 

a

л.з

 

Mx1 2qaz1 / 0a л.з.

 

Mx1

2

z1

 

/ 0 л.з.

 

Mx1

2

z1

 

/

0 л.з

 

2a

z1

/ 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Mx1 0 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Mx1 0 0

 

 

 

Mx 0 0

 

 

 

0 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Mx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Mx a 2qa 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Mx1 a

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

 

Mx1 a

 

 

 

a

1

 

 

 

1

 

 

 

 

 

a

 

Mx

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

1

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

II участок: 0 z2 a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Лист

КР-СМ-НГТУ-12КС3-012-14

Изм. Лист

№ докум.

Подпись Дата

Тут вы можете оставить комментарий к выбранному абзацу или сообщить об ошибке.

Оставленные комментарии видны всем.