Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

РАЗДЕЛ 4

.pdf
Скачиваний:
3
Добавлен:
19.06.2017
Размер:
377.52 Кб
Скачать

4 Расчет на прочность и жесткость элементов конструкций

при динамическомнагружении

Задание 12

Выполнил: студент гр. 12-КС-3 Иванов И.И.

Принял: к.т.н., доцент Сидоров А.А.

Номер схемы

52

53

Средний балл

 

 

 

 

Оценка

 

 

 

 

 

 

 

Подпись

 

 

 

Нижний Новгород 2015

Лист

КР-СМ-НГТУ-12КС3-012-14

Изм. Лист

№ докум.

Подпись Дата

4.1.Краткие теоретические сведения

Понятие о статическом и динамическом нагружениях.

Работа А внешних сил, действующих на упругую конструкцию (балка, рама, корпус корабля и т.д.), преобразуется в потенциальную энергию деформации U конструкции и ее кинетическую энергию К и, согласно закона сохранения энергии,

A=U+K.

В тех случаях, когда внешние силы изменяются весьма медленно, кинетическая энергия в этом балансе пренебрежимо мала и такой вид нагружения называется статическим.

Динамическое нагружение‒ силовое воздействие, при котором кинетическая энергия оказывается соизмеримой с потенциальной энергией деформации и работой внешних сил. При этом силы инерции также соизмеримы с внешними и внутренними усилиями.

Таким образом, если внешние силы изменяются достаточно медленно ‒

нагружение статическое. Критерий медленности: если промежуток времени,

в течение которого сила заметно меняет свое значение, существенно больше периода собственных колебаний конструкции, то нагружение статические, в

противном случае ‒ нагружение динамическое.

Динамическоенагружение подразделяется на два основных типа: движение конструкции с постоянным ускорением (например, усилия и напряжения, возникающие в тросе при движении лифта с ускорением) и ударное нагружение.

Наиболее распространенным примером движения конструкции с постоянным ускорением является вращение ее с постоянной угловой скоростью относительно некоторой оси вращения (например, лопасти пропеллера, кривошипно-шатунный механизм двигателя внутреннего сгорания, лопатки турбины). В этом случае на выделенный объем

конструкции будет действовать центробежная сила m 2 R , где m‒масса выделенного объема, R ‒ радиус вращения, т.е. расстояние от оси вращения до центра тяжести выделенного объема. В результате для воображаемого наблюдателя, вращающегося вместе с конструкцией относительно общей оси вращения, ему представляется естественным, что конструкция загружена постоянной во времени инерционной нагрузкой и это позволяет ему производить расчеты на прочность и жесткость как и при статическом нагружении.

Лист

КР-СМ-НГТУ-12КС3-012-14

Изм. Лист

№ докум.

Подпись Дата

Ударное нагружение.

Взаимодействие тел, при котором за очень малый промежуток времени скачкообразно возникает конечное изменение скорости этих тел, называется

ударом.

Горизонтальный удар.В этом случае энергетический баланс состоит из кинетической энергии массы в момент соприкосновения и потенциальной энергии деформации конструкции в момент наибольшего ее отклонения от первоначального состояния. В результате расчет на прочность и жесткость при ударной нагрузке массой m по упругой конструкции сводится к статическому расчету силой

Pmax v0 m c ,

приложенной в точке и в направлении удара, где

v0 ‒ скорость массы (груза) в момент соприкосновения с упругой

конструкцией; с ‒ жесткость конструкции, т.е. коэффициент пропорциональностимежду

силой, приложенной в точке и в направлении удара, и перемещением этой точки.

Вертикальный удар. В этом случае энергетический баланс состоит из кинетической энергии массы в момент соприкосновения, потенциальной энергии деформации конструкции и потенциальной энергии положения груза (работа гравитационных сил) и решение сводится к нахождению корней квадратичного уравнения. В результате расчет на прочность и жесткость при вертикальном ударе сводится к нахождению коэффициента динамичности

K g 1 1 2h ,

ст.

показывающего, во сколько раз перемещения, внутренние усилия и напряжения при ударе больше соответствующих величин, возникающих при статическом приложении нагрузки. Здесь h‒ высота падения груза;

ст. ‒ перемещение (прогиб) точки удара при статическом приложении силы,

равной весу груза.

Таким образом, расчет на прочность и жесткость при ударном нагружении падающим грузом сводится к статическому расчету под действием силы, равной весу груза, с последующим умножением напряжений и перемещений на коэффициент динамичности.

4.2. Расчет на прочность вращающихся элементов конструкций 4.2.1. Условие задачи

Для вращающейся с постоянной угловой скоростью конструкции (схема 52), выполненной из прутка диаметром d = 5 см, построить эпюры внутренних усилий. Определить из условия прочности допустимую для конструкции круговую скорость вращения ω(влиянием поперечных и продольных сил пренебречь). Материал –

алюминиевый сплав Д-16, плотность которого 2,7 кг и предел текучести

м3

т 330 МПа .

Лист

КР-СМ-НГТУ-12КС3-012-14

Изм. Лист

№ докум.

Подпись Дата

Коэффициент запаса по пределу текучести nт принять равным 1,5. Схема вращающейся рамы изображена нарис. 4.1.

Рис.4.1. Центробежные силы, действующие на вращающуюся раму

4.2.2. Решение задачи

1)Определяем инерционные нагрузки, действующие на вращающуюся раму.

На каждую единицу длины бруса массой A 1 в общем случае будет действовать центробежная сила

q(z) A 2 z ,

где ρ ‒ плотность материала; А ‒ площадь поперечного сечения;

ω ‒ круговая частота вращения, т.е. число оборотов в 2π секунд;

z ‒ расстояние от оси вращения выделенного элемента до центра тяжести выделенного объема.

Участок АВ

q A 2 0,2a

равномерно распределенная инерционная нагрузка,

т.к. радиус вращения каждого элемента бруса постоянен.

Участки BCи KL

 

q(z) A 2 z

распределенная инерционная нагрузка, действующая

вдоль оси брусаи изменяющаяся по линейному закону. Для упрощения расчета еѐ действие сводится к равнодействующей, приложенной на концах бруса, наиболее удаленных от оси вращения

 

0,2a

0,2a

2

2

 

z

2

 

0,2a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

PИнерци PИ

q( z)dz

A

z dz A

 

 

 

 

 

2

 

0

 

0

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0,02 A 2 a2

0,1 q a.

 

 

 

 

 

 

 

В результате окончательная расчетная схема вращающейся рамы принимает вид, изображенный на рис. 4.2.

Лист

КР-СМ-НГТУ-12КС3-012-14

Изм. Лист

№ докум.

Подпись Дата

Рис. 4.2. Расчетная схема вращающейся рамы

1)Находим реакции опор из условия равновесия.

momD 0 q 0,2a 0,1a 0,1 qa 0,2a RE 0,4a 0,1 qa 0,6a 0

RE 0,02 qa2 0,1 qa 0,2a 0,1 qa 0,6a 0,05qa ; 0,4a

momE 0 q 0,2a 0,3a 0,1qa 0,2a RD 0,4a 0,1qa 0,2a 0

0,06 qa2 0,02 qa2 0,02 qa2

RD 0,25 qa ; 0,4a

Проверка: Y 0 0,25 qa q 0,2a 0,1qa 0,05 qa 0,1qa 0 .

2)Для определения опасного сечения строим эпюру изгибающих моментов, как одного из наиболее опасных внутренних усилий, возникающих во вращающейся раме.

 

 

 

 

 

 

 

z2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0,02 qa2.

0 z

 

0,2a

M

x

 

q

1

; при z 0 M

x

 

0;

 

при z 0,2a M

x

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0 z

 

0,2a

M

 

 

q

(0,2a)2

0,02qa2

 

const.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

x

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0 z3

0,2a

M x

 

0.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0 z

4

0,2a

M

x

4

0,1qa z

4

; при z

4

0 M

x

4

0; при z

4

0,2a M

x

4

0,02 qa2.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0 z

5

0,2a

M

x

5

0,1 qa (0,2a z

5

) 0,05 z

5

; при z

5

0

 

M

x

5

0,02 qa2 ;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

при z

5

0,02a M

x

0,03 qa2 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5

 

 

 

 

 

0 z

6

0,2a

M

x

6

0,25qa z

6

; при z

6

 

0 M

x

6

0; при z

6

0,2a M

x

6

0,05 qa2.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Лист

КР-СМ-НГТУ-12КС3-012-14

Изм. Лист

№ докум.

Подпись Дата

Рис. 4.3. Эпюра изгибающих моментов во вращающейся раме

Из анализа эпюры изгибающих моментов следует, что опасным будет крайнее правое сечение шестого участка, где

M xmax 0,05 qa2 0,05 0,2 A 2 a3 0,01 A 2 a3.

1)Из условия прочности при изгибе определяем допустимую для рамы угловую скорость вращения рамы

maxz

 

M xmax

 

[ ]

т

 

330

 

 

220 МПа

или

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Wx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

nт

1,5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

[ ] Wx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0,01 A a

 

 

 

[ ] Wx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0,01 A a3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

где

 

W d 3

 

(5см)3

12,27 см3

12,27 10 6 м3 ‒ момент

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

32

 

 

 

 

 

 

 

 

32

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

сопротивления круглого сплошного поперечного сечения бруса при

изгибе;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A

d 2

 

(5см)

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

19,63 10 4 м2

‒ площадь поперечного

 

4

 

 

 

4

 

 

 

 

19,63 см2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

сечения бруса.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

220 10

6

 

 

Н

 

12,27 10

6

м

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

кг м

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

м

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Н

сек

2

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

225,7

 

 

 

 

 

225,7

 

 

 

 

225,7

 

.

 

 

 

 

 

 

3

 

кг

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

2

3

 

 

3

 

 

кг м

 

 

кг м

 

 

сек

 

 

0,01 2,7 10

 

 

 

 

 

 

 

 

19,63 10

 

 

м

 

1 м

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

м3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Зная, что круговая частота вращения есть число оборотов в 2π секунд и что в минуте 60 секунд, определим допустимое число оборотов рамы в минуту

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

об

 

225,7

 

 

60 сек (

об

 

об

 

n

60 сек (

 

)

сек

) 2155

.

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

мин

 

2

мин

 

мин

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Лист

Изм. Лист № докум.

Подпись Дата

 

КР-СМ-НГТУ-12КС3-012-14

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Вывод: При вращении рамы со скоростью более чем 2155 оборотов в минуту в раме под действием центробежных сил возникнут нормальные напряжения, превышающие допускаемые [σ]=220 МПа, при

достижении же n 2155 миноб 1,5 2639 миноб и более в раме возникнут

необратимые пластические деформации, т.е. после прекращения вращения геометрия рамы не вернется к первоначальной форме.

4.3. Расчет рамы на прочность при ударном нагружении 4.3.1. Условие задачи

Подобрать двутавровое сечение стальной (Ст3) рамы (схема 53) из условия статической прочности (nт = 2,5); определить, во сколько раз возрастут напряжения, если груз весом P = qa , будет падать с высоты h = 5 см (при расчете массу упругих участков рамы не учитывать).

Рис.4.4. Схема ударного взаимодействия рамы и груза

4.3.2. Решение задачи 1)Определяем номер двутавра из условия статической прочности. Для

этого строим эпюру изгибающих моментов при статическом приложении силы, равной весу груза P qa, в сечении рамы, где происходит удар.

Рис. 4.5. Статическое приложение груза и соответствующая эпюра Мх

Лист

КР-СМ-НГТУ-12КС3-012-14

Изм. Лист

№ докум.

Подпись Дата

По эпюре

Мх

определяем местонахождение

 

опасного

сечения, где

M max qa2

, и из условия прочности при изгибе находим номер двутаврового

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

сечения стальной рамы

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

max

 

M xmax

 

 

 

 

220 МПа

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z

 

 

 

 

 

 

 

 

[ ]

 

 

 

 

88 МПа .

 

 

 

 

 

 

 

 

Wx

2,5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

MH

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

M xmax

qa2

0,002

 

 

 

 

12 м2

 

 

5

 

 

 

 

 

 

 

 

м

 

 

 

3

 

3

Отсюда Wx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2,273 10

 

 

 

м

 

22,73 см .

[ ]

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

[ ]

 

88

 

МН

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

м2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

По справочнику (ГОСТ 8239-89, Двутавры стальные горячекатаные) выбираем двутавр № 10, для которого Wx 39,7 см3, J x 198 см4 и вес одного погонного

метра двутавра равен 9,46 кг.

Для проверки правильности вычислений определим напряжения, которые возникнут в раме, участки которой будут выполнены из двутавра №10, при статическом приложении груза

 

 

 

 

 

 

 

MH

 

 

 

M xmax

 

qa2

 

0,002

 

12 м2

 

стат.

 

 

 

м

 

z

 

 

 

 

 

 

 

 

50,3 МПа [ ] 88 МПа ‒ условие

Wx

[ ]

39,7 10 6 м3

 

 

 

 

 

прочности удовлетворяется.

 

 

2)Для нахождения коэффициента динамичности определим линейное

перемещение стат.

сечения, в котором происходит удар, от статической силы,

равной весу

груза.

Согласно методу Мора, в сечении, с рамы снимаем

внешнюю нагрузку, в рассматриваемом сечении прикладываем единичную силу и строим эпюру M x в единичном состоянии.

Рис. 4.6. Нагружение рамы единичной силой и эпюра M x

Находим стат. , вычисляя интеграл Мора по правилу Верещагина

Лист

КР-СМ-НГТУ-12КС3-012-14

Изм. Лист

№ докум.

Подпись Дата

 

 

 

 

 

M

x

M x

 

1 qa2 a 2

 

2

 

 

 

qa2

a 2

 

 

5 qa4

 

 

 

 

 

 

стат.

 

 

 

 

ds

 

 

 

 

a qa

a a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

EJ x

 

2

3

 

2

 

3

a

3 EJ x

 

 

 

 

 

 

S

 

 

EJ x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3.Вычисляем коэффициент динамичности

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5

10

2

м 2,1 10

5 МН

198 10

8

м

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

K

дин.

1 1

2h

1 1 6 h EJ x 1 1 6

 

 

 

 

 

 

 

м2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

стат.

 

 

 

 

 

5

qa4

 

 

 

5

 

 

 

 

 

МН

4

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0,002

м

1

м

 

 

 

 

 

 

 

1

1 6 5 2,1 198 10 5

1

1 12,474

1 3,67 4,67 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5 0,002

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4.Вычисляем нормальные напряжения, которые возникнут в опасном

 

 

сечении рамы при падении данного груза с высоты в 5 см

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

дин. K

дин.

дин. 4,67 88 МПа 410,96 МПа [ ] 88 МПа ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z

 

 

z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

что значительно превышает не только допускаемые, но и предел текучести

 

 

стали Ст.3, равный 220 МПа.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Вывод: При падении груза весом 0,002 МН (200 кг) на раму,

 

 

выполненную из двутавра №10, с высоты в 5 см в раме возникнут

 

 

пластические (необратимые) деформации, хотя при статическом (плавном)

 

 

приложении груза рама деформируется упруго и при снятии груза

 

 

восстанавливает свою первоначальную форму.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Лист

Изм. Лист

№ докум.

 

Подпись Дата

КР-СМ-НГТУ-12КС3-012-14

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Тут вы можете оставить комментарий к выбранному абзацу или сообщить об ошибке.

Оставленные комментарии видны всем.

Соседние файлы в предмете Сопротивление материалов