Разное / Всякое / Физика темы 1-52 расширенный курс / 23.Электромагнитные колебания в идеальном колебательном контуре. Превращения
.docx23.Электромагнитные колебания в идеальном колебательном контуре. Превращения энергии в идеальном колебательном контуре. Связь периода электромагнитных колебаний с параметрами контура. Уравнения колебаний заряда, напряжения и тока в контуре. Фазовые соотношения.
Электромагнитные колебания в идеальном колебательном контуре.
Одним из наиболее важных колебательных процессов являются электромагнитные колебания (ЭМК). Простейшим примером электромагнитных колебаний являются ЭМК в колебательном контуре, состоящем из конденсатора С, катушки индуктивности L и резистора (сопротивления) R. Если сопротивление контура пренебрежимо мало ( R = 0, например, при сверхпроводимости), то такой колебательный контур называется идеальным; в нем нет потери энергии.
Пусть в начальный момент мы зарядили конденсатор такого идеального контура до некоторого напряжения Ug, а затем в момент времени t = 0 замкнули его на катушку. Конденсатор будет разряжаться через катушку, и по цепи контура пойдёт ток. В первый момент сила тока будет максимальной; по мере разрядки конденсатора (уменьшения напряжения на нём) сила тока будет убывать. При этом в катушке будет возникать ЭДС самоиндукции, которая по правилу Ленца направлена так, чтобы препятствовать причине, её вызывающей. В данном случае причиной возникновения ЭДС является уменьшение силы тока. Значит, ЭДС самоиндукции будет поддерживать ток в контуре. В результате, конденсатор опять зарядится до напряжения Uo, но знаки зарядов на обкладках конденсатора будут противоположны начальным. ЭДС самоиндукции при этом упадёт до нуля. Далее весь процесс пойдёт в обратном направлении; в контуре возникнут электромагнитные колебания. В ходе этих колебаний в контуре происходит непрерывное превращение энергии. Когда заряд конденсатора максимален, вся энергия контура сосредоточена в виде энергии электрического поля. По мере уменьшения заряда, энергия переходит в энергию магнитного поля, сосредоточенного в катушке, и в момент, когда Q = 0, энергия магнитного ноля достигает максимального значения. Затем конденсатор начинает заряжаться, и энергия магнитного поля переходит в энергию электрического поля и т.д. Так как в идеальном контуре нет потерь энергии, то полная энергия сохраняется.
Для математического описания этик процессов можно вывести дифференциальное уравнение. Для этого напишем формулу энергии в колебательном контуре, Последняя складывается из энергии
электрического поля в конденсаторе, равной W =CU^2/2 и энергии
магнитного поля в катушке W = LI^2/2
Есть искомое дифференциальное уравнение, отображающее изменение заряда конденсатора колебательного контура с течением времени. К сожалению, мы с вами не решали уравнений второго порядка, но в данном случае нетрудно догадаться, что решение будет выражаться через функцию синуса (или косинуса). Это легко проверить. Предположим, что заряд на конденсаторе выражается формулой Q = Q*sin wt (Qm - максимальная величина заряда). Тогда, вспоминая, что (sin wt)' = w*cos wt; (cos wt)' = - w*sin wt,
получаем: d^2 Q/dt^2 = -Qw^2 sin wt
Подставляя в исходное дифференциальное уравнение ( 3 ), убеждаемся, что наше предположение правильно: - Q w^2 sin wt + w^2 Q sin wt = О
Таким образом, математический вывод показывает, что в идеальном колебательном контуре возникают гармонические электромагнитные колебания, при которых заряд на конденсаторе колеблется по формуле: