- •8. Элементы теории вероятностей
- •8.1. Случайные события
- •8.1.1. Некоторые виды случайных событий
- •8.1.2. Классическое определение вероятности случайного события
- •8.1.3. Основные свойства вероятности случайного события
- •8.1.5. Теоремы сложения и умножения вероятностей случайных событий
- •8.2. Случайные величины
- •8.2.1. Понятие дискретных и непрерывных случайных величин
- •8.2.3. Основные числовые характеристики дискретной случайной величины
- •8.2.5. Основные числовые характеристики непрерывной случайной величины
- •8.2.6. Нормальный закон распределения (закон Гаусса)
- •§ 10.3. Механические свойства твердых тел
- •§ 9.7. Поверхностное натяжение
- •§ 9.8. Смачивание и несмачивание. Капиллярные явления
- •§ 9.5. Ламин арное и турбулентное течения. Число рейнольдса
- •§ 9.2. Течение вязкой жидкости по трубам. Формула пуазейля
- •§ 9.4. Методы определения вязкости жидкости. Клинический метод определения вязкости крови
- •§ 9.1. Вязкость жидкости. Уравнение ньютона. Ньютоновские и неньютоновские жидкости
- •§ 26.8. Разрешающая способность
- •§ 32.2. Основной закон радиоактивного распада. Активность
- •§ 32.3. Взаимодействие ионизирующего излучения с веществом
§ 9.2. Течение вязкой жидкости по трубам. Формула пуазейля
Течение вязкой жидкости по трубам представляет для медицины особый интерес, так как кровеносная система состоит в основном из цилиндрических сосудов разного диаметра.
Вследствие симметрии ясно, что в трубе частицы текущей жидкости, равноудаленные от оси, имеют одинаковую скорость. Наибольшей скоростью обладают частицы, движущиеся вдоль оси трубы; самый близкий к трубе слой жидкости неподвижен. Примерное распределение скорости частиц жидкости в сечении трубы показано на рис. 9.2.
Для определения зависимости υ— f(r) выделим мысленно цилиндрический объем жидкости некоторого радиуса r и длины L (рис. 9.3, а). На торцах этого цилиндра поддерживаются давления p1 и p2 соответственно, что обусловливает результирующую силу F= p1πr2 – p2 πr2 = (p1-p2)* πr2 (9.2)
На боковую поверхность цилиндра со стороны окружающего слоя жидкости действует сила внутреннего трения, равная Fтр= η* dυ/dx * S= η* dυ/dr * 2πr2L (9.3)
где S = 2πr2L — площадь боковой поверхности цилиндра. Так как жидкость движется равномерно, то силы, действующие на выделенный цилиндр, уравновешены: F=Fтр. Подставляя в это равенство (9.2) и (9.3), получаем (p1-p2)* 2πr2 = -η* dυ/dr * 2πr2L (9.4)
Знак “-“ в правой части уравления обусловлен тем, что dυ/dr < 0 (скорость уменьшается с увеличением r). Из (9.4) имеем dυ= -p1-p2/2Lη * rdr
Проинтегрируем это уравнение: ∫υ0 dυ= - p1-p2/2Lη ∫rR rdr (9.5)
здесь нижние пределы соответствуют слою, <прилипшему> к внутренней поверхности трубы (υ = 0 при r — R), а верхние пределы — переменные. Решая (9.5), получаем параболическую зависимость скорости слоев жидкости от расстояния их до оси трубы (см. огибающую концов векторов скорости на рис. 9.2): υ= p1-p2/4Lη * (R2 – r2) (9.6)
Наибольшую скорость имеет слой, текущий вдоль оси трубы (r = 0): υmax = (p1-p2)*R2/(4Lη)
Установим, от каких факторов зависит объем у жидкости, протекающей через горизонтальную трубу за 1 с. Для этого выделим цилиндрический слой радиусом г и толщиной dr. Площадь сечения этого слоя (рис. 9.3, 6) dS=2πrdr. Так как слой тонкий, то можно считать, что он перемещается с одинаковой скоростью υ. За 1 с слой переносит объем жидкости dQ =υdS= υ*2πrdr (9.7)
Подставляя (9.6) в (9.7), получаем dQ = π* p1-p2/2Lη * (R2 – r2)* rdr
откуда интегрированием по всему сечению находим Q= π* p1-p2/2Lη ∫R0 (R2 – r2)rdr= πR4/8η * p1-p2/L (9.8)
Эта зависимость известна под названием формулы Пуазейля.
Как видно из (9.8), при заданных внешних условиях (р^ и р2) через трубу протекает тем больше жидкости, чем меньше ее вязкость и больше радиус трубы. Сильная зависимость ф от радиуса обусловливается изменением не только объема, но и относительной доли слоев, расположенных вблизи поверхности трубы.
Проведем аналогию между формулой Пуазейля (9.8) и законом Ома для участка цепи без источника тока. Разность потенциалов соответствует разности давлений на концах трубы, сила тока – объему жидкости, протекающей через сечение трубы в 1 с, электрическое сопротивление — гидравлическому сопротивлению: X=8ηL/( πR4) (9.9)
Гидравлическое сопротивление тем больше, чем больше вязкость η, длина L трубы и меньше площадь поперечного сечения. Аналогия между электрическим и гидравлическим сопротивлениями позволяет в некоторых случаях использовать правило нахождения электрического сопротивления последовательного и параллельного соединений проводника для определения гидравлического сопротивления системы последовательно или параллельно соединенных труб. Так, например, общее гидравлическое сопротивление трех труб, соединенных последовательно (рис. 9.4, а) и параллельно (рис. 9.4, б), вычисляется по формулам X=X1+X2+X3 (9.10)
X= [1/X1 + 1/X2 + 1/X3]-1 (9.11)
Чтобы придать уравнению Пуазейля более общее выражение, справедливое и для труб переменного сечения, заменим градиентом давления dр/d1 и тогда Q= πR4/8η * dp/dL (9.12)
Установим в разных местах горизонтальной цилиндрической трубы разного сечения, по которой течет вязкая жидкость, манометрические трубки (рис. 9.5, а). Они показывают, что статическое давление вдоль трубы переменного сечения убывает пропорционально L; dр/d1 = const. Так как Q одинаково, то градиент давления больше в трубах меньшего радиуса. График зависимости давления от расстояния вдоль труб приближенно показан на рис. 9.5, б.