- •8. Элементы теории вероятностей
- •8.1. Случайные события
- •8.1.1. Некоторые виды случайных событий
- •8.1.2. Классическое определение вероятности случайного события
- •8.1.3. Основные свойства вероятности случайного события
- •8.1.5. Теоремы сложения и умножения вероятностей случайных событий
- •8.2. Случайные величины
- •8.2.1. Понятие дискретных и непрерывных случайных величин
- •8.2.3. Основные числовые характеристики дискретной случайной величины
- •8.2.5. Основные числовые характеристики непрерывной случайной величины
- •8.2.6. Нормальный закон распределения (закон Гаусса)
- •§ 10.3. Механические свойства твердых тел
- •§ 9.7. Поверхностное натяжение
- •§ 9.8. Смачивание и несмачивание. Капиллярные явления
- •§ 9.5. Ламин арное и турбулентное течения. Число рейнольдса
- •§ 9.2. Течение вязкой жидкости по трубам. Формула пуазейля
- •§ 9.4. Методы определения вязкости жидкости. Клинический метод определения вязкости крови
- •§ 9.1. Вязкость жидкости. Уравнение ньютона. Ньютоновские и неньютоновские жидкости
- •§ 26.8. Разрешающая способность
- •§ 32.2. Основной закон радиоактивного распада. Активность
- •§ 32.3. Взаимодействие ионизирующего излучения с веществом
§ 32.2. Основной закон радиоактивного распада. Активность
Радиоактивный распад — это статистическое явление. Невозможно предсказать, когда распадется данное нестабильное ядро, можно лишь сделать некоторые вероятностные суждения об этом событии. Для большой совокупности радиоактивных ядер можно получить статистический закон, выражающий зависимость нераспавшихся ядер от времени.
Пусть за достаточно малый интервал времени dt распадается на dN ядер. Это число пропорционально интервалу времени dt, а также общему числу N радиоактивных ядер: dN= -λN*dt (32.8)
где λ — постоянная распада, пропорциональная вероятности распада радиоактивного ядра и различная для разных радиоактивных веществ. Знак <—> поставлен в связи с тем, что dN < 0, так как число нераспавшихся радиоактивных ядер убывает со временем.
Разделим переменные и проинтегрируем (32.8) с учетом того, что нижние пределы интегрирования соответствуют начальным условиям (t = 0, N = N0, N0 — начальное число радиоактивных ядер), а верхние — текущим значениям t и N: ∫NN dN/N= -λ ∫t0 dt, lnN/N0= -λt. Потенцируя это выражение, имеем N=N0*e-λt (32.9)
Это и есть основной закон радиоактивного распада: число радиоактивных ядер, которые еще не распались, убывает со временем по экспоненциальному закону.
На рис. 32.2 изображены кривые 1 и 2, соответствующие разным веществам (λ1> λ2); начальное число N0 радиоактивных ядер одинаково.
На практике вместо постоянной распада чаще используют другую характеристику радиоактивного изотопа — период полураспада Т. Это время, в течение которого распадается половина радиоактивных ядер. Естественно, что это определение справедливо для достаточно большого числа ядер. Т=ln2/λ ≈0,69/λ. (32.10)
Работая с радиоактивными источниками, важно знать число частиц или λ-фотонов вылетающих из препарата в секунду. Это число пропорционально скорости распада, поэтому скорость распада, называемая активностью, является существенной характеристикой радиоактивного препарата: A= -dN/dt (32.11)
Используя (32.8) — (32.10), можно найти следующие зависимости для активности: A= -dN/dt= λ N=λ N0*e-λ t (32.12)
A= N/T * ln2 (32.13)
Таким образом, активность препарата тем больше, чем больше радиоактивных ядер и чем меньше их период полураспада. Активность препарата со временем убывает по экспоненциальному закону.
Единица активности — беккерелъ (Бк), что соответствует активности нуклида в радиоактивном источнике, в котором за 1 с происходит один акт распада.
Наиболее употребительной единицей активности является кюри (Ки); 1 Ки = 3,7-1010 Бк = 3,7-1010 с'1. Кроме того, существует еще одна внесистемная единица активности — резерфорд (Рд); 1 Рд = = 106 Бк = 106 с-1.
§ 32.3. Взаимодействие ионизирующего излучения с веществом
Заряженные частицы и λ-фотоны, распространяясь в веществе, взаимодействуют с электронами и ядрами, в результате чего изменяется состояние как вещества, так и частиц.
Основным механизмом потерь энергии заряженной частицы (α и β) при прохождении через вещество является ионизационное торможение. При этом ее кинетическая энергия расходуется на возбуждение и ионизацию атомов среды.
Взаимодействие частицы с веществом количественно оценивается линейной плотностью ионизации, линейной тормозной способностью вещества и средним линейным пробегом частицы.
Под линейной плотностью ионизации i понимают отношение числа dn ионов одного знака, образованных заряженной ионизирующей частицей на элементарном пути dl, к этому пути: i= dn/dl.
Линейной тормозной способностью вещества S называют отношение энергии dЕ, теряемой заряженной ионизирующей частицей при прохождении элементарного пути dl в веществе, к длине этого пути: S= dЕ/d1.
Средним линейным пробегом заряженной ионизирующей частицы Д является среднее значение расстояния между началом и концом пробега заряженной ионизирующей частицы в данном веществе.
Кроме ионизации и возбуждения β-частицы могут вызывать и другие процессы. Так, например, при торможении электронов возникает тормозное рентгеновское излучение. Бета-частицы рассеиваются на электронах вещества, и их пути сильно искривляются в нем. Если электрон движется в среде со скоростью, превышающей скорость распространения света в этой среде, то возникает характерное черепковское излучение (излучение Черепкова—Вавилова).
При попадании β-частицы в вещество с большой вероятностью происходит такое взаимодействие ее с электроном, в результате которого вместо пары электрон — позитрон образуются два λ-фотона. Этот процесс, схема которого показана на рис. 32.4, называют аннигиляцией. Энергия каждого λ -фотона, возникающего при аннигиляции, должна быть не меньше энергии покоя электрона или позитрона, т.е. не менее 0,51 МэВ.
Несмотря на разнообразие процессов, приводящих к ослаблению β-излучения, можно приближенно считать, что интенсивность его изменяется по экспоненциальному закону, подобному (31.8). В качестве одной из характеристик поглощения β-излучения веществом используют слой половинного поглощения, при прохождении через который интенсивность излучения уменьшается вдвое.
Можно считать, что в ткани организма β-частицы проникают на глубину 10—15 мм. Защитой от β-излучения служат тонкие алюминиевые, плексигласовые и другие экраны. Так, например, слой алюминия толщиной 0,4 мм или воды толщиной 1,1 мм уменьшает вдвое β-излучение от фосфора 3215Р.
При попадании λ-излучения в вещество наряду с процессами, характерными для рентгеновского излучения (когерентное рассеяние, эффект Комптона, фотоэффект, см. § 31.3), возникают и такие, которые неспецифичны для взаимодействия рентгеновского излучения с веществом. К этим процессам следует отнести образование пары электрон — позитрон, происходящее при энергии ~/-фотона, не меньшей суммарной энергии покоя электрона и позитрона (1,02 МэВ), и фотоядерные реакции, которые возникают при взаимодействии λ-фотонов больших энергий с атомными ядрами. Для возникновения фотоядерной реакции необходимо, чтобы энергия λ-фотонов была не меньше энергии связи, приходящейся на нуклон.
В результате различных процессов под действием λ- излучения образуются заряженные частицы; следовательно, λ -излучение также является ионизирующим.
Ослабление пучка λ -излучения в веществе обычно описывают экспоненциальным законом (31.8). Линейный (или массовый) коэффициент поглощения можно представить как сумму соответствующих коэффициентов поглощения, учитывающих три основных процесса взаимодействия — фотоэффект, Комптон-эффект и образование электрон-позитронных пар.
Эти основные процессы взаимодействия происходят с разной вероятностью, которая зависит от энергии λ-фотонов. Как видно из рисунка, при малых энергиях основную роль играет фотоэффект, при средних — Комптон-эффект и при энергиях, больших 10 МэВ, — процесс образования пары электрон — позитрон.
Экспоненциальный закон ослабления пучка λ-фотонов выполняется приближенно, особенно при больших энергиях. Это обусловлено вторичными процессами, возникающими при взаимодействии λ-иэлучения с веществом. Так, например, электроны и позитроны обладают энергией, достаточной для образования новых λ-фотонов в результате торможения и аннигиляции.
Поток нейтронов тоже является ионизирующим излучением, так как в результате взаимодействия нейтронов с ядрами атомов образуются заряженные частицы и λ-излучение.