8.2.5. Основные числовые характеристики непрерывной случайной величины

Под основными числовыми характеристиками непрерывной слу­чайной величины понимают, как и в случае дискретной случай­ной величины, математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение.

Как и для дискретной величины, математическое ожидание представляет собой среднее значение этой величины, а дисперсия и среднее квадратическое отклонение являются усредненными характеристиками степени разброса возможных значений этой величины относительно ее математического ожидания.

Однако формулы, определяющие математическое ожидание М(Х) =μ и дисперсию D(Х)= σ ² непрерывной случайной величи­ны, отличаются от соответствующих формул для дискретной ве­личины и в общем случае имеют соответственно вид M(X)= μ= ∫x f(x)dx (8.25)

D(X)= σ ² =∫(x- μ )² f(x)dx (8.26)

Среднее квадратическое отклонение, как и для дискретной случайной величины, определяется формулой:

σ= √D(X) (8.27)

Пример 8.11. Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение непрерывной случайной ве­личины, заданной плотностью распределения вероятностей f(x), равной 1/2 на отрезке [1,3] и 0 во всех остальных точках оси абс­цисс, т. е. на интервалах (-∞, 1) и (3, +∞).

Решение. Используя формулу (8.25) для математического ожи­дания и разбивая первоначальный интеграл на три интеграла, последовательно получим:

М(Х)=μ=∫x f(x)dx= ∫x f(x)dx+ ∫x f(x)dx+ ∫x f(x)dx= 0+∫x/2dx+ 0= 1/4x²│ = 2

Аналогично, используя формулу (8.26), найдем дисперсию:

D(X)= ∫(x-μ)²*f(x)dx =∫(x-μ)²*f(x)dx+ ∫(x-μ)²*f(x)dx+ ∫(x-μ)²*f(x)dx= 0+ ∫(x-2)²/2 dx+0= ∫(x²/2 – 2x+2)dx= 1/6x³│ -x² │ +2x² │ =13/3-8+4=1/3

После этого по формуле (8.27) вычислим среднее квадрати­ческое отклонение: σ=√D(X)= √1/3= √3/3= 0,58

8.2.6. Нормальный закон распределения (закон Гаусса)

Из известных видов распределения непрерывных случайных ве­личин наиболее часто используют нормальное распределение, опи­сываемое законом Гаусса. Это объясняется как его относитель­ной простотой, так и тем, что многие случайные величины, фор­мирование значений которых определяется большим количеством неконтролируемых факторов, каждый из которых вносит относи­тельно небольшой вклад, имеют распределение, близкое к нор­мальному.

Определение. Непрерывная случайная величина называется распределенной по нормальному закону (закону Гаусса), если ее плотность вероятности имеет вид f(x)= 1/ σ√2π *e ^{–(x-μ)2/2σ2} (8.28)

где μ— математическое ожидание; σ² — дисперсия; σ — среднее квадратическое отклонение этой величины.

График плотности вероятности нормального закона распреде­ления (кривая Гаусса) приведен на рис. 8.2.

Этот график симметричен относительно вертикальной прямой x_max= μ, причем в точке = ф-ия имеет максимум, равный ymax = 1/σ√2π

Поскольку ф-ия f(x) стремится к нулю при Х →±∞, то ось абцисс является асимптотой графика этой ф-ии.

§ 10.3. Механические свойства твердых тел

Изменение взаимного расположения точек тела, которое приводит к изменению его формы и размеров, называют деформацией.

Деформации могут быть вызваны внешними воздействиями (механическими, электрическими или магнитными) или изменением температуры тела. Здесь рассматриваются деформации, возникаю­щие при действии сил на тело.

В твердых телах деформацию называют упругой, если после прекращения действия силы она исчезает. Если же деформация сохраняется и после прекращения внешнего воздействия, то ее называют пластической. Промежуточный случай, т.е. неполное исчезновение деформации, принято называть упругопластической деформацией.

Наиболее простым видом деформации является растяжение (сжатие). Оно, например, возникает в стержне (рис. 10.11,а,б) при действии силы, направленной вдоль его оси. Если стержень длиной L при этом удлинился на ΔL, то ε = L/ΔL является мерой деформа­ции растяжения и называется относительным удлинением.

Другим видом деформации является сдвиг (рис. 10.12, а, 5). Сила, касательная к одной из граней прямоугольного параллелепи­педа, вызывает его деформацию, превращая в косоугольный парал­лелепипед (см. штриховые линии на рисунке). Угол γ называют углом сдвига, а tgγ — относительным сдвигом. Так как обычно угол γ мал, то можно считать tg γ=γ.

При действии на тело внешней деформирующей силы расстоя­ние между атомами (ионами) изменяется. Это приводит к возникно­вению внутренних сил, стремящихся вернуть атомы (ионы) в первоначальные положения. Мерой этих сил является механическое напряжение (или просто напряжение).

Непосредственно напряжение не измеряется. В ряде случаев его можно вычислить через внешние силы, действующие на тело. Кос­венно напряжение можно определить по некоторым физическим эффектам.

Применительно к деформации растяжения напряжение σ можно выразить как отношение силы к площади поперечного сечения стержня: σ =F/S

Для деформации сдвига напряжение τ выражают как отношение силы к площади грани, к которой сила касательна. В этом случае τ называют касательным напряжением: τ =F/S

Упругие малые деформации подчиняются закону Гука, согласно которому напряжение пропорционально деформации. Для двух рассмотренных случаев (растяжение, сжатие) это аналитически записывается так: σ =Eε и τ =Gγ (10.1)

где Е — модуль Юнга, а G — модуль сдвига.

Экспериментальная кривая растяжения приведена на рис. 10.13. Участок ОА соответствует упругим деформациям, точка В — преде­лу упругости, характеризующему то максимальное напряжение, при котором еще не имеют места деформации, остающиеся в теле после снятия напряжения (остаточные деформации). Горизонтальный участок СD кривой растяжения соответствует пределу текучести -напряжению, начиная с которого деформация возрастает без увели­чения напряжения. И наконец, напряжение, определяемое наиболь­шей нагрузкой, выдерживаемой перед разрушением, является пре­делом прочности.

Между упругими свойствами кристаллических мономеров и полимерных материалов существует огромная и принципиальная разница, например в пределах прочности сталь разрывается уже при растяжении на 0,3%, а мягкие резины можно растягивать до 300%. Это связано с качественно другим механизмом упругости высокомолекулярных соединений.

Как уже говорилось, при деформации кристаллических твердых тел, например, стали, силы упругости всецело определяются изме­нением межатомных расстояний. Структура высокомолекулярных соединений не регулярна. Они состоят из очень длинных гибких молекул, которые причудливо изогнуты, части молекул находятся в хаотическом тепловом движении так, что их форма и длина все время изменяются. Но в каждый данный момент большинство молекул в недеформированном образце имеет длину, близкую к наиболее вероятной. При приложении нагрузки к материалу (рис. 10.14, а) его молекулы выпрямляются в соответствующем направлении и длина образца увеличивается (рис. 10.14, б). После снятия нагрузки вследствие хаотического теплового движения длина каж­дой молекулы восстанавливается и образец укорачивается.

Упругость, свойственную полимерам, называют каучкоподобной эластичностью (высокой эластичностью или высокоэластичностью).