17. Определение двумерной случайной величины, ее распределение и свойства.

Совокупность двух случайных величин, заданных на вероятностном пространстве, называют двумерными случайными величинами или двумерным вектором; x и y называют векторами случайных величин.

Функции распределения случайных векторов (x;y) называют вероятностью их совместного наступления.

Свойства:

1. 0≤F(x;y)≤1

2. F(x;y) является нечетной функцией по каждому из своих аргументов при фиксированном другом аргументе. Если х₁<х₂, F(x;y)≤ F(x₁;х₂).

3. 

4. 

- достоверные события

5. 

6. Функция F(x;y) является непрерывной слева по каждому из аргументов

7. В случае одной случайной величины: . Две случайные величины:

18. Корреляционный момент. Ковариация случайной величины и ее свойства. Коэффициент ковариации и его свойства

Корреляционный момент – это момент от математического ожидания. Обозначается COV (X;Y)=M(x-M(X))(y-M(Y))

Свойства:

1. COV(x;y)=Mxy-MxMy

2. COV (x;x)=D(X)

3. Если x и y независимы, то их ковариация равна нулю: COV(x;y)=0

Если у случайной величины ковариация равна нулю, то они называются не корреляционными

4. COV (ax+b; cy+b)=ac COV(x;y)

5. 

6. Для того, чтобы случайные величины были линейно зависимы Y=ax+b необходимо достаточно, чтобы выполнялось равенство в 5 пункте

Коэффициентом корреляции называют отношение ковариации к квадратному корню дисперсии.

Свойства:

1. 

2. Если x и y независимы, то коэффициент корреляции равен нулю.

3. 

4. -1≤

5. тогда и только тогда, когда x и y линейно зависимы

19. Двумерное равномерное распределение

Система двух случайных величин называется равномерно распределенной на плоскости, если ее плотность вероятности f(x, y) = const внутри некоторой области и равна 0 вне ее. Пусть данная область – прямоугольник вида Тогда из свойств f(x, y) следует, что

Найдем двумерную функцию распределения:

при a < x < b, c < y < d, F(x, y) = 0 при x ≤ a или y ≤ c, F(x, y) = 1 при x ≥ b, y ≥ d.

Функции распределения составляющих, вычисленные по формулам, приведенным в свойстве 4 функции распределения, имеют вид:

20. Неравенство Чебышева. Неравенство Маркова

Неравенство Чебышева, используемое для доказательства дальнейших теорем, справедливо как для непрерывных, так и для дискретных случайных величин. Докажем его для дискретных случайных величин.

(неравенство Чебышева). p( | X – M(X)| < ε ) ≥ D(X) / ε². (13.1)

Доказательство. Пусть Х задается рядом распределения

Х	х1	х2	…	хп
р	р1	р2	…	рп

Так как события |X – M(X)| < ε и |X – M(X)| ≥ ε противоположны, то

р ( |X – M(X)| < ε ) + р ( |X – M(X)| ≥ ε ) = 1, следовательно, р ( |X – M(X)| < ε ) = 1 - р ( |X – M(X)| ≥ ε ). Найдем р ( |X – M(X)| ≥ ε ).

D(X) = (x₁ – M(X))²p₁ + (x₂ – M(X))²p₂ + … + (x_n – M(X))²p_n . Исключим из этой суммы те слагаемые, для которых |X – M(X)| < ε. При этом сумма может только уменьшиться, так как все входящие в нее слагаемые неотрицательны. Для определенности будем считать, что отброшены первые k слагаемых. Тогда D(X) ≥ (x_k+1 – M(X))²p_k+1 + (x_k+2 – M(X))²p_k+2 + … + (x_n – M(X))²p_n ≥ ε² (p_k+1 + p_k+2 + … + p_n).

Отметим, что p_k+1 + p_k+2 + … + p_n есть вероятность того, что |X – M(X)| ≥ ε, так как это сумма вероятностей всех возможных значений Х, для которых это неравенство справедливо. Следовательно, D(X) ≥ ε² р(|X – M(X)| ≥ ε), или р (|X – M(X)| ≥ ε) ≤ D(X) / ε². Тогда вероятность противоположного события p( | X – M(X)| < ε ) ≥ D(X) / ε², что и требовалось доказать.

МАРКОВА НЕРАВЕНСТВО: для производной от алгебраического многочлена - неравенство, дающее оценку максимального значения этой производной через наибольшее значение самого многочлена. Пусть Р _п (х).- алгебраич. многочлен степени не выше пи 

a≤x≤b

Тогда для любого х из отрезка [ а, b]выполняется неравенство 

Неравенство получено А. А. Марковым в 1889. М. н. является точным. Так, если a= -1, b=1, , то 

и в неравенстве достигается знак равенства.

Для производной любого порядка  из М. н. следует соотношение 

к-рое при  уже не является точным. Точное неравенство для  получено В. А. Марковым [2]: