ИДЗ 14.1 Рябушко пример решения
.pdfНаш сайт: Fizmathim.ru
Группа ВКонтакте https://vk.com/fizmathim_resh
Перейти на Готовые решения ИДЗ Рябушко (по вариантам)
Решение задач по высшей математике на заказ
ИДЗ 14.1 – Вариант 0 1. Вычислить данные криволинейные интегралы (1-4)
1.0. x 2 y dx x y2 dy , где LAB – отрезок прямой, заключенный между точками А(1, 2) и B(3, 5).
LAB
Решение:
LAB – отрезок прямой AB, от точки А до точки В
A(1, 2),
B(3, 5)
Используя формулу уравнения прямой проходящей через две точки, запишем
|
|
|
|
|
x x A |
|
|
|
y yA |
|
|||
|
|
|
|
|
x B x A |
|
yB yA |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
x 1 |
|
y 2 |
|
x 1 |
|
y 2 |
3 x 1 2 y 2 |
||||||
3 1 |
|
5 2 |
|
|
|||||||||
|
2 |
|
|
|
3 |
|
|
3x 3 2y 4 3x 2y 1 0 y 32 x 12
Путь интегрирования определяется этим уравнением при
1 ≤ x ≤ 3. Приняв x за параметр, найдем dy = 3/2dx и подставим в интеграл значения y и dy.
Получаем: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
2 |
|
2 |
3 |
|
2 |
|
3 |
|
1 |
|
|
3 |
|
1 2 |
|
|
3 |
|
||
x |
|
y dx x y |
|
dy x |
|
|
|
x |
|
dx x |
|
x |
|
|
|
|
|
dx |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
LAB |
|
|
|
1 |
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|
2 |
|
2 |
|
|
2 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
x 2 |
|
3 |
|
x |
1 |
dx |
3 |
|
x |
9 |
x 2 |
|
|
3 |
x |
1 |
dx |
3 |
x 2 |
3 |
x |
1 |
|
3 |
|
x |
27 |
|
x 2 |
9 |
x |
3 |
dx |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
1 |
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
2 2 |
|
|
|
|
|
8 |
|
|
|
|
|
|
4 |
|
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
3 |
35 |
|
2 |
|
|
21 |
|
|
|
7 |
|
|
|
|
|
|
35 |
|
|
x 3 |
|
|
|
21 |
|
x 2 |
|
7 |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
35x 3 |
|
21x 2 |
7 |
|
|
|
3 |
|
|
35 33 |
21 32 |
|
|
7 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
x |
|
|
x |
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
1 |
8 |
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
8 |
|
|
|
|
|
|
8 3 |
|
|
|
4 2 8 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
24 |
|
|
|
|
|
8 |
|
|
|
|
8 |
|
|
|
1 |
|
|
|
24 |
|
|
|
8 |
|
|
|
8 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
35 13 |
|
|
|
|
21 12 |
7 |
|
|
|
|
|
|
|
35 9 |
|
|
|
21 9 |
|
|
21 |
|
35 |
|
|
|
|
21 |
|
7 |
|
|
315 |
|
|
189 |
|
|
|
35 |
|
|
|
7 |
|
|
315 189 7 |
|
35 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
24 |
|
|
|
|
|
|
8 |
|
|
|
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
8 |
|
|
|
|
|
|
8 |
|
|
|
|
8 24 8 8 |
|
|
8 |
|
|
|
|
8 |
|
|
|
24 8 |
|
|
|
|
8 |
|
|
|
24 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
497 |
|
35 |
|
|
1491 35 |
|
|
1456 |
|
|
182 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
8 |
|
|
|
24 |
|
|
|
|
24 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
24 |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Наш сайт: Fizmathim.ru
Группа ВКонтакте https://vk.com/fizmathim_resh
Перейти на Готовые решения ИДЗ Рябушко (по вариантам)
Решение задач по высшей математике на заказ
2.0. x y d , где L – первый виток лемнискаты ρ2 = 4cos2φ.
L
Решение
Если уравнение плоской кривой ρ = ρ(φ) задано в полярных координатах ρ, φ, функция ρ(φ) и ее производная ρʹ = dρ/dφ непрерывны, то имеет место частный случай формулы, где в качестве параметра t взят полярный угол φ:
|
B |
|
|
f x, y d f cos , sin |
2 2 d |
||
LAB |
A |
|
|
φA и φB – значения φ, определяющие на кривой точки A и B.
Перейдем к полярным координатам: x = ρcosφ; y = ρsinφ
ρ2 = 4cos2φ 2 4cos 2 2cos 2
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2sin 2 |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
2 |
|
cos 2 |
|
|
|
|
|
|
|
cos 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
cos 2 |
|
|
cos 2 |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
d |
2 2 d |
|
4 cos 2 |
|
|
2 |
sin 2 |
|
|
d |
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos 2 |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
4 cos 2 |
4 sin 2 |
2 |
d |
|
|
4 cos 2 |
2 4 sin 2 2 |
d |
|||||||||||||||||||||||
|
|
cos 2 |
|
|
|
|
|
|
|
cos 2 |
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
2 |
|
|
d |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
cos 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Тогда решение криволинейного интеграла примет вид:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
2 |
4 |
cos |
sin d |
|
|||||
x y d |
|
cos sin |
|
|
|
d 2 |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||
cos 2 |
cos 2 |
|
||||||||||||||||
L |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
2 |
cos 2 |
cos |
sin |
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|||||
2 |
d 4 |
cos sin d 4 sin cos |
|
4 |
|
|||||||||||||
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
cos 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
||||||
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos |
|
|
|
4 sin |
|
|
|
||
|
4 |
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
2 2 |
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
4 sin |
|
|
cos |
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
4 2 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
4 |
|
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|||||
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Наш сайт: Fizmathim.ru
Группа ВКонтакте https://vk.com/fizmathim_resh
Перейти на Готовые решения ИДЗ Рябушко (по вариантам)
Решение задач по высшей математике на заказ
3.0. x 2 y2 d , где L – окружность x2 + y2 = ax.
L
Решение:
Введем полярные координаты x = ρcosφ, y = ρsinφ, x2 + y2 = ρ2
Уравнение окружности x2 + y2 = ax, преобразуем к виду
2 sin 2 a cos
2 cos 2 sin 2 a cos
2 a cos a cos2 cos 2
Кривая задана в полярных координатах ρ = ρ(φ),; . Для вычисления данного интеграла будем пользоваться формулой:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f x; y d f cos ; sin 2 2 d |
|
|
|
|
|
|||||||
L |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
В нашем случае a cos ; a sin , d 2 2 d |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
a cos 2 a sin 2 d |
|
d |
|
|
|||||||
d |
a 2 cos2 a 2 sin 2 |
a 2 sin 2 cos2 d |
a 2 d ad |
Пределы интегрирования −π/2 ≤ φ ≤ π/2
Вычисляем заданный интеграл:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 cos 2 |
|
|
|
d a |
|||||||
|
x 2 y2 d |
|
2 cos 2 2 sin 2 |
ad a |
|
sin 2 |
|||||||||||||||||||
L |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|||||||||
a |
a cos d a |
|
cos d a sin |
|
2 |
a |
|
|
|
|
sin |
|
|
|
sin |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
sin |
|
|
|
a |
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
2 |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
2 d a |
d |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
sin |
|
a |
2 |
1 1 |
2a |
2 |
|||
|
|
|
|
|
|||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
Наш сайт: Fizmathim.ru
Группа ВКонтакте https://vk.com/fizmathim_resh
Перейти на Готовые решения ИДЗ Рябушко (по вариантам)
Решение задач по высшей математике на заказ
4.0. x 2 2xy dx y2 2xy dy , где LAB: y = x2 от точки А(−1, 1) до точки B(1, 1).
LAB
Решение:
Если кривая LАВ лежит в плоскости Oxy и задана уравнением y = f(x), производная fʹ(x) непрерывна на отрезке [a; b], a = P(x, y)i + Q(x, y)j, то
b
P x, y dx Q x, y dy P x, f (x) Q x, f (x) f x dx
LAB |
a |
Переменная x в данном направлении изменяется от xA = −1
до xB = 1
Вычислим криволинейный интеграл сведением его к определённому:
Путь интегрирования определяется этим уравнением при −1 ≤ x ≤ 1.
Приняв x за параметр, найдем y x 2 dy 2xdx и подставим в интеграл значения y и dy.
Получаем:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
x |
2 |
|
2xy dx y |
2 |
|
2xy dy x |
2 |
2x |
x |
2 |
dx |
x |
2 |
2 |
|
2x x |
2 |
|
2xdx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
LAB |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 3 |
|
|
2x 4 |
|
|
2x 6 |
|
4x |
5 |
|
1 |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
x |
2 |
|
|
|
|
|
3 |
dx x |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
2xdx x |
2 |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
4 |
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
2x |
|
|
|
|
2x |
|
|
|
2x |
|
2x |
|
|
4x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
4 |
6 |
|
|
5 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
x 3 |
|
|
|
x 4 |
|
|
|
|
x 6 |
|
|
|
4x 5 |
|
|
|
|
|
13 |
|
|
|
14 |
|
|
|
16 |
|
|
|
4 15 |
|
|
|
1 3 |
|
|
|
1 4 |
|
|
1 6 |
|
4 1 5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
3 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 2 3 |
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
3 |
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10 24 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
1 |
|
|
1 |
|
1 |
|
|
|
4 |
|
1 |
|
|
1 |
|
1 |
|
|
4 |
|
|
2 |
|
|
8 |
|
|
|
14 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
3 |
|
|
|
2 |
|
3 |
|
|
|
|
5 |
|
|
3 |
|
|
|
2 |
3 |
|
|
|
5 |
3 |
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
15 |
|
|
|
|
|
15 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|