Добавил:

pmaxim2006 fizmathim.ru Решаю задачи по высшей математике. Фотографии решенных заданий по высшей математике https://fizmathim.ru/photo/ Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Павлодарский государственный университет им. С. Торайгырова

Предмет:

Математика

Файл:

ИДЗ 12.2 Рябушко пример решения

.pdf

Скачиваний:

207

Добавлен:

20.02.2017

Размер:

291.86 Кб

Скачать

☆

Наш сайт: Fizmathim.ru

Группа ВКонтакте https://vk.com/fizmathim_resh

Перейти на Готовые решения ИДЗ Рябушко (по вариантам)

Решение задач по высшей математике на заказ

ИДЗ 12.2 – Вариант 0.

1. Найти область сходимости ряда. (1-3)

x n

1.0.

n 1 4n 1 3n

Найдем интервал сходимости данного ряда. Используем признак Д’Аламбера:

где u n

x n

, u n 1

x n 1

4n 1 3 n

4n 1 1 3 n 1

2 3 n 1

u n 1 x

x n 1

lim

4n 2 3

n 1

lim

x n 1 4n 1 3

lim

x 4 3 n

lim 3

u n x

n 2

n 1

1 x

n 1

4n 1

3 n

lim 3

Ряд сходится при

1 , откуда

Запишем интервал сходимости исследуемого степенного ряда

4 x 4

Исследуем сходимость ряда на концах найденного интервала

4 n

4n 1 n

1 n

1) При x 4

n 1 4n 1 3

n 1

4n 4 3

4 n 1

3 n

Используем признак Лейбница

Ряд является знакочередующимся

4 limn

3 n

Ряд сходится по признаку Лейбница

Исследуем ряд на абсолютную сходимость

(*)

4 n 1

3 n

Используем интегральный признак Коши

lim 3

lim

lim 3

x 2

3 12

Так как интеграл расходится, следовательно, исследуемый ряд тоже расходится

Следовательно, исходный ряд (*) условно сходится

2) При x 4

ряд расходится по известному выше признаку.

n 1 4n 1 3 n

n 1 4n 4 3 n

4 n 1

3 n

Область сходимости степенного ряда 4 x 4

или 4;

Ответ:

Наш сайт: Fizmathim.ru

Группа ВКонтакте https://vk.com/fizmathim_resh

Перейти на Готовые решения ИДЗ Рябушко (по вариантам)

Решение задач по высшей математике на заказ

	x	n
2.0.	x
2.0.	5n 9
n 1	5n 9
n 1

Найдем интервал сходимости данного ряда. Используем признак Д’Аламбера:

где u

x n

x n 1

5n 9

n 1

5 n 1 9

5n 4

x n 1

x n x 5n 9

lim

u n 1

lim

5n 4

lim

5n 9

u n x

5n 4

5n 9

lim

5n 4

n 5

Ряд сходится при

Запишем интервал сходимости исследуемого степенного ряда

1 x 1

Исследуем сходимость ряда на концах найденного интервала

1) При x 1

(*)

5n 9

n 1

Используем признак Лейбница

Ряд является знакочередующимся

lim

5n 9

Ряд сходится по признаку Лейбница

Исследуем ряд на абсолютную сходимость

5n 9

n 1

Используем интегральный признак Коши

lim n

lim

lim n

5x 9

5 9

5 1 9

Так как интеграл расходится, следовательно, исследуемый ряд тоже расходится

Следовательно, исходный ряд (*) условно сходится

2) При x 1

ряд расходится по известному выше признаку.

n 1

Область сходимости степенного ряда 1 x 1 или 1; 1

Наш сайт: Fizmathim.ru

Группа ВКонтакте https://vk.com/fizmathim_resh

Перейти на Готовые решения ИДЗ Рябушко (по вариантам)

Решение задач по высшей математике на заказ

		1
	3.0 x 5 n tg
		3n
	n 1

Найдем интервал сходимости данного ряда. Используем признак Д’Аламбера:

где u n x x 5 n tg

, u n 1 x x 5 n 1 tg

3n 1

x 5 n 1 tg

x 5 n x

5 tg

u n 1 x

lim

3n 1

lim

3n 3

x 5

lim

3n 3

u n x

x 5 tg

x 5

При n ,

стремится к нулю, значит, тангенс можно заменить эквивалентной бесконечно малой

величиной tg

Тогда

lim

x 5

3n 3

x 5

lim

3n 3

x 5

1 условие выполняется

x 5

Ряд сходится при

x 5

Запишем интервал сходимости исследуемого степенного ряда

3 x 5 3

8 x 2

Исследуем сходимость ряда на концах найденного интервала

1) При x 2 2 5 n tg

3n tg

n 1

lim 3n tg

lim 3n

1 ряд расходится,

так как не выполняется условие lim a n 0

2) При x 8 8 5 n tg

3 n tg

3n 1 n tg

(*)

n 1

Используем признак Лейбница

Ряд является знакочередующимся

lim 3n tg

lim 3n

1 0

Ряд расходится по признаку Лейбница

или 8; 2

Область сходимости степенного ряда 8 x 2

Наш сайт: Fizmathim.ru

Группа ВКонтакте https://vk.com/fizmathim_resh

Перейти на Готовые решения ИДЗ Рябушко (по вариантам)

Решение задач по высшей математике на заказ

4. Разложить в ряд Маклорена функцию f(x). Указать область сходимости полученного ряда к этой функции.

4.0.f(x) = xe 3

Запишем формулу Маклорена функции y f x
													f x f 0																								f 0							x					f 0						x 2			...									f n 0						x n ...
													f x f 0																															x											x 2			...															x n ...
																																								1!							2!																						n!
Находим производные функции f x xe																																														x

																																														3 ,						f(0) = 0
						x														x																																																																0												0
f x e												1		xe									,																																																						f 0 e											1		0 e									1
						3						1								3																																																																	3			1									3
						3														3																																																																	3												3
												3																																																																											3
												x															x														x													x									x																								0													0
	x				1				e								1		e													1			xe												2			e						1			xe																		f 0							2		e						1														2
f					1							3					1									3						1									3						2							3		1							3 ;																					2					3			1			0e					3						2
f					3							3					3									3					9										3						3							3		9							3 ;																					3					3			9			0e					3						3
					3												3														9																3									9																												3								9														3
						2									1										x					1								x							1						x				1						x					1									x							1					0				1									0			1
	x					2									1															1															1										1											1									3 ; f 0							1									1												1
f																	e					3											e			3										xe 3											e			3										xe															e		3							0e						3
f																	e					3											e			3										xe 3											e			3										xe															e		3							0e						3
						3									3																9												27												3								27																			3									27												3
				x	1									1										x							1								x						1								x							4						x					1							x					0								4							0				1					0				4
	IV				1									1																	1														1															4											1										IV										4											1									4
f																e								3											e					3								xe					3									e				3										xe 3 ; f																		e		3										0e	3
f																e								3											e					3								xe					3									e				3										xe 3 ; f																		e		3										0e	3
					3									3																27															81													27													81																				27											81									27
			x							4								1											x							1							x				1								x					5								x				1							x						0						5					0						1						0		5
	V									4								1																		1											1													5												1										V									5											1								5
f																						e						3												e			3										e		3								e			3											xe 3			; f													e			3									0e		3
f																						e						3												e			3										e		3								e			3											xe 3			; f													e			3									0e		3
								27										3																81												243														81											243																				81										243									81
Тогда функция запишется в виде:
		x				2											1														4														5
																																																																																																													n			n 1
																																																																																																													n			n 1
xe		3		x			3				x 2							3			x3											27 x 4										81 x5 ... x																						1	x				2					1			x3			1			x 4								1				x5				...										1	x
xe		3		x							x 2										x3											27 x 4										81 x5 ... x																							x				2								x3						x 4												x5				...										3n n!
						2!											3!														4!														5!																		3									18								162							1944																	n 0					3n n!
																																																																																																								n 0

Найдем интервал сходимости данного ряда. Используем признак Д’Аламбера:

где u

x n 1

x n 1 1

3n n!

n 1

3n 1 n 1 !

x n 2

lim

n 1

lim

3n 1 n 1 !

lim

u n x

n 1

3n n!

lim

n 1

Ряд сходится при

x n 2

3n 1 n 1 !

3n x n x 2 n!

limn

3n 3 x n x n 1 !

n 1 !

n! n 1

Наш сайт: Fizmathim.ru

Группа ВКонтакте https://vk.com/fizmathim_resh

Перейти на Готовые решения ИДЗ Рябушко (по вариантам)

Решение задач по высшей математике на заказ

5. Вычислить указанную величину приближенно с заданной степенью точности α, воспользовавшись разложением в степенной ряд соответствующим образом подобранной функции

5.0. 327,36 , α=0,001

Применим биномиальное разложение
1 x m 1							m	x				m m 1				x 2			m m 1 m 2						x3	...			m m 1 m n 1				x n
1 x m 1								x								x 2									x3	...							x n
					1!								2!								3!										n!
Представим радикал в виде (1+x)m
																	1
3 27,36 3					0,36 27								0,36 27
3 27,36 3					0,36 27								0,36 27							3
при m		1		,		x			0,36						0,04
при m				,		x
3									27				3
Тогда
																											1	1		1
																														1		2
					27 1					0,04				33 1				0,04					1	0,04							0,04	2
																						1					3	3
3 27,36			3																								3	3				...
3 27,36			3																													...

									3								3				3 3							2			3
1	0,04					0,0032					... 1 0,0044 (0,0000197) 1,0044
1											... 1 0,0044 (0,0000197) 1,0044
9					162

Поскольку уже третий член можно отбросить в силу того, что он меньше α=0,001. Следовательно

3 27,36 33 1 0,04 3 1,0044 3,013 3

6. Используя разложение подынтегральной функции в степенной ряд, вычислить указанный определенный интеграл с точностью до 0,001.

6.0. x cos xdx

Воспользуемся разложением функции y = cosx в степенной ряд

					x 2					x 4					x 6					x8										n	x 2n
cosx 1																						... 1											...
cosx 1				2!							4!					6!					8!	... 1									2n !		...
Запишем функцию в ряд
									x		2			x		4		x			6		x		8							x		3			x		5		x		7				x	9
x cos x x 1									x					x				x					x			...				x		x					x				x						x		...
x cos x x 1																										...				x																			...
								2!							4!				6!					8!							2!							4!				6!					8!
								2!							4!				6!					8!							2!							4!				6!					8!
Решим интеграл
1						1									3				5					7				9										2								4					6			8			10		1
																																																											1
													x				x					x					x								x					1				x				1		x		1	x		1	x
x cos xdx													x				x					x					x								x					1				x				1		x		1	x		1	x
								x																					... dx																													...
								x				2!					4!					6!					8!		... dx							2				2					4			24		6		720	8		40320	10		...
0						0						2!					4!					6!					8!									2				2					4			24		6		720	8		40320	10			0
0						0																																																					0
	12	14				16						18									110
																										...				0,5 0,125 0,0069																	(0,000173)...
																										...				0,5 0,125 0,0069																	(0,000173)...
	2	8		144								5760							403200
	2	8		144								5760							403200
Так как				18			0,001 , тогда
Так как			5760				0,001 , тогда

Наш сайт: Fizmathim.ru

Группа ВКонтакте https://vk.com/fizmathim_resh

Перейти на Готовые решения ИДЗ Рябушко (по вариантам)

Решение задач по высшей математике на заказ

x cos xdx 0,5 0,125 0,0069 0,382

7. Найти разложение в степенной ряд по степеням x решения дифференциального уравнения (записать три первых, отличных от нуля, члена этого разложения)

7.0. y′ = x + y3 + y, y(0) = 1

Точка x=0 не является особой для данного уравнения, поэтому его решение можно искать в виде ряда:

y y 0

y 0

x 2

y 0

x3 ... (*)

Имеем: y 0 1,

y 0 0 13

1 2

Дифференцируем исходное уравнение:

y 1 3y2 y y ,

y 0 1 3 12 2 2 1 6 2 9

Подставляя найденные значения производных в ряд (*), получаем

y 1

2 ... 1 2x

x 2 ...

В итоге :

y 1 2x

x 2

...

8. Методом последовательного дифференцирования найти первые k членов разложения в степенной ряд решения дифференциального уравнения при указанных начальных условиях.

8.0. y′ = 5x2 – xy, y(0) = 0,5, k = 3

Точка x=0 не является особой для данного уравнения, поэтому его решение можно искать в виде ряда:

						y
y y 0	y 0	x	y 0	x 2			0	x3 ...	(*)

1!			2!				3!
Имеем: y 0 0,5;			y 0 5 02				0 0,52 0
Дифференцируем исходное уравнение:
y 10x y xy ,					y 0 10 0 0,5 0 0 0,5
y 10 2y xy ,					y 0 10 2 0 0 ( 0,5) 10

Подставляя найденные значения производных в ряд (*), получаем

y 0,5		0	x 0,5 x 2			10	x3	... 0,5	0,5	x 2	10	x3 ...
											1 2 3
		1!		2!	3!				1 2
В итоге :
y 0,5	0,25x 2			1,667x	3 ...

Соседние файлы в предмете Математика

#
20.02.2017246.2 Кб207ИДЗ 11.1 Рябушко пример решения.pdf
#
20.02.2017259.31 Кб149ИДЗ 11.2 Рябушко пример решения.pdf
#
20.02.2017253.32 Кб348ИДЗ 11.3 Рябушко пример решения.pdf
#
20.02.2017273.13 Кб87ИДЗ 11.4 Рябушко пример решения.pdf
#
20.02.2017255.42 Кб285ИДЗ 12.1 Рябушко пример решения.pdf
#
20.02.2017291.86 Кб207ИДЗ 12.2 Рябушко пример решения.pdf
#
20.02.2017279.38 Кб292ИДЗ 13.1 Рябушко пример решения.pdf
#
20.02.2017274.9 Кб126ИДЗ 13.2 Рябушко пример решения.pdf
#
20.02.2017252.34 Кб69ИДЗ 13.3 Рябушко пример решения.pdf
#
20.02.2017248.61 Кб99ИДЗ 14.1 Рябушко пример решения.pdf
#
20.02.2017189.82 Кб47ИДЗ 14.2 Рябушко пример решения.pdf